（无锡卷）2026-2027学年苏科版九年级数学期中模拟卷

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （无锡专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 4．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 5．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 6．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 7．如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点为， ∴，， ∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴，即， ∴． 8．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上，当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3个． 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 10．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得 12．某种蓄电池的电压（单位：V）为定值．使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是_____A． 【答案】 3 【分析】先设出反比例函数关系式，求出定值电压，再代入的值计算电流即可． 【详解】解：设电流与电阻的反比例函数关系式为， 把，代入得 ， 因此反比例函数解析式为， 当时，． 13．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 15．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 16．如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 17．为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 【答案】八 【详解】设该服装每次平均打折，根据原售价及实际售价，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该服装每次平均打折， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该服装每次平均打八折． 18．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值___________ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分。 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或， ，． 20．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 21．政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 22．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 23．如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，可得；推出，结合点为的中点，得，据此即可求解； （2）连接，根据题意可推出，得；设，则，可求出，，， 得到；证即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 在中，， 又点为的中点， ， ； （2）解：如图，连接， 点为的中点， ， 又与相切于点， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， ， ， ． 24．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 【答案】(1) 解：①的外接圆圆心，如图所示： ②在上作点，使平分，如图所示： (2) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，正方形的判定与性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先结合网格以及垂直平分线的性质，则外接圆的圆心是的垂直平分线的交点，即可作答． ②利用网格与勾股定理得出，以及，得四边形是正方形，故，即点M是的中点，再连接，所以，故平分即可作答． （2）结合正方形的性质，以及弧长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形，， ∴， 则的长度． 25．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 26．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 27．如图1，在中，是的中点，． (1)如图2，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点； ①的度数为___________； ②，求的半径； (2)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)①；② (2) 如图，射线即为所求： 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、圆的切线性质、含角的直角三角形及尺规作图，解题的关键是利用菱形与圆的性质推导角度关系，进而求解线段长度． （1）①先证四边形为菱形得，结合得角相等，利用三角形外角性质及切线的性质，推出的度数；②用表示，利用含角的直角三角形的性质列出方程，即可求解的半径； （2）利用尺规作，即可得到射线． 【详解】（1）解：① 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． ， ， ， ， ， 切于， ， ， ； 故答案为：； ②，， ， ， ， 解得； （2）略 28．【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）． 【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）． 【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______． 【答案】 （1）； （2）弧中的任意一点P都满足条件，如图所示： （3） （4） 【分析】本题主要考查圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键； （1）根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质可进行求解； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，进而问题可求解； （3）由作图可知，然后可得，进而问题可求解； （4）由题意易得，所以点Q是在半径为200的圆上运动的点，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴所在的圆的半径长为； 故答案为90，； （2）略 （3）连接，交于点P，如图所示： 根据圆外的点到圆上的动点距离的最值问题“当且仅当圆外的点，圆上的动点及圆心三点共线时取得最值”可知：此时的值最小， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴由作图可知：， ∴， 过点作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； （4）∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 由是定值，且所对的线段也是定值，可知点Q的运动轨迹是一段圆弧，如图所示， 连接，过点O作于点H，交，分别于点F，G， ∵， ∴， ∴由（3）可知，， 要使的面积最小，由图可知当且仅当点Q与点重合时最小， ∵， ∴优弧所对的圆心角度数为， ∴， ∵， ∴， 同理（3）可得， ∴， ∴的面积最小为； 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （无锡专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 5．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 6．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 10．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 12．某种蓄电池的电压（单位：V）为定值．使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是_____A． 13．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 15．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 16．如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 17．为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 18．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值___________ 三、解答题：本题共10小题，共96分。 19．解方程： (1)； (2)． 20．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 21．政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 22．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 23．如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 24．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 25．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 26．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 27．如图1，在中，是的中点，． (1)如图2，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点； ①的度数为___________； ②，求的半径； (2)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 28．【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）． 【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）． 【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $