精品解析：山西晋城市第一中学校2026-2027学年高三上学期质检（一）数学试题

2026—2027学年（上）高三年级质检（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则的值是（ ） A. B. 2 C. -2 D. 4. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 5. 已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 的导函数关于直线对称 B. 曲线在处的切线方程为 C. 函数的极小值点为 D. 函数的极大值点为0 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_________． 13. 函数的值域为_______． 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边经过点．线段绕着坐标原点逆时针旋转角后得到线段，设点，其中． （1）当时，求的值； （2）若点与点关于直线对称，试用表示，并求的值； （3）求的最大值． 17. 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程. （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）高三年级质检（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解绝对值不等式化简集合，再将两集合范围合并求出并集即可. 【详解】因为， 所以. 2. 若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将复数化成的形式，即可得答案. 【详解】因为 所以z的虚部为. 3. 双曲线的离心率为，则的值是（ ） A. B. 2 C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，解方程即可得出答案. 【详解】由双曲线可知：， 所以离心率，解得：. 故选：B. 4. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 【答案】D 【解析】 【详解】已知， 则， 因为，，，的平均数为4， 所以． 已知，，，的方差为4， 根据方差的线性变换性质，可得． 所以，，，的平均数是3，方差是1． 5. 已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义域即可判断，令即可判断，利用的零点即可判断，进而求解. 【详解】由题意有：函数的定义域为，由图可知， 令有：，令 ，由图可知，， 所以，所以有2个是正数， 故选：B. 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 7. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差和等比的相关概念验证选项的数列类型. 【详解】由题意知，，即， 对于A，相邻两项的差为，当固定时，差随着变化而变化，所以A错误． 对于B，因为，当固定时，相邻两项的比随着变化而变化，所以不是等比数列，所以B错误． 对于C，由，则， 故是公比为2的等比数列，所以C正确 对于D，根据A，B选项可以得出D选项是错误的. 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，换元后转化为有关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根，列出不等式求解即可. 【详解】原方程等价于：， 即， 令，当时，仅对应等于0； 当时，对应两个互为相反数的实数． 又，代入并整理得，， 要使原方程有四个不同的实数解，关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根． 解方程可得，， 因此应同时满足，，解得，． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 的导函数关于直线对称 B. 曲线在处的切线方程为 C. 函数的极小值点为 D. 函数的极大值点为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的导函数，根据二次函数的性质求得其对称轴，判断A；利用导数的几何意义求得曲线在处的切线方程，判断B；利用导数求出函数的极小值点和极大值点判断C，D. 【详解】函数的定义域为，， 所以导函数关于直线对称，所以A错误； 因为， 所以曲线在处的切线方程为，即，所以B正确； 因为， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数的极小值点为，函数的极大值点为0，所以C，D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 焦点，设点，， 对于A，椭圆的离心率为，A正确； 对于B，在中，，则的面积，B正确； 对于C，由，得以线段为直径的圆与椭圆无公共点， 因此不存在点，使得，C错误； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D正确. 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_________． 【答案】3或 【解析】 【分析】分段函数分两类讨论:时代入上式求解，时代入下式求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，解得. 所以的值为3或. 13. 函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【详解】， 令，， 即，， 变形得：， 在增大时，增大，减小，单调递增， 当时，， 当时，， 故的取值范围为：. 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值. 【详解】甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局， 故， 故， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故时，取最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【小问1详解】 由题意，得且， 解得 所以. 【小问2详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边经过点．线段绕着坐标原点逆时针旋转角后得到线段，设点，其中． （1）当时，求的值； （2）若点与点关于直线对称，试用表示，并求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，， 则，， . 【小问2详解】 根据题意可得，所以． 由（1）可得，，， ， ， 所以， ． 【小问3详解】 由题意得，， 所以， 其中，， 当时，取得最大值. 17. 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 【答案】（1）． （2） （3）不可能，理由如下. 因为，，． 所以， 若要，则，即， 上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求． 【解析】 【小问1详解】 （1）由题意知，， 解得． 【小问2详解】 （2）设事件恰有1台摄像头识别出该障碍物，有台摄像头正常工作， 由全概率公式知， ， 故． 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程. （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 【答案】（1） （2） （i）由椭圆方程可得，故. 设直线，， 由题设 ，否则由直线关于轴对称可得重合， 这与题设矛盾. 又椭圆方程可化为， 整理得到：，联立直线方程和椭圆方程可得： ， 故， 设，则， 故（▲）， 又，故为▲的两个解， 因为直线关于轴对称，故， 因为的斜率存在且不为零，故，故， 故直线，令，故， 故直线过定点. （ii）由题设. 设，联立椭圆方程可得， 故， 故即. 又，故， 直线，，, 由可得，同理， 故 ， 故为的中点即. 【解析】 【分析】（1）根据离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）（i）设，，利用齐次化结合韦达定理可得，故可求直线所过的定点； （ii）设，联立直线方程和椭圆方程结合韦达定理可得，从而化简后可得，故可证. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故可设， 故椭圆方程为：，代入，故， 故即椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【小问1详解】 由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； 【小问2详解】 由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． 【小问3详解】 令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $