3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 一、教学内容及解析 　　1.教学内容 本课学习数学建模的基本过程，研究苹果单价、保鲜成本、上市量之间的函数关系，建立并求解最佳出售时间点的收益模型，了解建模论文的结构。 　　2.内容解析 本节是全章收尾的数学建模活动课，以“决定苹果的最佳出售时间点”为载体，引导学生完整经历发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型的数学建模全过程，是对全章函数知识的综合运用与提升。 在知识逻辑上，本节把“物以稀为贵”的现实现象进行数学抽象：苹果单价随上市量的增大而减少，抽象为减函数；单位保鲜成本随存储时间的延长而增大，抽象为增函数；上市量随时间变化，抽象为；由此得到刻画第天出售苹果时单位收益的核心函数。再通过合理假设函数类型、收集实际数据、用待定系数法确定参数，把问题转化为二次函数求最值的问题，并进一步讨论模型的验证与改进，体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养，突出了函数模型应用的广泛性与建模思想的完整性。 基于以上分析，本课教学重点是：用函数符号表示现实问题中的数量关系，建立苹果出售的收益模型并求出最佳出售时间点。 　　二、教学目标及解析 　　1.教学目标 （1）能结合苹果出售的实例说明数学建模的基本过程，会用函数符号，表示现实问题中变量之间的依赖关系； （2）能在合理假设的基础上，用待定系数法确定模型中的参数，并利用二次函数的知识求出最佳出售时间点。 　　2.目标解析 （1）达成目标（1）的路径：学生经历从苹果出售现象中发现问题、提出问题的过程，用减函数刻画价格随上市量的反向变化，用增函数刻画成本随时间的正向变化，体会函数是刻画现实世界变化规律的数学语言，感悟数学抽象与数学建模的思想方法。 （2）达成目标（2）的路径：学生经历假设函数形式、代入实际数据、待定系数、代入化简、配方求最值的完整过程，体会化归思想与数形结合思想，认识验证结果、改进模型对解决实际问题的价值，发展建模素养。 　　三、教学问题诊断分析 学生在本课前已经学习了函数的概念、表示方法、单调性、奇偶性以及函数零点等内容，能够用函数符号表示简单的变量关系，掌握了待定系数法与配方法求二次函数最值的方法，具备了一定的用函数观点分析问题的经验，这为本课学习奠定了基础。学生的可能困难主要有三点：一是从“物以稀为贵”的生活现象中抽象出变量之间的依赖关系并选择恰当的函数类型时存在困难，容易忽略保鲜存储成本随时间增大这一隐含的数量关系；二是对用表示第天出售时单价的复合关系理解不深，容易与混淆；三是缺乏收集数据、确定参数、验证模型的完整体验，对为什么要假设函数的具体形式、如何改进模型认识不足。教学中应通过苹果保鲜出售的真实情境激发兴趣，用问题串引导学生逐层抽象，组织小组合作完成数据收集与试算，在对比不同假设的过程中体会模型简化与改进的必要性。 四、教学支持条件分析 借助多媒体课件呈现苹果价格与上市量的实际数据，利用电子表格进行数据整理、函数拟合与图象展示，配合小组合作学习，帮助学生直观理解模型的建立、求解与改进过程。 五、教学过程设计 　　（一）概念的引入 问题一、前面我们学习了函数的概念与性质，知道函数可以刻画现实世界中两个变量之间的依赖关系。俗话说“物以稀为贵”，市面上苹果多时价格低、苹果少时价格高，如果再考虑保鲜存储的成本随时间增大，那么苹果存储到第几天出售收益最大呢？这与我们已学的函数知识有什么联系？ 师生活动：师生活动：学生结合生活经验讨论苹果价格随上市量变化的现象并提出想要研究的问题，教师引出“决定苹果的最佳出售时间点”这一课题。 设计意图：设计意图：从学生熟悉的“物以稀为贵”现象出发制造认知冲突，让学生初步感受用数学刻画现实问题的必要性，明确本课要研究的核心问题，为建立收益函数模型、完整经历建模过程作好铺垫。 　　（二）概念的形成 问题二、请同学们阅读教科书第132页“建模过程描述与介绍”中的探究内容，思考并回答：苹果出售现象中哪些量在变化，它们之间存在怎样的依赖关系？ 师生活动：问题1、苹果的单价随上市量的增大而减少，单位保鲜成本随存储时间的延长而增大，这两对量之间的关系分别属于哪种变化类型？ 问题2、一般地，如果随的增大而减少，且是的函数，这类关系可以用什么符号形式表示？ 答案：,, 师生活动：学生在讨论的基础上逐层归纳出用减函数刻画价格与上市量的关系、用增函数刻画成本与时间的关系的一般表示形式。 师生活动：师生活动：学生在教师引导下归纳出本课核心形式：设市面上苹果的量为万吨、单价为元，则是减函数；设存储时间为天、单位保鲜成本为元，则是增函数，且；于是第天出售时单位数量的收益为。 设计意图：设计意图：通过两个追问引导学生自主归纳现实量之间的函数关系，梳理从发现问题、分析问题到建立模型的逻辑关系，经历由具体现象抽象出一般符号表示的过程，发展数学抽象与数学建模素养。 　　（三）概念的巩固应用 例1．在苹果出售问题中，用函数符号表示下列各对量之间的关系，并判断相应函数的类型： （1）苹果单价元随上市量万吨的增大而减少； 答案：, （2）单位保鲜成本元随存储时间天的延长而增大； 答案：, （3）上市量随时间变化，第天出售苹果时单位数量的收益为。 答案：, 师生活动：师生活动：学生独立完成三个关系的符号表示与函数类型判断，教师板书规范写法并点评易错之处。 设计意图：设计意图：通过例3检查学生对现实量函数化的掌握情况，巩固用减函数、增函数刻画反向变化与正向变化的表示方法，为确立收益函数的核心模型扫清障碍。 变式练习 练习：在苹果出售问题中，已知相关函数的符号表示，完成下列各题： （1）第天苹果的上市量为万吨，此时苹果的单价可表示为什么？ 答案： （2）若单位保鲜成本为元，则第天出售苹果时单位数量的收益可表示为什么？ 答案： （3）若某天，，则该天单位数量的收益为多少元？ 答案： 　　（四）概念的深化 问题三、请同学们阅读教科书第132页至第133页中关于确定参数、计算求解的探究内容，思考并回答：怎样才能确定模型中的各个函数，进而求出苹果的最佳出售时间点？ 师生活动：问题1、苹果单价与上市量的关系、保鲜成本与存储时间的关系、上市量与时间的关系，这三组数量关系在收集数据后分别属于哪种函数类型？ 问题2、一般地，若假设，，，则与之间的一般关系式是什么？ 师生活动：学生结合实例归纳出一次函数与二次函数的一般形式，教师引导学生认识合理假设对简化实际问题的作用。 师生活动：师生活动：学生把，，代入并逐层化简，归纳出；教师进一步指出，利用待定系数法代入实际数据即可确定各参数，求得，，，从而得到。 设计意图：设计意图：本部分与上一部分建立模型的过程相类比：上一部分解决“关系如何表示”的问题，本部分解决“参数如何确定、模型如何求解”的问题。通过假设函数形式、代入数据、待定系数、配方求最值的完整链条，让学生体会由一般模型到具体模型再到数值结论的转化过程，锻炼数学运算、逻辑推理与数据分析素养，初步形成验证与改进模型的意识。 　　（五）概念的巩固应用 例1．用待定系数法确定苹果出售模型中的各参数： （1）已知，且，，求的解析式； 答案： （2）已知，且，，求的解析式； 答案： （3）将上面求得的，与代入，写出关于的关系式。 答案： 师生活动：师生活动：学生分组完成待定系数法求参数与代入化简，教师投影展示典型解答并规范书写步骤。 设计意图：设计意图：通过例4让学生完整经历确定参数、计算求解的过程，巩固待定系数法，体会实际数据在确定模型参数中的作用，感受模型由抽象走向具体的过程。 变式练习 例5．结合模型解决最佳出售时间点问题： （1）把的表达式配方，化为顶点形式； 答案： （2）画出的图象草图（如图1），结合图象说明为何值时最大，并求出最大值。 答案：, 例5．运用本课知识求解，并判断下列说法的真假： （1）在上述模型中，苹果保鲜存储的时间越长，单位数量所获得的收益就越大； （2）在上述模型中，当天时，单位数量的苹果所获得的收益最大，为元。 答案：(1)假,(2)真 师生活动：师生活动：学生配方得，并据此判断两个说法的真假，教师引导学生说明判断的理由。 设计意图：设计意图：通过判断真假的问题，促使学生不仅会算，而且真正理解收益函数先增后减的变化规律，深化对最值含义与最佳出售时间点的认识，培养严谨求实的科学态度。 变式练习 练习：根据已确定的苹果出售模型，完成下列各题： （1）已知，求的值； 答案： （2）已知，求的值； 答案： （3）已知，求的值； 答案： （4）结合前三小题的结果，求的值。 答案： 　　六、归纳小结 教师引导学生回顾本课所学内容，并围绕下面两个问题请学生作答： （1）数学建模主要包括哪些基本环节？在苹果问题中，是减函数、是增函数，核心的收益函数应如何表示？ （2）在中，怎样用配方法确定最佳出售时间点？验证结果与改进模型时应注意什么？ 七、布置作业：教科书第137页3.4节“活动要求与提示”第2题、第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $