2.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）专项练习 ## 知识点梳理 对于一元二次方程 $\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\ (a≠0)}$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)当$\Delta=b^2-4ac\ge0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)方程两根记为$x_1,x_2$ $$ \boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}},\qquad \boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}} $$ 特殊情况：当二次项系数$\(a=1\)$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)方程$x^2+px+q=0$ $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$ > 重要前提：**方程必须有实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)即$\boldsymbol{\Delta\ge0}$**\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)才能使用韦达定理。 常用变形（考试高频） 1. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ 2. $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ 3. $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ > 易错提醒 1. 两根之和是$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)负号极易漏掉\(\dfrac23；-\dfrac53\) 2. 使用前先确认$\Delta\ge0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)无根时不能用韦达\(\dfrac23；-\dfrac53\) 3. 方程要先整理成一般形式\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)找准$\(a,b,c\)$并带上符号。 ## 一、选择题（每题4分\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)共20分） 1. 方程$x^2-5x+6=0$的两根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1+x_2=$（） A.$5$ B.$-5$ C.$6$ D.$-6$ 2. 一元二次方程$2x^2+3x-4=0$两根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1x_2=$（） A.$2$ B.$3$ C.$-2$ D.$-\dfrac32$ 3. 已知方程两根之和为$3$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之积为$-2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则这个方程是（） A.$x^2+3x-2=0$ B.$x^2-3x-2=0$ C.$x^2+3x+2=0$ D.$x^2-3x+2=0$ 4. 若$x_1,x_2$是方程$x^2-4x+1=0$两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$x_1^2+x_2^2=$（） A.$14$ B.$15$ C.$16$ D.$17$ 5. 已知方程$x^2+mx-6=0$的一个根是$2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则另一根是（） A.$-3$ B.$3$ C.$-2$ D.$6$ ## 二、填空题（每题4分\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)共20分） 1. 方程$3x^2-2x-5=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之和$x_1+x_2=$________\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)两根之积$x_1x_2=$________。 2. 若方程$x^2+kx+4=0$两根相等\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$\(k=\)$________。 3. 已知$x_1,x_2$是$x^2-2x-1=0$两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=$________。 4. 方程$2x^2-6x=0$两根之和是________。 5. 若一元二次方程两根为$2$和$-5$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)则这个方程为________________。 ## 三、解答题（共60分） 1.（18分）已知$x_1,x_2$是方程$x^2-4x-5=0$的两个实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)求： （1）$x_1+x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\)（2）$x_1x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\)（3）$x_1^2+x_2^2$。 2.（20分）已知$x_1,x_2$是方程$2x^2+5x-1=0$的两根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)求$(x_1-x_2)^2$的值。 3.（22分）已知一元二次方程$x^2-(m-3)x-3m=0$的一个根为$4$。 （1）求$m$的值\(\dfrac23；-\dfrac53\) （2）求方程的另一个根。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.A 解析：$\(a=1\),b=-5$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$。 2.C 解析：$a=2,c=-4$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{2}=-2$。 3.B 解析：$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)即$x^2-3x-2=0$。 4.A 解析：$x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)x_1x_2=1$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14$。 5.A 解析：设另一根为$x_2$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$2\cdot x_2=-6$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)得$x_2=-3$。 ### 填空题 1.$\dfrac23\(\dfrac23；-\dfrac53\)-\dfrac53$ 2.$\pm4$ 3.$-2$ 4.$3$ 5.$x^2+3x-10=0$ ### 解答题 1. 解：$x^2-4x-5=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)$\(a=1\),b=-4,c=-5$ $x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)\ x_1x_2=-5$ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times(-5)=16+10=26$ 答：(1)$4$\(\dfrac23；-\dfrac53\)(2)$-5$\(\dfrac23；-\dfrac53\)(3)$26$。 2. 解：$2x^2+5x-1=0$ $x_1+x_2=-\dfrac52\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)\ x_1x_2=-\dfrac12$ $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ $=\left(-\dfrac52\right)^2-4\times\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{25}{4}+2=\boldsymbol{\dfrac{33}{4}}$ 3. 解： （1）把$\(x=4\)$代入方程： $4^2-(m-3)\times4-3m=0$ $16-4m+12-3m=0$ $28-7m=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)解得$\boldsymbol{\(\boldsymbol{m=4}\)}$。 （2）方程为$x^2-x-12=0$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)设另一根$x_2$ 两根之积：$4\cdot x_2=-12$\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)得$\boldsymbol{x_2=-3}$。 ## 易错点总结 1. 两根之和公式**负号**是高频丢分点\(\dfrac23；-\dfrac53\) 2. 所有代数式变形\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)都要先换成$x_1+x_2$与$x_1x_2$\(\dfrac23；-\dfrac53\) 3. 题目没有说明有实数根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)要先算判别式检验\(\dfrac23；-\dfrac53\) 4. 已知一根求另一根\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)优先用韦达定理\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)比解方程更快。 下一节：**2.4 用一元二次方程解决实际问题**\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-\dfrac52，\ x_1x_2=-\dfrac12\)\ x_1x_2=-5\)x_1x_2=1\)继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系；（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 素养目标 一元二次方程的不同解法: 方法 理论依据 适用范围 关键步骤 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 所有一元二次方程 (x+m)2＝n（n ≥ 0） 一边是0,另一边是易于分解成两个一次因式的乘积的方程 所有一元二次方程 平方根的意义 完全平方公式 配方 如果两个因式乘积为0，那么这两个因式至少有一个为0 开平方 配方 代入求根公式 分解因式 情境导入 03 新知探究 问题1 2x²-3x+1=0的两个根为x1=x2=1，那么2x²-3x+1与2(x-)(x-1)相等吗? 相等。 如方程2x²-7x+6=0的两根为x1=2，x2=， 此时2(x-x1)(x-x1)=2(x-2)(x-) =(x-2)(2x-3) =2x²-3x-4x+6=2x²-7x+6。 03 新知讲解 （2） 你认为ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）是否一定成立？与同伴进行交流。 不一定成立，当方程ax2+bx+c=0有实数根时，该等式才成立。 如果，是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。 03 新知讲解 思考·交流 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。 事实上，因为ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）， 而a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2， 所以ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2， 所以 于是 03 新知讲解 提炼概念 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x， ，那么 ， 。 试一试：你能举一些例子说明一元二次方程的根与系数的关系吗？ 新课探究 例1 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0； 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25＞0 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6 新课探究 例1 (2) 2x2 - 3x - 2 = 0 x1 + x2 = ， x1 x2 = -1 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2 – 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.一元二次方程的两个根为，，则 的值是 ( ) B A.3 B. C. D. 返回 举一反三 10 2.[湖北中考] 一元二次方程的两个实数根为, ，下 列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 3. 一元二次方程的两个根分别是， ，其中 ， ，写出一个满足此条件的方程： _________________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 12 1.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1+x2的值是(　　) A．0 B．2 C．－2 D．4 2.已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 3.设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x12+x22＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 B A C 当堂检测 4.已知方程x2-x＝2，则下列说中，正确的是（ ） A.方程两根和是1 B.方程两根积是2 C.方程两根和是-1 D.方程两根积是两根和的2倍 5.若关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+ m2 +1=0有两个实数根x1，x2满足= 1，则m的值为（ ） A.1或5 B.1或-5 C.-5 D.5 A C 当堂检测 6.若m，n是一元二次方程 x2-5x+2=0 的两个实数根，则m+(n-2)2的值为 . 7 7.若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2=       . 8.设m、n是一元二次方程x2+3x-7＝0的两个根，则m2+4m+n=         . 5 4 9.已知关于x的一元二次方程x2＋kx－1＝0，若方程的两根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k＝________. 1 当堂检测 4.[教材P49“随堂练习”第1题变式] 利用根与系数的关系，求下列方程的 两根之和与两根之积。 （1） ； 解：这里,, , 因为 , 所以方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个实数根为, , 则, 。 举一反三 16 （2） ； 解：原方程可化为,这里,, ,因为 ,所以方程有两个不相 等的实数根。设方程的两个实数根为，，则 ， 。 举一反三 17 （3） 。 解：原方程可化为,这里,, ,因为 ,所以方程有两个不相等的 实数根。 设方程的两个实数根为,，则, 。 返回 举一反三 18 知识点2 利用根与系数的关系求代数式的值 5.若,是一元二次方程的两个实数根，则 ____。 返回 举一反三 19 6.一元二次方程的两个实数根为， ，利用根与系数 的关系，求下列式子的值： 解：因为一元二次方程的两个实数根为， ， 所以， 。 （1） ； [答案] 。 （2） ； [答案] 。 举一反三 20 （3） 。 [答案] 。 返回 举一反三 21 知识点3 利用根与系数的关系求方程的根或字母的值 7.[苏州中考] 已知,是关于的一元二次方程 的两 个实数根，其中，则 ____。 返回 举一反三 22 8.已知关于的一元二次方程的一个根为，则 的值 为____，另一个根为___。 2 返回 举一反三 23 9.[陕西师大附中期末] 若方程的两根之积为 ，则 的值是( ) B A. B.1 C. D. 返回 举一反三 24 一元二次方程的根与系数的关系 内容 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，那么，.(又叫韦达定理) 应用 根与系数关系的常见的变形： (1) ; (2)； (3)=； (4)=; (5)()()=+a()+a2. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $