精品解析：江苏扬州市文津中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期九年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三象限 B. 图象经过点 C. 图象关于轴对称 D. 随的增大而增大 4. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8. 关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 反比例函数中，比例系数_______． 10. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 11. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 12. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 13. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 14. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 15. 在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 16. 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 17. 将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根，满足，求的值． 21. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 23. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 24. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 25. 某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： （1）若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； （2）若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 26. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、点． （1）反比例函数为 ，一次函数为 ，不等式的解集为 ； （2）点E为y轴上一个动点，若，求点E的坐标． （3）若将一次函数的图像沿y轴向下平移n个单位，使平移后的图像与反比例函数的图像有且只有一个交点，则n的值是 ． 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 28. 【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． （1）若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 （2）已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 （3）已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项，含有参数，若则方程变为一次方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，只含有一个未知数，最高次数为，且为整式方程，符合一元二次方程的定义． 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三象限 B. 图象经过点 C. 图象关于轴对称 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 4. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项．  【详解】解：当  时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 7. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，  ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 8. 关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】将函数转化为平移后的反比例函数，利用反比例函数的对称性判断各结论正误． 【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到， 当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误； ∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位， ∴平移后对称中心为，对称轴为直线和， ∴ ②③④正确，故选项B符合题意． 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 10. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 11. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直线和双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为，因此另一个交点坐标为． 12. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 13. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】：连接， 是的直径，是的弦，且于点，， ， ，， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为： 14. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 15. 在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm 【解析】 【详解】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论 圆心到两条弦的距离分别为d1== 4cm，d2==3cm． 故两条弦之间的距离d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm 16. 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 17. 将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 【详解】解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据矩形性质和证明是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，得到；设，用表示出和的长，根据的面积公式建立关于的方程求解 ． 【详解】设． ∵四边形是矩形， ∴，轴． ∵，  ∴是等腰直角三角形 ， ∴． ∵轴 ， ∴， ∵点在同一直线上， ∴． 在中，， ∴，  ∴． 设，其中， ∵点在反比例函数图象上 ， ∴． ∵在轴负半轴上，轴， ∴，，， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴，  ∴ ， ∴ ， ∴． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】对方程左边进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可； 移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 20. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式与实数根的对应关系列不等式求解． （2）通过根与系数的关系将已知条件转化为关于的方程，结合根的判别式的取值范围取舍结果． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵方程有两个实数根， ∴， ∴． 21. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】（1）如图所示，点即为所求． （2）外接圆的面积为 【解析】 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， 故外接圆的面积为． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 【答案】（1）是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23. “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2） （3）车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【解析】 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； 【小问3详解】 解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 24. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】（1）米 （2）不需要采取紧急措施 【解析】 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； 【小问2详解】 解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 25. 某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： （1）若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； （2）若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每千克元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 26. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、点． （1）反比例函数为 ，一次函数为 ，不等式的解集为 ； （2）点E为y轴上一个动点，若，求点E的坐标． （3）若将一次函数的图像沿y轴向下平移n个单位，使平移后的图像与反比例函数的图像有且只有一个交点，则n的值是 ． 【答案】（1），，不等式的解集为或 （2）点E的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两函数图象无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． （1）先把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求一次解析式； （2）设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得，设，利用三角形面积公式，利用得到，然后解方程求出m即可得到点E的坐标； （3）由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，则方程只有一个解，然后利用判别式的意义得，最后解关于n的方程即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，则， 把、代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； ∵， ∴当或时，直线在反比例函数上方， ∴不等式，即的解集为或 【小问2详解】 解：设与y轴的交点为Q， 当时，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得，． ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：由题意得， 方程变形为， ∵平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点， ∴， 解得，， 即n的值为． 故答案为：． 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 【答案】(1)50，130 (2)或 (3)如图3， (4) 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数； （2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）； （3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形； （4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接，证明，进而得到，，，根据勾股定理求出，，根据，可得，即可求出的最小值为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：50，130； （2）解：当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 故答案为：或； （3）劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 28. 【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． （1）若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 （2）已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 （3）已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）2 （2）①根据题意，，，，， ∴， ∴，又i为正整数， ∴， 若，则，这与相矛盾， ∴； ②3； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）①根据题意得到，，，，，进而，根据i为正整数，进行分析可得结论； ②根据题意得到点A、B在第三象限的图象上，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，由反比例函数的比例系数k的几何意义得到，结合坐标与图形性质求解即可； （3）根据题中定义，结合（2）中结论求得a值；分和两种情况，结合反比例函数的增减性求得函数的最大值和最小值，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①略； ②当，时，，，即， ∴，，又， ∴点A、B在第三象限的图象上，如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是函数的3倍区间， ∴由（2）知，解得， ∴， 当时，反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∴函数的最大值为，最小值为， 由题意，得，解得； 当时，反比例函数在内，y随x的增大而增大， ∴函数的最小值为，最大值为， 由题意，得，解得； 综上，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $