2.1.2一元二次方程的解及其估算（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.1.1认识一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 1. **一元二次方程定义**：只含有**一个未知数**\(1，0\)并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**\(1，0\)叫做一元二次方程。 2. **一般形式**：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a\(b\(x、y\)c\)b\(b\(x、y\)c\)c$为常数\(1，0\)$\boldsymbol{a≠0}$） - $ax^2$：二次项\(1，0\)$a$是二次项系数； - $bx$：一次项\(1，0\)$b$是一次项系数； - $c$：常数项。 > 重点：**$a≠0$**\(1，0\)如果$\(a=0\)$\(1，0\)方程就变成一次方程；$b\(b\(x、y\)c\)c$可以等于0。 3. **方程的根**：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值\(1，0\)叫做一元二次方程的根。 4. 易错提醒 - 必须是**整式方程**\(1，0\)分母含有未知数不是一元二次方程； - 整理成一般形式后\(1，0\)再判断次数； - 判断系数时\(1，0\)要先化为标准形式\(1，0\)注意符号。 ## 一\(b\(x、y\)c\)选择题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$\(x+2y=1\)$ B.$x^2-5=0$ C.$\dfrac1{x^2}+\(x=3\)$ D.$x^3+x^2=1$ 2. 将方程$3x^2-5=4x$化为一般形式\(1，0\)二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项依次是（） A.$3\(1，0\)-4\(1，0\)-5$ B.$3\(1，0\)4\(1，0\)-5$ C.$3\(1，0\)-5\(1，0\)4$ D.$-3\(1，0\)-4\(1，0\)5$ 3. 关于$x$的方程$(m-2)x^2+3x-1=0$是一元二次方程\(1，0\)则（） A.$\(\(m=\)2\)$ B.$m≠2$ C.$\(m>2\)$ D.$\(m<2\)$ 4. 若$\(x=2\)$是方程$x^2-ax+2=0$的一个根\(1，0\)则$a$的值是（） A.$3$ B.$-3$ C.$1$ D.$-1$ 5. 下列关于$x$的方程\(1，0\)一定是一元二次方程的是（） A.$ax^2+bx+c=0$ B.$x^2+2x=x^2-1$ C.$(x+1)^2=5$ D.$x^2+\sqrt{x}=0$ ## 二\(b\(x、y\)c\)填空题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________（$a≠0$）。 2. 方程$x^2-6x=0$的二次项系数是____\(1，0\)常数项是____。 3. 若$(k+3)x^2-2x+1=0$是一元二次方程\(1，0\)则$k$的取值范围为________。 4. 已知$\(x=1\)$是方程$x^2+mx-3=0$的根\(1，0\)则$\(m=\)$________。 5. 把方程$(x-2)^2=3$化成一般形式为________________。 ## 三\(b\(x、y\)c\)解答题（共60分） 1.（18分）判断下面哪些是一元二次方程\(1，0\)说明理由。 (1)$2x^2=9$；(2)$5x^2-6y=0$；(3)$\dfrac1{x^2}-2x=0$ 2.（20分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式\(1，0\)并写出二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项。 （1）$4x^2=1-5x$ （2）$(x+3)(x-2)=6$ 3.（22分）已知$\(x=3\)$是一元二次方程$x^2-2x+k=0$的一个根。 （1）求$k$的值；（2）判断$x=-1$是不是这个方程的根。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：A二元；C分母含未知数\(1，0\)不是整式方程；D最高次数3次。 2.A 解析：整理$3x^2-4x-5=0$\(1，0\)二次项系数3\(1，0\)一次项系数$-4$\(1，0\)常数项$-5$。 3.B 解析：一元二次方程二次项系数不能为0\(1，0\)$m-2≠0$\(1，0\)$m≠2$。 4.A 解析：代入$\(x=2\)$\(1，0\)$4-2a+2=0$\(1，0\)解得$\(a=3\)$。 5.C 解析：A缺少$a≠0$；B化简后二次项抵消\(1，0\)是一次方程；D含根号下未知数\(1，0\)不是整式方程。 ### 填空题 1.$ax^2+bx+c=0$ 2.$1\(1，0\)0$ 3.$k≠-3$ 4.$2$ 5.$x^2-4x+1=0$ ### 解答题 1.解： （1）$2x^2=9$是一元二次方程\(1，0\)只含一个未知数\(1，0\)未知数最高次数2\(1，0\)整式方程。 （2）$5x^2-6y=0$不是\(1，0\)含有$x\(b\(x、y\)c\)y$两个未知数。 （3）$\dfrac1{x^2}-2x=0$不是\(1，0\)分母含有未知数\(1，0\)不是整式方程。 2.解： （1）移项得：$\boldsymbol{4x^2+5x-1=0}$ 二次项系数：$4$\(1，0\)一次项系数：$5$\(1，0\)常数项：$-1$。 （2）展开：$x^2+x-6=6$\(1，0\)整理得$\boldsymbol{x^2+x-12=0}$ 二次项系数：$1$\(1，0\)一次项系数：$1$\(1，0\)常数项：$-12$。 3.解： （1）将$\(x=3\)$代入方程： $3^2-2\times3+k=0$\(1，0\)$9-6+k=0$\(1，0\)解得$k=-3$。 方程为$x^2-2x-3=0$。 （2）把$x=-1$代入左边：$(-1)^2-2\times(-1)-3=1+2-3=0$\(1，0\)左边=右边。 ∴$x=-1$是方程的根。 ## 易错点总结 1. 判断一元二次方程\(1，0\)**先化为整式\(1，0\)再看化简后最高次数\(1，0\)二次项系数不为0**。 2. 写一般形式\(1，0\)移项时注意变号；系数包含前面的正负号。 3. 检验根：把数值代入方程左右两边\(1，0\)相等即为根。 下一节：**2.1.2一元二次方程的近似解**\(1，0\)继续写吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.1.2一元二次方程的解及其估算 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.理解一元二次方程解的概念，会判定一元二次方程解的情况；(重点) 3.能用估算的方法求一元二次方程的近似解，进一步培养估算的的意识和能力.（难点） 素养目标 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的定义 只含有 未知数x的 方程，并且都可以化为 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程有关的概念 一个 整式 ax2+bx+c=0 ax2 + bx + c = 0（a，b，c为常数，a≠0） 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 情境导入 02 新知导入 复习导入 对于上一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x（单位：m）吗？ (8－2x )(5－2x ) = 18 8 m 5 m （1）x 有可能小于 0 吗？说说你的理由。 x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负。 x 有可能大于4吗？ x 不可能大于 4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有 8-2x > 0，即x<4。 03 新知探究 对于上一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x（单位：m）吗？ (8－2x )(5－2x ) = 18 8 m 5 m x 有可能大于2.5吗？ x 不可能大于 2.5 ，(5-2x)表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0，即x<2.5。 （2）你能确定x的大致范围吗？ 0 < x < 2.5 03 新知探究 (8－2x )(5－2x ) = 18 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 （4）你知道地毯花边的宽 x(单位：m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流。 还可以将18分解因数为6×3，用8-2x=6和5-2x=3的方法求出其解为x=1。所求宽度为 x = 1 m。 新课探究 例1 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 依题意可得： (x+6)²+7²=10²， 一般形式： x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 03 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考 (1)小明认为底端也滑动了1m， 他的说法正确吗?为什么? 不正确。 因为x=1不满足方程x²+12x-15=0， 所以他的说法不正确。 03 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考 (2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不可能是2m，也不可能是3m。 因为x=2和x=3同样都不满足方程x²+12x-15=0，所以二者都不可能。 03 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考 (3)你能猜出滑动距离x(单位：m)的大致范围吗? x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1<x<1.5。 03 新知讲解 x²+12x-15=0。 思考 (4) x的整数部分是几?十分位是几?为什么? 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 因此x的整数部分是1，十分位是1。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 03 新知讲解 你明白估算一元二次方程的解的想法吗? 通过两端不断逼近的方法估算一元二次方程的解。 x²+12x-15=0。 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 知识点1 一元二次方程的解 1.下列是方程 的根的是( ) C A.1 B. C. D.0 返回 举一反三 13 2.[陕西师大附中期中] 已知关于的方程 的一个根为 ，则实数 的值为____。 返回 举一反三 14 知识点2 一元二次方程的近似解 3.根据下表判断关于的方程的一个解 的范围 是( ) 4.6 4.5 4.4 4.3 0.3 1 C A. B. C. D. 返回 举一反三 15 03 新知讲解 如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢? 在1.1和1.2之间再取值，并进行计算，计算结果最接近0的那个对应取值就是把x的小数部分精确到百分位的近似值。 03 新知讲解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 提炼概念 1.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（ ） A. 1 B. -1 C . 1或-1 D. 2.方程x2=3x的根是（ ） A.x = 3 B.x = 0 C.x1 =-3, x2 =0 D.x1 =3, x2 = 0 3.若方程 ax2 +bx+c＝0(a ≠ 0)中，a,b,c满足a+b+c＝0和a-b+c＝0，则方程的根是（ ） A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定 B D C 当堂检测 4.输入一组数，按如图所示的程序进行计算，输出结果如下表: 分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为( ) A. 20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9 C 当堂检测 6.小亮同学在探究关于x的一元二次方程ax2 +bx+c＝0(a ≠ 0)的近似解时,填好了下面的表格: 根据以上信息,请你确定方程ax2 +bx+c＝0的一个解的大致范围: . 5.已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则m的值为 . 2 3.24<x<3.25 当堂检测 4. 如图，将一张长为 ，宽为 的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方 形，剩余部分（阴影部分）可制成一个底面积是 的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长。 小华在做这道题时，设剪去的正方形的边长为 ， 列出关于的方程为，整理，得 。 他想知道剪去的正方形的边长到底是多少，下面是他的探索过程。#1.3 举一反三 21 第一步：#1.4 0 1 2 17 9 因此________ ________。 第二步：#1.5 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此________ ________。#1.5.2 举一反三 22 （1）请你帮助小华补全探索过程； [答案] 3; ; 1; 2; ; ; 1.6; 1.7 （2）通过以上探索，估计剪去的正方形的边长的整数部分是___，十分 位是___。 1 6 返回 举一反三 23 5.已知关于的一元二次方程，若 ，则下 列各数中一定是该方程的根的是( ) A A.1 B. C.2 D.0 返回 举一反三 24 6.观察下列表格，一元二次方程 的一个近似解为 ( ) 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 D A. B. C. D. 返回 举一反三 25 7.已知关于的一元二次方程，其中,, 是 的三边长，若是该方程的一个根，则 的形状为 ____________。 等腰三角形 返回 举一反三 26 8. 如果是方程 的一个根，那么代数式 的值为____。 18 返回 举一反三 27 9. 已知一个一元二次方程的一个根为 ，且常数项为0， 请写出一个满足要求的方程：_________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 28 10.若是方程的一个根，求 的值。 解：由题意得， ， 所以且 ， 所以 。 所以 举一反三 29 。 返回 举一反三 谢谢观看 THANKS $