精品解析：四川省泸州市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

高2024级高三上学期第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 3. 已知命题p：；则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题p：是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定为：. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 5. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， 即，可得， ，即， 所以， 所以. 故选：. 6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 7. 要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论一个村1名，另一村3名志愿者和一个村2名，另一个村2名志愿者，两种情况，根据分组分配的处理方法，分析计算，即可求得答案. 【详解】若一个村1名，另一村3名志愿者，则有种选法； 若一个村2名，另一个村2名志愿者，则有种选法， 所以不同的安排方法共有8+6=14种. 故选：B 8. 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为事件的对立事件，已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由独立事件定义和性质、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A选项：若，则，A正确； 对于B选项：若与相互独立，则与相互独立, 所以，B正确； 对于C选项：若，则，C错误； 对于D选项：若，则, 又, 所以，D正确. 故选：ABD. 10. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质可求的值及展开式所有二项式系数和；根据二项式定理可求常数项；令可求展开式中所有项的系数和. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误； 因为， ，因为，所以展开式中没有常数项，B正确； 展开式所有二项式系数和为，C错误； 令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确． 故选：BD. 11. 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两个“平移后的函数”的奇偶性，先得到和，从而得到函数的周期性；再结合时的解析式求出一个周期内的函数值，逐项判断． 【详解】因为为偶函数，所以，即． 因为为奇函数，所以． 结合，可得，进而，故是的一个周期． 对于A，因为为奇函数，所以，故A正确； 对于B，由已知得，又． 由周期性得，，所以，故B错误； 对于C，当时，由得． 再由，在一个周期内有 因此在时，由得； 在时，得． 结合的周期为，不等式的解集为，故C正确； 对于D，由，，，，且的周期为，又，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设，结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，，， 则，即， 则，所以， 又，则. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数是上的奇函数，再利用导数和基本不等式判断出函数在上单调递增，由此将所求不等式转化为，求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 其中,当且仅当，即时等号成立， 又因为, 因为两处等号不能同时成立， 所以， 所以函数在上单调递增， 所以不等式，即为， 即，， 解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设，，且，求的最小值． （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将代入目标式，利用基本不等式求最小值，并验证等号成立的条件； （2）利用奇函数，将时的函数值转化到的已知区间求解，并补出时的函数值． 【详解】（1）因为，且，所以 当且仅当，即时取等号， 由得． 所以的最小值为． （2）因为函数是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，所以， 由奇函数的性质得． 因此 16. 已知：在与时都取得极值. （1）求的值； （2）若在区间，上不单调，求的取值范围 ． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由题意可知，在与时都取得极值，也就是与时，它们的导函数值为零，得到方程组，求解这个方程组，可求出的值． （2）若在区间，上不单调，也就是说明至少有一个极值点在内，列出不等式，求解不等式，求的取值范围． 【详解】（1） 在与时都取得极值 （2）由（1）得 在，处分别取得极大值与极小值 在区间上不单调，两个极值点至少有一个在区间内， 故或，解得：. 【点睛】本题考查了已知函数极值，求函数解析式，也考查了已知函数单调性的特征，求参数的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可； （2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 已知，当时，有， 用减去，根据， 可得：，即， 当时，， 又，所以，此时，满足， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即， 【小问2详解】 由（1）可得， 又，所以，化简可得， 则， 所以． 所以数列的前项和为： ． 18. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】（1）0.933；管理时间与土地使用面积线性相关． （2） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （3） 0 1 2 3 数学期望． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式可求，从而可判断两个变量线性相关； （2）求出，与临界值比较后可得相应判断； （3）根据二项分布先求出的分布列，根据期望公式可求，或者直接根据二项分布的期望公式求得. 【小问1详解】 由题知，，， ， ， ， 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． 【小问2详解】 依题意，完成表格如下：（单位：人） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关， 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． 【小问3详解】 法一：依题意，的可能取值为， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望． 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故． 19. 已知． （1）求证：当时，； （2）若对于，恒成立． ①求的最大值； ②当取最大值时，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）． 【答案】（1） 当时，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. （2）①； ②由①得：， 要证对于，，恒有， 只需证：当时，， 即证： 令， 则只需证：在上单调递增； ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ， ，， ，，即， 在上恒成立，在上单调递增， 对于，，恒有. 【解析】 【分析】（1）令，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论； （2）①分离变量得到，令，利用导数可求得单调性，得到，由此可求得的最大值； ②将所证不等式转化为证明在上单调递增，利用导数可求得的单调性，并确定在上恒成立，由此可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题意知：对于，恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，，即的最大值为； ②略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解；本题第二问证明不等式的关键是能够将问题转化为证明函数的单调性的问题，从而利用导数求得函数单调性，使得问题得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高三上学期第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知命题p：；则命题为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 20种 8. 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为事件的对立事件，已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 11. 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设，，且，求的最小值． （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 16. 已知：在与时都取得极值. （1）求的值； （2）若在区间，上不单调，求的取值范围 ． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 19. 已知． （1）求证：当时，； （2）若对于，恒成立． ①求的最大值； ②当取最大值时，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $