湖北省武昌实验中学2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （测试范围：必修第一册第一章~第三章） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．命题“∃x∈R，x2﹣5x+6＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x2﹣5x+6≤0 B．∀x∈R，x2﹣5x+6≤0 C．∀x∈R，x2﹣5x+6＜0 D．x∈R，x2﹣5x+6＜0 【答案】B 【分析】结合存在量词命题的否定即可求解． 【解答】解：命题“∃x∈R，x2﹣5x+6＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣5x+6≤0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了存在量词命题的否定，属于基础题． 2．已知集合，B＝{x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣3≤x＜﹣1} B．{x|l≤x＜2} C．{x|﹣3≤x＜2} D．{x|﹣1≤x≤1} 【答案】D 【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}， 故A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}． 故选：D． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析可知充分性满足，由，取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结论． 【解答】解：解不等式可得：x或x＜0， 因为{x|x}⫋{x|x或x＜0}， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了充分，必要条件的判断，涉及到不等式的解法，属于基础题． 4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　） A． B．f（x）＝1，g（x）＝（1﹣x）0 C．f（x）＝x﹣2，g（m）＝m﹣2 D． 【答案】C 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数． 【解答】解：对于A，g（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＝x的定义域为R， 两函数的定义域不同，不是相同的函数； 对于B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝（1﹣x）0的定义域为{x|x≠1}， 两函数的定义域不同，不是相同的函数； 对于C，f（x）＝x﹣2的定义域为R，g（m）＝m﹣2的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于D，f（x）•的定义域为{x|x≥5}， 的定义域为{x|x≤﹣5或x≥5}， 两函数的定义域不同，不是相同的函数． 故选：C． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为相同函数，是基础题． 5．函数f（x）＝x﹣2的单调减区间为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞） 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的单调递减区间． 【解答】解：函数f（x）＝x﹣2＝（）2 的定义域为（0，+∞）∪（﹣∞，0）， 可得函数在（0，+∞） 上单调递减， 又f（x）为偶函数，所以f（x）在 （﹣∞，0）单调递增． 故选：C． 【点评】本题考查函数的单调递减区间的求法，属于基础题． 6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（　　） A． B．[﹣5，+∞） C．[﹣1，+∞） D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可． 【解答】解：当x≥1时，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4≥﹣4， 又函数f（x）的值域为R，所以当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a的值域为（﹣∞，m），则m≥﹣4， 所以，解得，即a的取值范围是[﹣5，）． 故选：A． 【点评】本题主要考查分段函数及其应用，已知函数值域求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题． 7．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，当x1＜x2＜1时，恒成立．且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（0，1）∪（2，+∞） 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性及单调性，结合单调性及对称性即可求解不等式． 【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数， 所以f（x）的图象关于x＝1对称， 因为当x1＜x2＜1时，恒成立， 所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 根据函数对称性可知，f（x）在（1，+∞）上单调递增， 因为f（2）＝0，所以f（0）＝0， 则不等式（x﹣1）f（x）＞0可得或， 即或， 解得x＞2或0＜x＜1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题． 8．已知函数，若f（f（2m））≥0，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法及分类讨论思想，即可求解． 【解答】解：令f（2m）＝t，则f（t）≥0， 当t≤1时，f（t）＝1﹣t2≥0，解得﹣1≤t≤1，即﹣1≤f（2m）≤1； 当t＞1时，|t﹣2|﹣1≥0，解得t≥3，即f（2m）≥3； 综合可得﹣1≤f（2m）≤1或f（2m）≥3， ①或， 解得m或m∈∅， ∴m； ②或， 解得或m≥3， 综合可得实数m的取值范围是[，2]∪[3，+∞）． 故选：A． 【点评】本题考查嵌套型不等式的求解，分段函数的应用，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，m＞0，则 C．若a＞b＞0，m＜0，则 D．若0＞a＞b，则 【答案】BC 【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解． 【解答】解：若c＝0时，A显然错误； 若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝（a﹣b）m＞0， 所以a（b+m）＞b（a+m）＞0， 所以，B正确； 若a＞b＞0，则， 因为m＜0，所以，C正确； 若0＞a＞b，则b3＜a3＜0，所以，D错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． （多选）10．下列命题中，真命题有（　　） A．任意非零实数a，b，都有 B．∃x∈（2，+∞），使得 C．函数的最小值为 D．若4x＞y＞0，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据反例可判断A，求出方程的解后可判断B，根据双勾函数的单调性求出最小值后可判断C，根据基本不等式求出代数式的最小值后可判断D． 【解答】解：对于A，取a＝1，b＝﹣1，A显然错误； 对于B，，即x2﹣9x+15＝0，故或， 而，故B正确； 对于C，， 设，则在[3，+∞）为增函数， 故，当且仅当t＝3时等号成立，故的最小值为，故C正确； 对于D，， 因为4x＞y＞0，故，故， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题． （多选）11．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，则下列结论中正确的有（　　） A． B．f（x）是增函数 C．f（x）是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】令x＝y，可得f（0）＝0，令x＝0，可得f（y）与f（﹣y）的关系，判断函数的奇偶性，可判断C的真假； 再利用函数单调性的定义，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，可判断B的真假； 再利用赋值法，结合函数的奇偶性和单调性，可判断AD的真假． 【解答】解：令x＝y得f（0）＝0， 令x＝0，那么可得，因此﹣f（y）＝f（﹣y），那么函数f（x）是奇函数，因此选项C正确； 设﹣1＜x1＜x2＜1，， 由于﹣1＜x1＜x2＜1， ，，因此， 因此f（x1）＜f（x2），因此函数f（x）是增函数，因此选项B正确； 根据，因此选项A正确； 由，因此选项D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查抽象函数奇偶性，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若函数f（x）的定义域为[0，5]，则函数的定义域是 　（1，2]　 ． 【答案】（1，2]． 【分析】依题意可得，解得即可． 【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[0，5]， 则对于函数，令，解得1＜x≤2， 所以函数g（x）的定义域是（1，2]． 故答案为：（1，2]． 【点评】本题主要考查抽象函数定义域的解法，属于基础题． 13．已知﹣1＜x﹣y＜4，2＜x+y＜3，则3x+y的取值范围是 　（3，10）　 ． 【答案】（3，10） 【分析】由已知结合不等式的性质即可求解． 【解答】解：因为﹣1＜x﹣y＜4，2＜x+y＜3， 所以4＜2（x+y）＜6，3＜x﹣y+2（x+y）＜10， 则3x+y＝x﹣y+2（x+y）∈（3，10）． 故答案为：（3，10）． 【点评】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题． 14．若对于函数f（x）定义域内的每一个x，都有成立，则称该函数为“互倒函数”．已知函数f（x）是定义域为的“互倒函数”，且当x∈[1，4]时，，若存在区间[m，n]（m＜1）满足：∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，使得f（x1）•f（x2）＝1，则mn的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知可得f（x）的解析式，由∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，使得f（x1）•f（x2）＝1，0不在值域中，且f（x）max•f（x）min＝1，再分n＜1和1≤n≤4两种情况讨论，即可求解mn的取值范围． 【解答】解：函数f（x）是定义域为的“互倒函数”，且当x∈[1，4]时，， 当，则， 所以， 所以， ∵∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，使得f（x1）•f（x2）＝1， ∴0不在值域中，且f（x）max•f（x）min＝1， ①若n＜1，则函数f（x）在区间[m，n]上单调递增， ∴f（m）•f（n）＝1，即， 即， ∴，令， 得，在上单调递增，在（2，3）上单调递减， ∴，∴， 又m，n不可能同时取到，∴； ②若1≤n≤4，则函数f（x）在区间[m，1]上单调递增，在区间[1，n]上单调递减， ∴，要满足题意，则， 令，解得或， 若，则，∴； 若，则，∴， ∴． 综上①②，mn的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的新定义，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集U＝{x|﹣6≤x≤5}，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}． （1）若a＝2，求A∪B和（∁UA）∩B； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}，（∁UA）∩B＝{x|3≤x＜4}； （2）{a|a≤1}． 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的基本运算即可分别求解； （2）结合必要不充分条件与集合包含关系的转化即可求解． 【解答】解：（1）全集U＝{x|﹣6≤x≤5}，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}， 若a＝2，则B＝{x|0＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}， ∁UA＝{x|x≤﹣1或x≥3}，（∁UA）∩B＝{x|3≤x＜4}； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，则B⫋A， 当B＝∅时，2﹣a≥2+a，即a≤0， 当B≠∅时，，后，两等号不能同时取得，解得0＜a≤1， 故实数a的取值范围为{a|a≤1}． 【点评】本题主要考查了集合基本运算，充分必要条件与集合包含关系的应用，属于基础题． 16．（15分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝﹣1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在[﹣1，1]上的单调性； （3）解不等式f（2t）+f（t﹣1）＞0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得b＝0，结合f（1）＝﹣1可得a＝﹣2，故可求函数的解析式． （2）根据单调性的定义可得f（x）在[﹣1，1]上为减函数； （3）根据（2）中的单调性可求不等式的解． 【解答】解：（1）函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数， ，解得：b＝0， ∴，而f（1）＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴，x∈[﹣1，1]． （2）函数在[﹣1，1]上为减函数；证明如下： 任意x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2， 则， 因为﹣1≤x1＜x2≤1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数． （3）由题意，不等式f（t﹣1）+f（2t）＞0可化为f（2t）＞f（1﹣t）， 所以，解得0≤t， 所以该不等式的解集为[0，）． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题． 17．（15分）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）． （1）求单株利润f（x）（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，f（x）＝15W（x）﹣（10x+20x）＝15W（x）﹣30x， 即f（x），整理得f（x）． （2）当0≤x≤2时，f（x）＝45x2﹣30x+90为对称轴开口向上的抛物线， 所以当0≤x≤2时，f（x）max＝f（2）＝210， 当2＜x≤5时，f（x）30x＝﹣30×（x+2）+600， 因为x+2≥212，当且仅当x+2，即x＝4时取等号， 所以f（x）≤﹣30×12+600＝240，即f（x）max＝240， 综上，当x＝4时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题． 18．（17分）已知a＞0，b＞0，c＞0． （1）若a+b＝1，求的最大值； （2）若ab＝1，求的最小值； （3）若a+b+c＝1，求的最大值． 【答案】（1）； （2）4； （3）． 【分析】（1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知ab＝1应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知a+b+c＝1换元，再应用基本不等式计算求解； 【解答】解：a＞0，b＞0，c＞0， （1）， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为； （2）∵ab＝1， ∴， 当且仅当a+b＝4，即，或，等号成立， 所以的最小值是4； （3）， ， ， ∴的最大值为， 当且仅当取等号， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题． 19．（17分）对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，b]⊆I，使得函数y＝f（x）在x∈[a，b]时，值域是[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍美好区间”．特别地，若函数函数y＝f（x）在x∈[a，b]时值域是[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“完美区间”． （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在（0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数a，b（b＜2），使得函数（x∈（0，+∞））在区间[a，b]单调，且[a，b]为f（x）的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）a＝1，b＝3； （3）存在，． 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合f（x）的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为[a，b]，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论[a，b]与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可． 【解答】解：定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，b]⊆I，使得函数y＝f（x）在x∈[a，b]时，值域是[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍美好区间”， 特别地，若函数函数y＝f（x）在x∈[a，b]时值域是[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“完美区间”． （1）证明：在（﹣∞，0）与（0，+∞）上均为增函数， 若存在完美区间[a，b]，则有，即a，b为的两根． 即2x2﹣9x+4＝0的根，故，即存在“完美区间”． （2）若存在“2倍美好区间”，则设定义域为[a，b]，值域为[2a，2b]． 当0＜a＜b时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得a+b＝4， 则，即a2﹣4a+3＝0，因为0＜a＜b，解得a＝1，b＝3． （3） ，图象如图所示，令f（x）＝0，解得x＝1或x＝4， （ⅰ）当a，b∈（0，1]时，，由f（a）＝kb，f（b）＝ka， 两式相除，， 所以a2﹣b2﹣5（a﹣b）＝（a+b﹣5）（a﹣b）＝0， 可得a+b＝5，与a，b范围矛盾，即实数a，b不存在 （ⅱ）当a，b∈[1，2）时，，由可得，， ∴，解得， 又a∈[1，2），a＜b，∴， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数与方程的综合应用，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （测试范围：必修第一册第一章~第三章） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．命题“∃x∈R，x2﹣5x+6＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x2﹣5x+6≤0 B．∀x∈R，x2﹣5x+6≤0 C．∀x∈R，x2﹣5x+6＜0 D．x∈R，x2﹣5x+6＜0 2．已知集合，B＝{x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣3≤x＜﹣1} B．{x|l≤x＜2} C．{x|﹣3≤x＜2} D．{x|﹣1≤x≤1} 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　） A． B．f（x）＝1，g（x）＝（1﹣x）0 C．f（x）＝x﹣2，g（m）＝m﹣2 D． 5．函数f（x）＝x﹣2的单调减区间为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞） 6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（　　） A． B．[﹣5，+∞） C．[﹣1，+∞） D． 7．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，当x1＜x2＜1时，恒成立．且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（0，1）∪（2，+∞） 8．已知函数，若f（f（2m））≥0，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，m＞0，则 C．若a＞b＞0，m＜0，则 D．若0＞a＞b，则 10．下列命题中，真命题有（　　） A．任意非零实数a，b，都有 B．∃x∈（2，+∞），使得 7 C．函数的最小值为 D．若4x＞y＞0，则的最小值为 11．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，则下列结论中正确的有（　　） A． B．f（x）是增函数 C．f（x）是奇函数 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若函数f（x）的定义域为[0，5]，则函数的定义域是 　 　 ． 13．已知﹣1＜x﹣y＜4，2＜x+y＜3，则3x+y的取值范围是 　 　 ． 14．若对于函数f（x）定义域内的每一个x，都有成立，则称该函数为“互倒函数”．已知函数f（x）是定义域为的“互倒函数”，且当x∈[1，4]时，，若存在区间[m，n]（m＜1）满足：∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，使得f（x1）•f（x2）＝1，则mn的取值范围为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集U＝{x|﹣6≤x≤5}，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}． （1）若a＝2，求A∪B和（∁UA）∩B； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16．（15分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝﹣1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在[﹣1，1]上的单调性； （3）解不等式f（2t）+f（t﹣1）＞0． 17．（15分）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）． （1）求单株利润f（x）（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 18．（17分）已知a＞0，b＞0，c＞0． （1）若a+b＝1，求的最大值； （2）若ab＝1，求的最小值； （3）若a+b+c＝1，求的最大值． 19．（17分）对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，b]⊆I，使得函数y＝f（x）在x∈[a，b]时，值域是[ka，kb]，则称[a，b]为f（x）的“k倍美好区间”．特别地，若函数函数y＝f（x）在x∈[a，b]时值域是[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“完美区间”． （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在（0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数a，b（b＜2），使得函数（x∈（0，+∞））在区间[a，b]单调，且[a，b]为f（x）的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $