3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 高一 教学设计--2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦数学建模活动，以苹果最佳出售时间点为载体，通过种植户销售决策情境导入，连接学生已掌握的一次、二次函数及待定系数法，搭建学习支架，梳理建模完整流程及函数复合关系z=f(h(t))−g(t)的建立。 特色在于情境驱动与合作探究结合，完整呈现“问题发现-数学抽象-假设建模-参数确定-求解优化”流程，通过待定系数法确定函数参数、计算不同时间点收益等实例，培养数学眼光（抽象）、数学思维（推理）、数学语言（模型观念），提升学生数据分析与建模能力，为教师提供可操作的数学建模教学范例。

必修第一册 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 高一 教学设计-2026-2027学年 人教B版 数学 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 课题名 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 章节 第三章 3.4 版本 人教B版 册次 必修第一册 课型 数学建模活动课 课时 1课时 教材分析 本节以苹果出售为载体，完整呈现数学建模流程，是连接现实与数学的桥梁 学情分析 学生已掌握一次、二次函数及待定系数法，对建模流程尚缺系统经验 教学方法 情境驱动、问题引导、合作探究 教学准备 多媒体课件、苹果价格与保鲜成本数据表、计算器 评价方式 过程性评价与建模报告评价相结合 备注 数据为教学假设，实际建模应收集真实数据 本课以苹果种植户的实际销售决策为情境，引导学生经历完整的数学建模过程，体会数学在解决实际问题中的作用。 教学目标 （1）理解数学建模是连接数学和现实世界的桥梁，经历从现实问题中提取变量、建立函数模型并求解最优方案的全过程；掌握收益等于销售收入减去保鲜成本这一核心关系，能依据实际情境合理假设函数形式并用待定系数法确定参数，最终建立复合关系式 z=f(h(t))−g(t) 并求最大值。 （2）在模型建立与求解过程中，体会合理假设对问题简化的作用，认识到假设函数形式会带来偏差，初步形成收集更多数据以优化模型的意识，提升数学抽象与数据分析素养。 教学内容 （1）数学建模是连接数学和现实世界的桥梁。本节围绕苹果种植户的收益决策展开，收益等于销售收入减去保鲜成本。其中苹果价格随上市量增大而降低，是减函数；保鲜成本随时间增大，是增函数。 （2）建模全过程包括从现实世界发现问题、用数学符号和语言描述问题、合理假设（如设 f(x)、g(t) 为一次函数，h(t) 为二次函数）、收集数据并用待定系数法确定参数、得到关系式 z=f(h(t))−g(t)、最终求最大值解决问题。 （3）模型有偏差：假设把问题简化了，因为假设 f(x) 和 g(t) 都是一次函数等就已经把问题进行了简化。如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化最终建立的模型。对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法解决问题。 教学重点 教学重点：数学建模的完整流程，函数复合关系 z=f(h(t))−g(t) 的建立。 教学难点：合理假设与参数确定，模型的检验与优化意识。 教学过程 环节一　情境导入与问题发现 教师呈现情境：某苹果种植户采摘苹果后，既可以选择立即上市销售，也可以冷藏保鲜一段时间后再销售。立即上市产量大但价格低，且保鲜成本为零；延后上市价格可能升高但保鲜成本增大，同时苹果品质会随时间变化。教师提问：如果你是这位种植户，你会选择什么时候出售苹果才能使收益最大？ 预设学生回答：可能立即卖掉避免损耗，也可能等价格涨了再卖。教师追问：仅凭直觉判断可靠吗？能否用数学方法寻找最佳出售时间点？由此引出本课题——决定苹果的最佳出售时间点。设计意图：以真实生活情境激发兴趣，引导学生发现其中蕴含的数学问题，自然进入建模活动。 环节二　数学抽象与合理假设 教师引导学生分析影响收益的变量。设苹果采摘后第 t 天出售，单位千克苹果的售价为 x 元，此时保鲜成本为 g(t) 元，种植户的收益为 z 元。教师提问：收益 z 与销售收入和保鲜成本之间是什么关系？ 预设学生回答：收益 z 等于销售收入减去保鲜成本，即 z=x−g(t)。教师追问：售价 x 是否随时间 t 变化？两者有何关系？预设学生回答：苹果上市量随时间变化导致价格波动，售价 x 是时间 t 的函数，记为 x=h(t)。教师引导：因此收益 z 可表示为 z=f(h(t))−g(t)，其中 f 将售价转化为销售收入。 教师进一步引导：实际情况中这些函数关系复杂，我们首先进行合理假设。假设采摘后第 t 天的保鲜成本 g(t) 是关于时间 t 的一次函数，苹果上市量 h(t) 是关于时间 t 的二次函数，售价 x 与上市量 h(t) 的关系 f(x) 也是一次函数。设计意图：让学生体会合理假设是建模的关键一步，能把复杂现实问题简化为可处理的数学问题。 环节三　收集数据与确定参数 教师给出经过市场调研得到的数据信息：采摘当天（t=0）不产生保鲜成本，即 g(0)=0；第10天时每千克保鲜成本为2元，即 g(10)=2。由此可设 g(t)=at+b（a，b 为待定参数）。 由 g(0)=0 得 b=0；由 g(10)=2 得 10a=2，即 a=。因此保鲜成本函数为 g(t)=t。 教师继续给出上市量数据：采摘当天上市量为0，即 h(0)=0；第5天上市量达到峰值400千克，即 h(5)=400；第10天上市量降为0，即 h(10)=0。设 h(t)=pt²+qt+r（p，q，r 为待定参数）。 由 h(0)=0 得 r=0。由 h(10)=0 得 100p+10q=0，即 q=−10p。由 h(5)=400 得 25p+5q=400，将 q=−10p 代入得 25p−50p=400，即 −25p=400，所以 p=−16，q=160。因此上市量函数为 h(t)=−16t²+160t。 教师再给出售价与上市量的关系：苹果售价 x 与上市量 h(t) 成反比关系，当上市量为400千克时售价为每千克5元，即 x=。设计意图：通过待定系数法确定各函数参数，让学生掌握建模中收集数据、确定参数这一核心步骤。 环节四　建立模型与求解最大值 教师引导：现在我们已确定各函数关系，将售价 x= 代入收益 z=x−g(t) 中，得到收益模型：z=−t，其中 0<t≤10 且 h(t)>0。 教师提问：如何求这个收益函数的最大值？预设学生回答：可以尝试代入若干特殊时间点计算比较。教师引导：分别计算 t=1，t=5，t=9 时的收益。 当 t=1 时，h(1)=−16+160=144，z=−≈13.89−0.20=13.69 元。 当 t=5 时，h(5)=−400+800=400，z=−1=5−1=4 元。 当 t=9 时，h(9)=−1296+1440=144，z=−≈13.89−1.80=12.09 元。 比较可知 t=1 时收益约为13.69元，高于 t=5 时的4元和 t=9 时的12.09元。教师追问：这是最大值吗？预设学生回答：不一定，需要更多点验证或用函数性质分析。教师指出：实际建模中，可借助计算工具对更多时间点逐一计算比较，当收益取得最大值时对应的 t 即为最佳出售时间点。在本例数据下，采摘后第1天左右出售收益最高。 设计意图：让学生经历模型求解过程，体会复杂函数求最值可通过代入计算与工具辅助完成，培养数值逼近意识。 环节五　模型检验与优化意识 教师提问：我们得到的最佳出售时间一定与实际情况完全吻合吗？预设学生回答：不一定，因为我们假设各函数为一次或二次函数，实际情况可能更复杂。 教师总结：实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差，因为我们假设 f(x) 和 g(t) 都是一次函数等就已经把问题进行了简化。如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化最终建立的模型。设计意图：培养学生对模型的批判性思维，认识到模型需要不断检验与优化。 环节六　课堂小结 教师与学生共同回顾本节建模流程：从现实世界发现问题→用数学语言描述问题→合理假设→收集数据确定参数→建立模型 z=f(h(t))−g(t)→求最大值→检验与优化。教师强调：数学建模是连接数学和现实世界的桥梁，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法解决问题。 环节七　课后作业 （1）回顾本节建模过程，写出收益 z 与时间 t 的函数关系式，并说明各符号含义。参考答案：z=−t，其中 t 为采摘后天数，h(t)=−16t²+160t 为上市量，g(t)=t 为保鲜成本，0<t≤10。 （2）若保鲜成本函数变为 g(t)=t，其他条件不变，分别计算 t=1 和 t=2 时的收益，比较哪个更大。参考答案：t=1 时 z≈13.89−0.30=13.59 元；t=2 时 h(2)=−64+320=256，z=−≈7.81−0.60=7.21 元。t=1 时收益更大。 （3）思考：除了改变保鲜成本，还有哪些因素可能影响模型结果？请举出一条并简要说明。参考答案示例：天气因素可能导致苹果品质加速下降，使上市量函数 h(t) 的峰值提前到来，从而影响最佳出售时间点。 学科网（北京）股份有限公司 $