第二十七章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十七章 反比例函数 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 反比例函数 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十七章 反比例函数 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y=- C．xy＝5 D．y= 2．（3分）下面每个选项中的两种量成反比例的是（　　） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 3．（3分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 4．（3分）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 5．（3分）函数y=(k≠0)与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式-的值为（　　） A．- B． C．- D． 7．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC在x轴上，BC＝2，点A在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（　　） A．8 B．4 C．6 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）已知关于x的反比例函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3，则m的值为 　　　　 ． 10．（3分）若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则a的值为 　　　　 ． 11．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 　　　　 ． 12．（3分）已知点D是反比例函数上一点，矩形ABCD的周长是16，正方形ABOF和正方形ADGH的面积之和为50，则反比例函数的解析式是　　　　 ． 13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为　　　　 ． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 　　　　 ． 15．（3分）写出一个当x＞0时，y随x增大而减小的函数表达式：　　　　 ． 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y=图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，-）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=图象的“1阶方点”的有 　　　　 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　　　　 ；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=经过点A（6，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，点C是双曲线第三象限上一点，连接AC，BC． （1）求k的值； （2）若△ABC的面积为12，求直线AC的解析式 19．（6分）画出反比例函数y=-的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 20．（6分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 21．（6分）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当z=-时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 22．（6分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴和反比例函数y=(x＞0)交点分别为A，B，C，D，已知点C（1，4）． （1）求k的值； （2）证明：△AOC≌△BOD． 23．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 24．（8分）【情景再现】某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：x3+3x2+x﹣1＝0．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出a、b、c的值； （2）请求出方程x3+3x2+x﹣1＝0的解； 【方法迁移】 （3）若点P（t，t2﹣6t+11）在函数y=上，求点P的坐标． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　　　　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 27．（10分）如图1，直线l1：y=x-2与反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象交于A（m，1）点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线l2垂直于直线l1，交y轴于点C（0，10），点D是线段AC上一点，连接OD，若四边形ABOD的面积为8，点P为y轴上一动点，连接DP，求DP+BP的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接KP，将射线KO绕K点逆时针旋转90°，交x轴于点G，若=，则在x轴上是否存在点Q，使得∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 反比例函数 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十七章 反比例函数 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y=- C．xy＝5 D．y= 【答案】B 【解答】解：A、y＝3x﹣1=是反比例函数，故本选项错误；B、y=-是正比例函数，故本选项正确；C、xy＝5是反比例函数，故本选项错误；D、y=是反比例函数，故本选项错误．故选：B． （来源：2024•济南模拟） 2．（3分）下面每个选项中的两种量成反比例的是（　　） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 【答案】A 【解答】解：A． ∵A和B互为倒数， ∴A×B＝1，符合题意；B．圆柱的体积÷底面积＝高，不是乘积，不符合题意；C．减数+差＝被减数，不是乘积，不符合题意；D．被除数÷商＝除数，不是乘积，不符合题意．故选：A． （来源：2024秋•渝中区校级期中） 3．（3分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 【答案】A 【解答】解：解法一： ∵反比例函数y=(k＞0)， ∴反比例函数y=的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴A（x1，2）和B（x2，4）都在第一象限， ∵4＞2＞0， ∴x1＞x2＞0．故选：A．解法二： ∵点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上， ∴2=，4=， ∴x1=，x2=， ∵k＞0， ∴x1＞x2＞0．故选：A． （来源：2023•金乡县三模） 4．（3分）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 【答案】D 【解答】解：A、因为点（2，3）的坐标不满足y=-，所以函数图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；B、 ∵k＝﹣6＜0，所以函数图象位于第二、四象限，该选项不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，该选项不符合题意；D、当﹣6＜x＜﹣1时，y随x的增大而增大，且点（﹣6，1）和点（﹣1，6）在函数图象上， ∴，当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6，该选项符合题意．故选：D． （来源：2026•长春） 5．（3分）函数y=(k≠0)与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、 ∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；B、 ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；C、 ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；D、 ∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；故选：A． （来源：2024•北京模拟） 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式-的值为（　　） A．- B． C．- D． 【答案】C 【解答】解：法一：由题意得，，解得，或（舍去）， ∴点P（，），即：a=，b=， ∴-=-=-；法二：由题意得，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b）， ∴ab＝4，b＝a﹣1， ∴-==-；故选：C． （来源：2020•徐州） 7．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【答案】C 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h=，A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意；B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；，C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意；D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；，故选：C． （来源：2025•连州市一模） 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC在x轴上，BC＝2，点A在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（　　） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝2， ∴AB＝2，根据折叠，可得∠ACD＝∠ACB＝60°，CD＝CB＝2， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∴CE=CD＝1，根据勾股定理，可得DE=，设OB＝m，则A（m，2），D（m+3，）， ∵点A、D在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上， ∴2m=（m+3）， ∴m＝3， ∴k＝2m＝6．故选：C． （来源：2025•港北区校级模拟） 9．（3分）已知关于x的反比例函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3，则m的值为 ． 【答案】﹣2 【解答】解：由题意得，m﹣2≠0且|m|﹣3＝﹣1，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2． （来源：2022秋•蓝山县期中） 10．（3分）若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【解答】解：若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则|a|﹣4＝﹣1，解得a＝±3， ∵a+3≠0， ∴a≠﹣3， ∴a＝3，故答案为：3． （来源：2023秋•温江区校级期末） 11．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【解答】解： ∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0，得：m＜2．故答案为：m＜2． （来源：2025•苍溪县模拟） 12．（3分）已知点D是反比例函数上一点，矩形ABCD的周长是16，正方形ABOF和正方形ADGH的面积之和为50，则反比例函数的解析式是 ． 【答案】y=或y= 【解答】解：设D点坐标为（x，y），则正方形ABOF的边长为y，正方形ADGH的边长为x﹣y，BC＝OC﹣OB＝x﹣y，根据题意得（x﹣y）2+y2＝50，（x﹣y）+y＝8，解得：x＝8，y＝1或y＝7，则xy＝8或xy＝56， ∴反比例函数的解析式为y=或y=．故答案为：y=或y=． （来源：2025春•灞桥区校级期中） 13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为 ． 【答案】y= 【解答】解： ∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，A（1，m），C（3，m+6）， ∴B（1，m+6）、D（3，m）， ∵B、D在反比例函数图象上， ∴1×（m+6）＝3m，解得：m＝3， ∴B（1，9），故反比例函数表达式为：y=．故答案为：y=． （来源：2021•灞桥区模拟） 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ． 【答案】﹣1≤x＜0或x≥2 【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2． （来源：2024•威海） 15．（3分）写出一个当x＞0时，y随x增大而减小的函数表达式： ． 【答案】y=1x（答案不唯一） 【解答】解：反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，故答案为：y=（答案不唯一）． （来源：2025春•荷塘区期末） 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y=图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，-）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ ；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 ． 【答案】②③ 【解答】解：（1） ∵点 到x轴的距离为2，大于1， 不是反比例函数 图象的“1阶方点”， ∵点（﹣1，﹣1）和点（1，1）都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都为1， ∴（﹣1，﹣1）和（1，1）是反比例函数 图象的“1阶方点”，故答案为：②③；（2）作正方形四个顶点坐标分别为（2，2），（2，﹣2），（﹣2，2），（﹣2，﹣2），如图：当a＞0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（﹣2，2）或（2，﹣2），把（﹣2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝﹣2a﹣3a+1，解得a=-（舍去）；把（2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝2a﹣3a+1，解得：a＝3；当a＜0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（2，2）或（﹣2，﹣2），把（2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝2a﹣3a+1，解得：a＝﹣1；把 （﹣2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝﹣2a﹣3a+1，解得：a=（舍去）；综上，a的值为3或﹣1；故答案为：3或﹣1；（3） ∵二次函数 y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点坐标为（n，﹣2n+1）， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点在直线y＝﹣2x+1上移动， ∴y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，﹣n），（﹣n，n），（﹣n，﹣n）的正方形有交点，如图，当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+过点（n，﹣n） 时，将（n，﹣n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1得：﹣n﹣（n﹣n）2﹣2n+1，解得：n＝1，当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 过点（﹣n，n）时，将（﹣n，n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 得：n＝﹣（﹣n﹣n）2﹣2n+1，解得：n=或n＝﹣1（舍去），由图可知，若关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：≤n≤1．故答案为：≤n≤1． （来源：2024秋•鼓楼区校级月考） 17．（6分）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设矩形的面积为Scm2，则S＝7.5×8＝60，即xy＝60，y=，即y关于x的函数解析式是y=，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）当x＝5时，y==12，故这个矩形与之相邻的另一边长为12． （来源：2024秋•襄都区校级月考） 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=经过点A（6，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，点C是双曲线第三象限上一点，连接AC，BC． （1）求k的值； （2）若△ABC的面积为12，求直线AC的解析式 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵双曲线y=，经过点A（6，1）， ∴=1，解得k＝6； （2）设点C到AB的距离为h， ∵点A的坐标为（6，1），AB⊥y轴， ∴AB＝6， ∴S△ABC=×6•h＝12，解得h＝4， ∵点A的纵坐标为1， ∴点C的纵坐标为1﹣4＝﹣3， ∴=-3，解得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴，直线AC的解析式为y=x﹣2． （来源：2025•湖北模拟） 19．（6分）画出反比例函数y=-的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解：作出反比例函数y=-的图象，如图所示， （1）把x＝2代入得：y=-=-2； （2）当x＝1时，y＝﹣4；当x＝4时，y＝﹣1，根据图象得：当1＜x≤4时，y的取值范围为﹣4＜y≤﹣1； （3）当y＝﹣1时，x＝4；当y＝4时，x＝﹣1，根据题意得：当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围为x＜﹣1或x≥4． （来源：2024•盐城二模） 20．（6分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y=， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y=-； （2）直线OA的解析式为y=-x，由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y=-x+3，联立方程得，解得，（舍去）， ∴C（-，4）． （来源：2024•盐城） 21．（6分）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当z=-时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵y是z的反比例函数， ∴设y=（a≠0）， ∵当z=-时，y＝6， ∴a=6×(-)=-4， ∴y=-①， ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0），又 ∵当x＝6时，z＝4， ∴b==， ∴z=x②，将②代入①，得：y=-； （2）证明：由（1）得：y=（a≠0），z＝bx， ∴y=， ∴y是x的反比例函数． （来源：2024•海淀区校级开学） 22．（6分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴和反比例函数y=(x＞0)交点分别为A，B，C，D，已知点C（1，4）． （1）求k的值； （2）证明：△AOC≌△BOD． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵反比例函数y=经过点C（1，4）， ∴4=， ∴k＝4； （2）证明：如图：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠BFD＝90°， ∵直线y＝﹣x+5与坐标轴交点分别为A，B， ∴A（0，5），B（5，0）， ∴OA＝OB＝5，又 ∵∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠OAC＝∠OBD＝45°， ∵直线y＝﹣x+5与反比例函数y=交点为C，D， ∴，解得：，， ∴C（1，4），D（4，1）， ∴CE＝AE＝BF＝DF＝1， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴AC＝BD，在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）． （来源：2025•香洲区二模） 23．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∴∠BDC＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BDC＝∠AOB， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBD＝∠BAO， ∴△CBD∽△BAO， ∴=， ∵A（0，4），B（2，0），C（a，1）， ∴AO＝4，BO＝2，CD＝1， ∴=， ∴BD＝2， ∴OD＝BO+BD＝4， ∴a＝4， ∴点C的坐标是（4，1）， ∵反比例函数y=过点C， ∴k＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y=；设直线OC的解析式为y＝mx， ∵其图象经过点C（4，1）， ∴4m＝1，解得m=， ∴直线OC的解析式为y=x； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l， ∴直线l的解析式为y=x+，由题意得，，解得，， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(-8，-)或（2，2）． （来源：2026•阳谷县校级模拟） 24．（8分）【情景再现】某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：x3+3x2+x﹣1＝0．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出a、b、c的值； （2）请求出方程x3+3x2+x﹣1＝0的解；【方法迁移】 （3）若点P（t，t2﹣6t+11）在函数y=上，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将（x+1）（ax2+bx+c）＝0展开、合并同类项，得ax3+（a+b）x2+（b+c）x+c＝0，对比系数，得，解得， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣1． （2）原方程可化为（x+1）（x2+2x﹣1）＝0，分解因式，得（x+1）（x+1-）（x+1+）＝0，解得x1＝﹣1，x2=-1，x3=--1． （3）将P（t，t2﹣6t+11）代入函数y=，得t2﹣6t+11=，经整理，得t3﹣6t2+11t﹣6＝0，t＝1是该方程的一个解，设（t﹣1）（mt2+nt+k）＝0，将它展开、合并同类项，得mt3+（n﹣m）t2+（k﹣n）t﹣k＝0，对比系数，得，解得，则原方程可化为（t﹣1）（t2﹣5t+6）＝0，分解因式，得（t﹣1）（t﹣2）（t﹣3）＝0，解得t1＝1，t2＝2，t3＝3，当t＝1时，t2﹣6t+11＝1﹣6+11＝6，当t＝2时，t2﹣6t+11＝4﹣12+11＝3，当t＝3时，t2﹣6t+11＝9﹣18+11＝2， ∴点P的坐标为（1，6）或（2，3）或（3，2）． （来源：2025春•兴化市期末） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】8 【解答】解： （1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（2，）， ∴FO＝2，DF=， ∴DO==， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝AD＝DO=， ∴A点坐标为（2，4）， ∵反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A， ∴k＝2×4＝8，故答案为：8； （2）由（1）知OB=， ∴B（0，），将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点B′的坐标为（m，）．代入y=，得到=，解得m=； （3）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（2+m，）．代入y=，得到=，解得m=． ∴0≤m≤． （来源：2025秋•廊坊期末） 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y2=经过点B（6，1）， ∴1=， ∴k2＝6， ∴反比例函数的表达式为y2=， ∵点A（m，﹣2）在反比例函数y2=的图象上， ∴﹣2m＝6，解得：m＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2），B（6，1）代入y1＝k1x+b，得：，解得：， ∴一次函数的表达式为y1=x﹣1； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，如图1，设直线AB交y轴于点F，则E（n，n﹣1），F（0，﹣1）， ∴OF＝1，CE＝|-（n﹣1）|＝|-n+1|， ∵S△ABC＝2S△ABO， ∴×CE×[（xB﹣n）+（n﹣xA）]＝2××OF×（xB﹣xA），即|-n+1|×（6+3）＝2××1×（6+3），整理得：n2+3n﹣18＝0或n2﹣9n﹣18＝0，n＝﹣6或n＝3或n=， ∵点C在第一象限， ∴n＝3或， ∴C（3，2）或（，）； （3）当BC为对角线，AB⊥BC时，如图2， ∵直线AB的表达式为y=x﹣1， ∴设直线BC的表达式为y＝﹣3x+e，把B（6，1）代入得：1＝﹣18+e，解得：e＝19， ∴直线BC的表达式为y＝﹣3x+19，联立得：，解得：（舍去），， ∴C（，18）， ∵四边形ABDC是平行四边形，A（﹣3，﹣2），B（6，1）， ∴AB∥CD，AB＝CD，由平移规律得：+6﹣（﹣3）=，18+1﹣（﹣2）＝21， ∴D（，21）；当BC为对角线，AC⊥BC时，如图3，设C（t，），过点C作EF∥x轴，过点A、B分别作y轴的平行线交EF于E、F，则∠E＝∠F＝∠ACB＝90°，AE=+2，CE＝t+3，CF＝6﹣t，BF=-1， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∴△ACE∽△CBF， ∴=，即=，解得：t＝﹣3）（舍去）或t=-（舍去）或t=， ∴C（，3）， ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，由平移规律得：+6﹣（﹣3）＝9+，3+1﹣（﹣2）＝3+3， ∴D（9+，3+3）；当AC为对角线，AC⊥BC时，如图4，同理可得：C（，3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，由平移规律得：-[6﹣（﹣3）]=-9，3-[1﹣（﹣2）]＝3-3， ∴D（-9，3-3）；综上所述，点D的坐标为（，21）或（9+，3+3）或（-9，3-3）． （来源：2025•武侯区校级模拟） 27．（10分）如图1，直线l1：y=x-2与反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象交于A（m，1）点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线l2垂直于直线l1，交y轴于点C（0，10），点D是线段AC上一点，连接OD，若四边形ABOD的面积为8，点P为y轴上一动点，连接DP，求DP+BP的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接KP，将射线KO绕K点逆时针旋转90°，交x轴于点G，若=，则在x轴上是否存在点Q，使得∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵点A（m，1）在直线y=x﹣2上， ∴点A（m，1）代入直线方程可得：m＝3；解得m＝3， ∴点A的坐标为（3，1）， ∵点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴将A点坐标代入反比例函数可得k＝3，则反比例函数的表达式为y=； （2）设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵A（3，1），C（0，10）， ∴，解得a=-． ∴直线AC的解析式为y=-x+10，对于直线y=x-2，令x＝0，则y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， ∴S△AOB=×|OB|×xA=×2×3=3， ∵四边形ABOD的面积为8， ∴S△AOD＝S四边形ABOD﹣S△AOB＝5，设D（xD，yD）， ∴S△AOD=×|OC|×3-×|OC|×xD＝5，解得xD＝2，把xD＝2代入y=-x+10，得yD＝4， ∴D（2，4）．过B作l3⊥l1，过P作PH⊥l3于H，过D作DF⊥l3于F， ∴四边形DFBA为矩形， ∴DF＝AB， ∵∠CBA＝60°， ∴∠CBH＝30°， ∴PH=BP， ∴DP+BP＝DP+PH≥DF， ∵AB=BC＝6， ∴DP+BP最小值为6，设直线DF的解析式为：y=x+q， ∴4＝2+q， ∴q＝2，即P（0，2）， （3）过K作KM⊥x轴于M，连接PQ，如图： ∵=，∠OKG＝90°， ∴设OK=a，KG＝4a， ∴OG==a， ∴KM==a， ∴OM==a， ∴K（a，a）， ∵K在双曲线y=上， ∴a=，解得：a＝±， ∴K（，2）， ∵∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP， ∴∠KQO＝∠KGO+∠OKP， ∵∠KOG+∠KGO＝90°，∠KOP+∠KOG＝90°， ∴∠KGO＝∠KOP， ∴∠KQO＝∠KOP+∠OKP＝∠CPK， ∵∠OPK+∠CPK＝180°， ∴∠CPK+∠OQK＝180°， ∴∠PKQ＝90°， ∴PQ2＝OP2+OQ2＝KP2+KQ2，设Q（q，0）， ∴4+q2=+（2-2）2+12+（q-，解得：q=-， ∴Q（-，0），由对称性可知，另一个Q点为（-，0）．综上所述，Q（-，0）或（-，0）． （来源：2025春•沙坪坝区校级期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 反比例函数 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十七章 反比例函数 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) 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学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y=- C．xy＝5 D．y= 2．（3分）下面每个选项中的两种量成反比例的是（　　） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 3．（3分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 4．（3分）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 5．（3分）函数y=(k≠0)与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式-的值为（　　） A．- B． C．- D． 7．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC在x轴上，BC＝2，点A在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（　　） A．8 B．4 C．6 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）已知关于x的反比例函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3，则m的值为 　　　　 ． 10．（3分）若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则a的值为 　　　　 ． 11．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 　　　　 ． 12．（3分）已知点D是反比例函数上一点，矩形ABCD的周长是16，正方形ABOF和正方形ADGH的面积之和为50，则反比例函数的解析式是　　　　 ． 13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为　　　　 ． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 　　　　 ． 15．（3分）写出一个当x＞0时，y随x增大而减小的函数表达式：　　　　 ． 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y=图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，-）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=图象的“1阶方点”的有 　　　　 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　　　　 ；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=经过点A（6，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，点C是双曲线第三象限上一点，连接AC，BC． （1）求k的值； （2）若△ABC的面积为12，求直线AC的解析式 19．（6分）画出反比例函数y=-的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 20．（6分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 21．（6分）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当z=-时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 22．（6分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴和反比例函数y=(x＞0)交点分别为A，B，C，D，已知点C（1，4）． （1）求k的值； （2）证明：△AOC≌△BOD． 23．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 24．（8分）【情景再现】某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：x3+3x2+x﹣1＝0．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出a、b、c的值； （2）请求出方程x3+3x2+x﹣1＝0的解； 【方法迁移】 （3）若点P（t，t2﹣6t+11）在函数y=上，求点P的坐标． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　　　　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 27．（10分）如图1，直线l1：y=x-2与反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象交于A（m，1）点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线l2垂直于直线l1，交y轴于点C（0，10），点D是线段AC上一点，连接OD，若四边形ABOD的面积为8，点P为y轴上一动点，连接DP，求DP+BP的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接KP，将射线KO绕K点逆时针旋转90°，交x轴于点G，若=，则在x轴上是否存在点Q，使得∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 反比例函数 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十七章 反比例函数 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y=- C．xy＝5 D．y= 【答案】B 【解答】解：A、y＝3x﹣1=是反比例函数，故本选项错误；B、y=-是正比例函数，故本选项正确；C、xy＝5是反比例函数，故本选项错误；D、y=是反比例函数，故本选项错误．故选：B． （来源：2024•济南模拟） 2．（3分）下面每个选项中的两种量成反比例的是（　　） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 【答案】A 【解答】解：A． ∵A和B互为倒数， ∴A×B＝1，符合题意；B．圆柱的体积÷底面积＝高，不是乘积，不符合题意；C．减数+差＝被减数，不是乘积，不符合题意；D．被除数÷商＝除数，不是乘积，不符合题意．故选：A． （来源：2024秋•渝中区校级期中） 3．（3分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上，则下列关系式正确的是（　　） A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0 【答案】A 【解答】解：解法一： ∵反比例函数y=(k＞0)， ∴反比例函数y=的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴A（x1，2）和B（x2，4）都在第一象限， ∵4＞2＞0， ∴x1＞x2＞0．故选：A．解法二： ∵点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数y=(k＞0)图象上， ∴2=，4=， ∴x1=，x2=， ∵k＞0， ∴x1＞x2＞0．故选：A． （来源：2023•金乡县三模） 4．（3分）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（　　） A．函数图象过点（2，3） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6 【答案】D 【解答】解：A、因为点（2，3）的坐标不满足y=-，所以函数图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；B、 ∵k＝﹣6＜0，所以函数图象位于第二、四象限，该选项不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，该选项不符合题意；D、当﹣6＜x＜﹣1时，y随x的增大而增大，且点（﹣6，1）和点（﹣1，6）在函数图象上， ∴，当﹣6＜x＜﹣1时，1＜y＜6，该选项符合题意．故选：D． （来源：2026•长春） 5．（3分）函数y=(k≠0)与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、 ∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；B、 ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；C、 ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；D、 ∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；故选：A． （来源：2024•北京模拟） 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式-的值为（　　） A．- B． C．- D． 【答案】C 【解答】解：法一：由题意得，，解得，或（舍去）， ∴点P（，），即：a=，b=， ∴-=-=-；法二：由题意得，函数y=（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b）， ∴ab＝4，b＝a﹣1， ∴-==-；故选：C． （来源：2020•徐州） 7．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【答案】C 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h=，A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意；B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；，C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意；D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；，故选：C． （来源：2025•连州市一模） 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC在x轴上，BC＝2，点A在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（　　） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝2， ∴AB＝2，根据折叠，可得∠ACD＝∠ACB＝60°，CD＝CB＝2， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∴CE=CD＝1，根据勾股定理，可得DE=，设OB＝m，则A（m，2），D（m+3，）， ∵点A、D在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上， ∴2m=（m+3）， ∴m＝3， ∴k＝2m＝6．故选：C． （来源：2025•港北区校级模拟） 9．（3分）已知关于x的反比例函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3，则m的值为 ． 【答案】﹣2 【解答】解：由题意得，m﹣2≠0且|m|﹣3＝﹣1，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2． （来源：2022秋•蓝山县期中） 10．（3分）若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【解答】解：若y关于x的函数y＝（a+3）x|a|﹣4是反比例函数，则|a|﹣4＝﹣1，解得a＝±3， ∵a+3≠0， ∴a≠﹣3， ∴a＝3，故答案为：3． （来源：2023秋•温江区校级期末） 11．（3分）若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【解答】解： ∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0，得：m＜2．故答案为：m＜2． （来源：2025•苍溪县模拟） 12．（3分）已知点D是反比例函数上一点，矩形ABCD的周长是16，正方形ABOF和正方形ADGH的面积之和为50，则反比例函数的解析式是 ． 【答案】y=或y= 【解答】解：设D点坐标为（x，y），则正方形ABOF的边长为y，正方形ADGH的边长为x﹣y，BC＝OC﹣OB＝x﹣y，根据题意得（x﹣y）2+y2＝50，（x﹣y）+y＝8，解得：x＝8，y＝1或y＝7，则xy＝8或xy＝56， ∴反比例函数的解析式为y=或y=．故答案为：y=或y=． （来源：2025春•灞桥区校级期中） 13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为 ． 【答案】y= 【解答】解： ∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，A（1，m），C（3，m+6）， ∴B（1，m+6）、D（3，m）， ∵B、D在反比例函数图象上， ∴1×（m+6）＝3m，解得：m＝3， ∴B（1，9），故反比例函数表达式为：y=．故答案为：y=． （来源：2021•灞桥区模拟） 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ． 【答案】﹣1≤x＜0或x≥2 【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2． （来源：2024•威海） 15．（3分）写出一个当x＞0时，y随x增大而减小的函数表达式： ． 【答案】y=1x（答案不唯一） 【解答】解：反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，故答案为：y=（答案不唯一）． （来源：2025春•荷塘区期末） 16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y=图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，-）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ ；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 ． 【答案】②③ 【解答】解：（1） ∵点 到x轴的距离为2，大于1， 不是反比例函数 图象的“1阶方点”， ∵点（﹣1，﹣1）和点（1，1）都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都为1， ∴（﹣1，﹣1）和（1，1）是反比例函数 图象的“1阶方点”，故答案为：②③；（2）作正方形四个顶点坐标分别为（2，2），（2，﹣2），（﹣2，2），（﹣2，﹣2），如图：当a＞0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（﹣2，2）或（2，﹣2），把（﹣2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝﹣2a﹣3a+1，解得a=-（舍去）；把（2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝2a﹣3a+1，解得：a＝3；当a＜0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（2，2）或（﹣2，﹣2），把（2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝2a﹣3a+1，解得：a＝﹣1；把 （﹣2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝﹣2a﹣3a+1，解得：a=（舍去）；综上，a的值为3或﹣1；故答案为：3或﹣1；（3） ∵二次函数 y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点坐标为（n，﹣2n+1）， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点在直线y＝﹣2x+1上移动， ∴y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，﹣n），（﹣n，n），（﹣n，﹣n）的正方形有交点，如图，当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+过点（n，﹣n） 时，将（n，﹣n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1得：﹣n﹣（n﹣n）2﹣2n+1，解得：n＝1，当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 过点（﹣n，n）时，将（﹣n，n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 得：n＝﹣（﹣n﹣n）2﹣2n+1，解得：n=或n＝﹣1（舍去），由图可知，若关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：≤n≤1．故答案为：≤n≤1． （来源：2024秋•鼓楼区校级月考） 17．（6分）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设矩形的面积为Scm2，则S＝7.5×8＝60，即xy＝60，y=，即y关于x的函数解析式是y=，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）当x＝5时，y==12，故这个矩形与之相邻的另一边长为12． （来源：2024秋•襄都区校级月考） 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=经过点A（6，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，点C是双曲线第三象限上一点，连接AC，BC． （1）求k的值； （2）若△ABC的面积为12，求直线AC的解析式 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵双曲线y=，经过点A（6，1）， ∴=1，解得k＝6； （2）设点C到AB的距离为h， ∵点A的坐标为（6，1），AB⊥y轴， ∴AB＝6， ∴S△ABC=×6•h＝12，解得h＝4， ∵点A的纵坐标为1， ∴点C的纵坐标为1﹣4＝﹣3， ∴=-3，解得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴，直线AC的解析式为y=x﹣2． （来源：2025•湖北模拟） 19．（6分）画出反比例函数y=-的大致图象，结合图象回答： （1）当x＝2时，y的值； （2）当1＜x≤4时，y的取值范围； （3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解：作出反比例函数y=-的图象，如图所示， （1）把x＝2代入得：y=-=-2； （2）当x＝1时，y＝﹣4；当x＝4时，y＝﹣1，根据图象得：当1＜x≤4时，y的取值范围为﹣4＜y≤﹣1； （3）当y＝﹣1时，x＝4；当y＝4时，x＝﹣1，根据题意得：当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围为x＜﹣1或x≥4． （来源：2024•盐城二模） 20．（6分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y=， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y=-； （2）直线OA的解析式为y=-x，由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y=-x+3，联立方程得，解得，（舍去）， ∴C（-，4）． （来源：2024•盐城） 21．（6分）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当z=-时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵y是z的反比例函数， ∴设y=（a≠0）， ∵当z=-时，y＝6， ∴a=6×(-)=-4， ∴y=-①， ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0），又 ∵当x＝6时，z＝4， ∴b==， ∴z=x②，将②代入①，得：y=-； （2）证明：由（1）得：y=（a≠0），z＝bx， ∴y=， ∴y是x的反比例函数． （来源：2024•海淀区校级开学） 22．（6分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴和反比例函数y=(x＞0)交点分别为A，B，C，D，已知点C（1，4）． （1）求k的值； （2）证明：△AOC≌△BOD． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵反比例函数y=经过点C（1，4）， ∴4=， ∴k＝4； （2）证明：如图：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠BFD＝90°， ∵直线y＝﹣x+5与坐标轴交点分别为A，B， ∴A（0，5），B（5，0）， ∴OA＝OB＝5，又 ∵∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠OAC＝∠OBD＝45°， ∵直线y＝﹣x+5与反比例函数y=交点为C，D， ∴，解得：，， ∴C（1，4），D（4，1）， ∴CE＝AE＝BF＝DF＝1， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴AC＝BD，在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）． （来源：2025•香洲区二模） 23．（8分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∴∠BDC＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BDC＝∠AOB， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBD＝∠BAO， ∴△CBD∽△BAO， ∴=， ∵A（0，4），B（2，0），C（a，1）， ∴AO＝4，BO＝2，CD＝1， ∴=， ∴BD＝2， ∴OD＝BO+BD＝4， ∴a＝4， ∴点C的坐标是（4，1）， ∵反比例函数y=过点C， ∴k＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y=；设直线OC的解析式为y＝mx， ∵其图象经过点C（4，1）， ∴4m＝1，解得m=， ∴直线OC的解析式为y=x； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l， ∴直线l的解析式为y=x+，由题意得，，解得，， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(-8，-)或（2，2）． （来源：2026•阳谷县校级模拟） 24．（8分）【情景再现】某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：x3+3x2+x﹣1＝0．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出a、b、c的值； （2）请求出方程x3+3x2+x﹣1＝0的解；【方法迁移】 （3）若点P（t，t2﹣6t+11）在函数y=上，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将（x+1）（ax2+bx+c）＝0展开、合并同类项，得ax3+（a+b）x2+（b+c）x+c＝0，对比系数，得，解得， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣1． （2）原方程可化为（x+1）（x2+2x﹣1）＝0，分解因式，得（x+1）（x+1-）（x+1+）＝0，解得x1＝﹣1，x2=-1，x3=--1． （3）将P（t，t2﹣6t+11）代入函数y=，得t2﹣6t+11=，经整理，得t3﹣6t2+11t﹣6＝0，t＝1是该方程的一个解，设（t﹣1）（mt2+nt+k）＝0，将它展开、合并同类项，得mt3+（n﹣m）t2+（k﹣n）t﹣k＝0，对比系数，得，解得，则原方程可化为（t﹣1）（t2﹣5t+6）＝0，分解因式，得（t﹣1）（t﹣2）（t﹣3）＝0，解得t1＝1，t2＝2，t3＝3，当t＝1时，t2﹣6t+11＝1﹣6+11＝6，当t＝2时，t2﹣6t+11＝4﹣12+11＝3，当t＝3时，t2﹣6t+11＝9﹣18+11＝2， ∴点P的坐标为（1，6）或（2，3）或（3，2）． （来源：2025春•兴化市期末） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】8 【解答】解： （1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（2，）， ∴FO＝2，DF=， ∴DO==， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝AD＝DO=， ∴A点坐标为（2，4）， ∵反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A， ∴k＝2×4＝8，故答案为：8； （2）由（1）知OB=， ∴B（0，），将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点B′的坐标为（m，）．代入y=，得到=，解得m=； （3）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（2+m，）．代入y=，得到=，解得m=． ∴0≤m≤． （来源：2025秋•廊坊期末） 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y2=经过点B（6，1）， ∴1=， ∴k2＝6， ∴反比例函数的表达式为y2=， ∵点A（m，﹣2）在反比例函数y2=的图象上， ∴﹣2m＝6，解得：m＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2），B（6，1）代入y1＝k1x+b，得：，解得：， ∴一次函数的表达式为y1=x﹣1； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，如图1，设直线AB交y轴于点F，则E（n，n﹣1），F（0，﹣1）， ∴OF＝1，CE＝|-（n﹣1）|＝|-n+1|， ∵S△ABC＝2S△ABO， ∴×CE×[（xB﹣n）+（n﹣xA）]＝2××OF×（xB﹣xA），即|-n+1|×（6+3）＝2××1×（6+3），整理得：n2+3n﹣18＝0或n2﹣9n﹣18＝0，n＝﹣6或n＝3或n=， ∵点C在第一象限， ∴n＝3或， ∴C（3，2）或（，）； （3）当BC为对角线，AB⊥BC时，如图2， ∵直线AB的表达式为y=x﹣1， ∴设直线BC的表达式为y＝﹣3x+e，把B（6，1）代入得：1＝﹣18+e，解得：e＝19， ∴直线BC的表达式为y＝﹣3x+19，联立得：，解得：（舍去），， ∴C（，18）， ∵四边形ABDC是平行四边形，A（﹣3，﹣2），B（6，1）， ∴AB∥CD，AB＝CD，由平移规律得：+6﹣（﹣3）=，18+1﹣（﹣2）＝21， ∴D（，21）；当BC为对角线，AC⊥BC时，如图3，设C（t，），过点C作EF∥x轴，过点A、B分别作y轴的平行线交EF于E、F，则∠E＝∠F＝∠ACB＝90°，AE=+2，CE＝t+3，CF＝6﹣t，BF=-1， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∴△ACE∽△CBF， ∴=，即=，解得：t＝﹣3）（舍去）或t=-（舍去）或t=， ∴C（，3）， ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，由平移规律得：+6﹣（﹣3）＝9+，3+1﹣（﹣2）＝3+3， ∴D（9+，3+3）；当AC为对角线，AC⊥BC时，如图4，同理可得：C（，3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，由平移规律得：-[6﹣（﹣3）]=-9，3-[1﹣（﹣2）]＝3-3， ∴D（-9，3-3）；综上所述，点D的坐标为（，21）或（9+，3+3）或（-9，3-3）． （来源：2025•武侯区校级模拟） 27．（10分）如图1，直线l1：y=x-2与反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象交于A（m，1）点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线l2垂直于直线l1，交y轴于点C（0，10），点D是线段AC上一点，连接OD，若四边形ABOD的面积为8，点P为y轴上一动点，连接DP，求DP+BP的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接KP，将射线KO绕K点逆时针旋转90°，交x轴于点G，若=，则在x轴上是否存在点Q，使得∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵点A（m，1）在直线y=x﹣2上， ∴点A（m，1）代入直线方程可得：m＝3；解得m＝3， ∴点A的坐标为（3，1）， ∵点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴将A点坐标代入反比例函数可得k＝3，则反比例函数的表达式为y=； （2）设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵A（3，1），C（0，10）， ∴，解得a=-． ∴直线AC的解析式为y=-x+10，对于直线y=x-2，令x＝0，则y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， ∴S△AOB=×|OB|×xA=×2×3=3， ∵四边形ABOD的面积为8， ∴S△AOD＝S四边形ABOD﹣S△AOB＝5，设D（xD，yD）， ∴S△AOD=×|OC|×3-×|OC|×xD＝5，解得xD＝2，把xD＝2代入y=-x+10，得yD＝4， ∴D（2，4）．过B作l3⊥l1，过P作PH⊥l3于H，过D作DF⊥l3于F， ∴四边形DFBA为矩形， ∴DF＝AB， ∵∠CBA＝60°， ∴∠CBH＝30°， ∴PH=BP， ∴DP+BP＝DP+PH≥DF， ∵AB=BC＝6， ∴DP+BP最小值为6，设直线DF的解析式为：y=x+q， ∴4＝2+q， ∴q＝2，即P（0，2）， （3）过K作KM⊥x轴于M，连接PQ，如图： ∵=，∠OKG＝90°， ∴设OK=a，KG＝4a， ∴OG==a， ∴KM==a， ∴OM==a， ∴K（a，a）， ∵K在双曲线y=上， ∴a=，解得：a＝±， ∴K（，2）， ∵∠KQO﹣∠KGO＝∠OKP， ∴∠KQO＝∠KGO+∠OKP， ∵∠KOG+∠KGO＝90°，∠KOP+∠KOG＝90°， ∴∠KGO＝∠KOP， ∴∠KQO＝∠KOP+∠OKP＝∠CPK， ∵∠OPK+∠CPK＝180°， ∴∠CPK+∠OQK＝180°， ∴∠PKQ＝90°， ∴PQ2＝OP2+OQ2＝KP2+KQ2，设Q（q，0）， ∴4+q2=+（2-2）2+12+（q-，解得：q=-， ∴Q（-，0），由对称性可知，另一个Q点为（-，0）．综上所述，Q（-，0）或（-，0）． （来源：2025春•沙坪坝区校级期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $