1.3.1 矩形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 1.3.1 矩形的性质 专项练习 ## 知识点梳理 **矩形定义**：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)矩形是特殊的平行四边形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)具备平行四边形的全部性质\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)同时拥有专属性质。 1. **边**：对边平行且相等。 2. **角**：四个角都是直角（90°）。 3. **对角线（重难点）**：对角线互相平分**且相等**。矩形两条对角线分成两对全等的等腰三角形。 > 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（考试高频考点） 4. **对称性**：既是中心对称图形（对角线交点为对称中心）\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)又是轴对称图形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)有2条对称轴\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)为经过对边中点的直线。 5. **面积公式**：$\(S=\)$长$\times$宽。 > 易错提醒： 矩形对角线**相等但不一定垂直**；只有当矩形邻边相等时（即正方形）\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线才互相垂直。 ## 一\(AC、BD\)选择题（每题4分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)共20分） 1. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 在矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)下列说法错误的是（） A. $\(AB=CD\)$ B. $\angle ABC=90^\circ$ C. $\(AC=BD\)$ D. $AC\perp BD$ 3. 矩形的一条对角线长为10\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则两条对角线的交点到矩形顶点的距离为（） A. 10 B. 5 C. 20 D. 2.5 4. 直角三角形斜边上的中线长为4\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则斜边长为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 矩形是轴对称图形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对称轴的条数是（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ## 二\(AC、BD\)填空题（每题4分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)共20分） 1. 矩形的四个角都是________\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线互相平分且________。 2. 矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angle A=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则$\angle C=$________$^\circ$。 3. 在$Rt\triangle ABC$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)斜边$\(AB=12\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则斜边中线长为________。 4. 矩形长为6\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)宽为4\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则矩形面积是________。 5. 矩形对角线相交形成的角中有一个为60°\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)较短边长为3\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)则对角线长为________。 ## 三\(AC、BD\)解答题（共60分） 1.（18分）已知矩形$ABCD$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=6\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(BC=8\)$。 （1）求矩形对角线$AC$的长；（2）求$AO$的长度；（3）求矩形面积。 2.（20分）如图\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)在矩形$ABCD$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angle AOB=60^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=4\)$。求证：$\triangle AOB$是等边三角形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)并求对角线$AC$的长。 3.（22分）已知：在$Rt\triangle ABC$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angle ACB=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$CD$是斜边$AB$上的中线\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AB=10\)$。 （1）求$CD$的长；（2）若$\(AC=6\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)求$BC$的长度。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：对角线相等是矩形特有性质\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)普通平行四边形对角线只互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)不一定相等。 2. D 解析：矩形对角线相等平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)不一定垂直\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)菱形对角线才互相垂直。 3. B 解析：矩形对角线互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)交点把对角线分成两段\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$10\div2=5$。 4. C 解析：直角三角形斜边上中线等于斜边一半\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)斜边$=4\times2=8$。 5. B 解析：两条过对边中点的直线为矩形对称轴。 ### 填空题 1. 直角；相等 2. 90 3. 6 4. 24 5. 6 > 第5题解析：矩形对角线相等且平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(OA=OB\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)夹角60°\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)\(\triangle AOB\)等边\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(OA=AB=3\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线$\(AC=2OA=6\)$。 ### 解答题 1. 解：∵四边形$ABCD$是矩形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\angle ABC=90^\circ$ （1）在$Rt\triangle ABC$中\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ （2）矩形对角线互相平分\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$AO=\dfrac12AC=\dfrac12\times10=5$ （3）面积$\(S=\)AB\times BC=6\times8=48$ 2. 证明：∵四边形$ABCD$是矩形 ∴$\(AC=BD\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$OA=\dfrac12AC\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)OB=\dfrac12BD$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$\(OA=OB\)$ 又∵$\angle AOB=60^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$\triangle AOB$是等边三角形。 ∴$OA=\(AB=4\)$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)$\(AC=2OA=8\)$。 3. 解：（1）∵$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边中线\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)∴$CD=\dfrac12AB=\dfrac12\times10=5$ （2）$\angle ACB=90^\circ$\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)由勾股定理： $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ ## 易错点总结 1. 矩形核心特征：四角直角\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)对角线相等平分；区分矩形（对角线相等）\(AC、BD\)菱形（对角线垂直）。 2. **直角三角形斜边上中线定理**是矩形性质推导出来的\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)选择填空经常单独考查。 3. 矩形对角线相交\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)出现60°或120°角\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)一般会形成等边三角形\(OA=\dfrac12AC，OB=\dfrac12BD\)这是典型模型。 要不要我继续写**1.3.2矩形的判定**专项练习？或者生成空白无答案版本？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 1.3.1矩形的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 特殊平行四边形 素养目标 1.会证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题；（重点） 2.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （难点） 素养目标 1.矩形的定义： 有一个角是 的 叫作矩形. 2.矩形的对称性： 矩形是 图形，有 条对称轴。 矩形还是 图形，对称中心是 . 直角 平行四边形 轴对称 两 中心对称 对角线的交点 3.矩形的一般性质： 矩形具有 的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分. 平行四边形 情境导入 02 新知导入 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。 可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。 03 新知探究 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ 03 新知探究 尝试·思考 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？ 可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等。 03 新知探究 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB。 A B C D O 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形。 ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC(矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°。 03 新知讲解 （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC(矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的边、角性质 （第1题） 1.如图是一个矩形空地， ， ，从点沿直线走到点 ,要走( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第2题） 2.如图，直线，矩形的顶点在直线 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 03 新知讲解 提炼概念 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 03 新知讲解 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 03 新知讲解 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD，∴BO=BD=AC。 你还有其他证明方法吗? 新课探究 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 03 新知讲解 总结 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质。 对称性：是轴对称图形。 角：四个角都是90°。 对角线：相等。 角：对角相等。 边：对边平行且相等。 对角线：相交并相互平分。 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 3.[无锡中考] 如图，在矩形中，点在延长线上，点在 延 长线上，且，连接， 。求证： 举一反三 16 （1） ； 证明： 四边形 是矩形， ， ， 。 在和 中， 。 举一反三 17 （2） 。 [答案] ， 。 又 ， ，即 。 返回 举一反三 18 知识点2 矩形对角线的性质 4.如图，在矩形中，对角线与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 19 5.如图，在矩形中，对角线，相交于点，是边 的中点， 点在对角线上，且，连接。若，则 __。 返回 举一反三 20 6.［教材P12“例1”变式］ 如图，在矩形中，与相交于点 。 若， ，求矩形 的面积。 举一反三 21 解： 四边形 为矩形， ，， 。 ， 。 在中， ， 。 。 矩形的面积是 。 返回 举一反三 22 知识点3 直角三角形斜边上中线的性质 （第7题） 7. 一技术人员用刻度尺测量 某三角形部件的尺寸。如图，已知 ，为边的中点，点， 对应的刻度数分别为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 23 8.如图，在中，是的中点， ， ，则 的长是( ) A （第8题） A.3 B.6 C. D. 返回 举一反三 24 9.[淮安中考] 如图，在中，对角线，交于点 ， ，，分别为，的中点，连接，，若 ，则 ___。 4 （第9题） 返回 举一反三 25 定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质定理 定理2：矩形的对角线相等. 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $