2026-2027学年高二上学期9月教学检测数学试题

高二数学试卷（定）参考答案 一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 二、多项选择题 9.AC 10.BCD 11.ABD 三、填空题 12.-2 13.10√2 14.20 四、解答题 15.(本小题13分) (1)t=3- -5分 (2)t∈(-23)U(3,+m) -8分(3没去掉扣2分) 16.(本小题15分) (1)(7分) 【解法一投影公式法】 由三角形的投影关系知b=ac0sC+ccos4,于是cc0sA=b-acosC。 代入已知a+b=ccos4+√3 csinA得 a+b=b-acosC+3csinA, 即a(1+cosC)=√3 csinA。 由正弦定理a=c ,且sinA≠0，得 sinA sinC 1+cosC=V3sinC。-- -5分 化为mC-看)2·因为0<C<,故c= π1 3 :(即60°)。 -2分 【解法二正弦定理法】 由正弦定理，将条件化为 sinA+sinB sinCcos4+v3sinCsinA------- -2分 又B=π-A-C,所以sinB=sin(A+C),代入并整理得 sinAcosC+cosAsinC+sind=sinCcos4+3sinCsinA, sinA(1+cosC)=3sinCsinA----- --3分 约去siA,得1+cosC=√5sinC,下同解法一，得C=60°--- -2分 第1页共6页26-G2-09L (2)求周长(8分) 由c=60,面积S=absinC=V5,得b=4 -3分 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,且c=2W6,有 24=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab。 将ab=4代入得(a+b)2=36,所以a+b=6- -4分 故周长为a+b+c=6+2√6 -1分 17.(本小题15分) (1)估计平均重量(5分) 由频率分布直方图得各组频率依次为： [60,70):0.10,[70,80):0.10,[80,90):0.25,[90,100):0.15,[100,110):0.30,[110,120]:0.10。 以组中值为代表，估计平均重量为 x=65×0.10+75×0.10+85×0.25+95×0.15+105×0.30+115×0.10, 3分 计算得x=92.5（克)。-- -2分 (2)选择收入更高的方案(10分) 方案一总收入： 10000×92.5×10-3×4=3700(元)。 3分 方案二总收入： 10000个猕猴桃中，精品果约10000×(0.30+0.10)=4000个， 普通果10000-4000=6000个。 4000×107.5×10-3×6+6000×82.5×10-3×3=107.5×24+82.5×18=4065(元)。--------6分 因为4065>3700，所以选择方案二收入更高。 1分 18.(本小题17分) 记A处命中为事件A,B处命中为事件B,则P(A)-}P®) 3。 (1)方案1总得分为3分的概率（4分) 方案1的投篮顺序为A、B、B。要使总得分为3分，只能是“A中、B不中、B不中。 故P(总分为3)=P(A)P(B)P回)=xx{1。 33327.4分 (2)方案1通过测试的概率(6分) 【解法一分类讨论】 按第一次A是否命中分类。 第2页共6页26-G2-09L ①若A中（概率}），此时得3分，未超过3分，继续投B。只要后续两球不全进，即至少再进1球B, 总分就会超过3分，通过概率为1 --3分 9 ②若A不中（概率），此时得0分， 需在随后的两次B投篮中两球全中， 才能得4分通过，概率为 -2分 综上，=x8+2×48+ 8_16 -1分 3939272727 【解法二对立事件】 方案1未通过测试，即三次投篮结束后总分仍不超过3分。 暗彩一：A中，B两次全不中，莲品 -3分 情形二：A不中，B两次至多中1球（得0或2分），概率 2.510 -2分 3927 -1分 (3)方案2通过测试的概率及比较(7分) 按前两次投篮结果讨论： 2 4 ①前两球全中：无论第三球是否投，已通过，概率 ----2分 ②前两球恰中1球：此时得2分，未通过，需第三球中，概率 212,122-8 33333327 -2分 ③前两球全不中：不可能通过。 故B=4+8-20 --2分 92727 2016 比较：27>29， 所以选择方案2通过测试的可能性更大。 -1分 19.(本小题17分) 在底面△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°，故BC=2N2, O为BC中点，所以AO=√。又AO⊥平面ABC,AA=4, 故40=VA4-A02=14。 (1)(5分)【解法一】 第3页共6页26-G2-09L 因为△AB,C1=△ABC,且D为B,C1的中点， 所以AD⊥B,C1,且AD=√2。 又BC1lBC,所以AD⊥BC。- -2分 在△4BC中，AB=AC=4(由AO=V14,B0=√2得AB2=16)。 D在底面的投影D为B,C1投影的中点，易知BD=2(水平距离)。 因此BD2=BD2+AO2=4+14=18。 在△4BD中，AD2+AB2=2+16=18=BD, 故AD⊥AB。 -2分 因为AD⊥BC且AD⊥AB,而BCOAB=B, 所以AD⊥平面ABC。-- ---1分 【解法二：转化为证AO⊥平面ABC】 第一步：证明AO⊥平面A4BC。 因为AB=AC,O为BC的中点， 所以AOL BC(等腰三角形三线合一)，从而AO⊥OB。 因为AO⊥平面ABC,且B在平面ABC内， 所以斜线AB在平面ABC内的射影为OB。 又AOC平面ABC,且AO⊥OB, 由三垂线定理，得AOLA,B。 因为AO⊥BC,AO⊥AB,且BCOAB=B,BC、ABC平面ABC, 所以AO⊥平面ABC。- -3分 第二步：证明AD‖AO。 连接OD。由棱柱性质，BCIB,C1且BC=B,C, 故四边形BCCB,为平行四边形。 因为O、D分别为对边BC、BC1的中点， 所以OD‖BB,且OD=BB。 又A4IBB且A4=BB,故OD‖A4且OD=A4, 所以四边形AODA为平行四边形，从而AD川AO。 第三步：得出结论。 因为AD‖AO,且AO1平面ABC, 所以AD⊥平面ABC。- -2分 第4页共6页26-G2-09L (2)(6分) 【几何法（等体积求距离）】 h 设A到平面BB,CC的距离为h,所求线面角为P,则sinp= AB 在平面BB,CC中，BC=2√2，点G到直线BC的距离为 V(W2)2+(W14)2=4(水平投影与竖直高的合成)， 故△BCC的面积S=x2W2x4=4V2。 2 三棱柱体积VAc-489=SAcA,0=24。 三棱柱可分成三个等体积的三棱锥A-ABC、A-BCC、A,-C,BB, 因此4e 214 3 由等体积法5h-24 得 3 h=45 2 -4分 2W2 吟 又AB=4,所以inp= 2 sV -2分 AB 4 8 (3)(6分) 【解法一】 由(1)知AD⊥平面ABC,且垂足为A。 因为点P在线段AC上，即P在平面ABC内， 所以DP在平面ABC上的射影为AP, 直线DP与平面ABC所成角日=∠DPA。 设AP=x(0≤x≤4)。在Rt△DAP中，A,D=√2， DP=VAD2+AP2=2+x, 故sine=4D V2 DP V2+r。 -3分 因为x∈[0,4]，sin0随x增大而减小， 所以x=0时，Sina=1; x=4时，sin6min= √21 V183° 1 因此sm8的取值范围为 ----3分 第5页共6页26-G2-09L 【解法二：直角三角形DA,C中垂线段最短】 由(1)知AD⊥平面ABC,又ACc平面ABC, 所以AD⊥AC,故△DAC是以A为直角顶点的直角三角形。 其中4D=V2,4C=4,斜边DC=V4D2+4C2=V2+16=3W2。 由(1)，D到平面ABC的距离即A,D=√2，故 sin6=D到平面A8C的距离4DV2 --3分 DP DPDP 点P在线段AC上运动时，DP即点D与直线A,C上动点的连线段： 因为AD⊥AC,由垂线段最短，当P与A重合时DP最短， DPm=DA=V2;当P与C重合(AP最大)时DP最长， DP=DC=3W2。 (在Rt△DAP中，DP=A,D+AP随AP增大而增大，同理。) 所以sin6nmax= 52-1, DPmn 2 221 sinemin= DPnx 33 故sn0的取值范围为 -3分 第6页共6页26-G2-09L高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.复数2027的虚部为() A.-i B.-1 C.i D.1 2.在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=27,则A等于() A.30° B.45 C.60° D.120° 3.样本数据6,8,4,5,12的上四分位数为() A.5 B.6 C.7 D.8 4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A=“向上的点数为奇数”；事件B=“向上的点数 大于4”；事件C=“向上的点数为2”.则下列说法正确的是() A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件C对立 C.事件B与事件C互斥 D.事件A与事件C的和事件为必然事件 5.已知两条不同直线l,和平面a,则下列命题正确的是() A.若l∥，ca,则l∥a B.若l⊥m,mca,则1⊥ C.若l⊥a,m⊥a,则l∥m D.若l∥o,/∥a,则l∥m 6.已知P,Q是圆O上两点，若弦PQ=2√3，则OP.PO=() A.-6 B.-2 C.2 D.6 7.一个不透明袋中装有标号为1,2,3,4,5的五个大小和质地相同的小球，从袋中不放回地依次 随机摸出两个球，则两球标号之和为偶数的概率是() A房 B c 8.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥底面ABC,PA=AB=BC=2,则该三棱锥外接 球的表面积为() A.8π B.12π C.16π D.(12-8√2)元 第1页共4页26-G2-09L 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.己知复数z是实系数方程x2-8x+25=0在复数集内的一个根，则下列结论正确的是() A.7+z=8 B.7.z=22 c.l=5 D.z2>0 10.下列关于平面向量的说法中，正确的有() A.若a,b均为单位向量，则a=b B.E1=(3,4),ē2=(6，-8)不能作为平面向量的一组基底 c.对任意两个向量a,五，都满足a+≤园+ D.若M是口ABCD对角线的交点，O为平面内任意一点，则OA+OB+OC+OD=4OM 11.在空间中A、B为两个定点，且AB=√3，动点C到直线AB的距离为4，动点D到直线AB 的距离为2，二面角C-AB-D为60°，则下列结论正确的有() A.CD≥2W3 B.当AB⊥CD时，必有CD⊥平面ABD C.当AB⊥平面ACD时，必有AC⊥AD D.当AB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量ā=(1,3)，b=(6,x),若a⊥b,则实数x= 13.为测量河对岸一座古塔AB的高度，在河岸边选取两点C、D(与塔底B在同一水平面内)， 测得CD=20m,∠BCD=90°.在C、D两处测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则古塔 AB的高度为 m. D 14.在长方体ABCD-ABC1D中，AB=2,AD=4,A4=8,点E是棱CC1上的一个动点，若平 面BED交棱AA于点F,则截面四边形BEDF的周长的最小值为 第2页共4页26-G2-09L 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知点A(-1,-1),B(1,3),C(t-1,t+2),其中t为实数 (1)若A,B,C三点共线，求实数t的值； (2)若向量AB,AC夹角为锐角，求实数t的取值范围. 16.(本小题15分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a+b=ccosA+√3 csin A: (1)求C: (2)若c=2W6,且△ABC的面积为√3，求该三角形的周长 17.(本小题15分) 陕西周至某猕猴桃种植合作社，为了解本社猕猴桃的品质，从10000个猕猴桃中随机抽取 100个进行称重，测得重量均分布在区间[60,120]内（单位：克）.将所得数据按组距10分成6 组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120]，绘制成频率分布直方 图如图所示.该合作社将猕猴桃按重量分为两级：重量不小于100克为精品果；小于100克为普 通果 ↑频率/组距 0.030----- 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 60708090100110120重量/克 (注：同一组中的数据用该组区间的中点值作为该组所有数据的代表值.) (1)根据频率分布直方图，估计这10000个猕猴桃的平均重量； (2)根据样本估计得到：精品果和普通果的平均重量依次为107.5克、82.5克. 收购商提供以下两种方案收购这10000个猕猴桃： 方案一：所有猕猴桃均以4元/千克的价格由收购商统一收购： 方案二：实行分级销售：精品果6元/千克，普通果3元/千克 请你通过计算，为该合作社选择总收入更高的方案 第3页共4页26-G2-09L 18.(本小题17分) 某学校举行篮球定点投篮测试：每人最多投篮3次，每次投篮结果相互独立.在A处每投进 一球得3分，在B处每投进一球得2分，没有投进得0分，得分逐次累加，若总得分高于3分， 则通过测试并立即停止投篮：否则继续投篮，直到投完3次为止 现有两种投篮方案：方案1为先在A处投1球，以后都在B处投；方案2为三次都在B处 投已知小明在A处投篮的命中率为？在B处投篮的命中率为号 (1)若小明选择方案1，求他测试结束后总得分为3分的概率： (2)若小明选择方案1，求他能通过测试的概率； (3)若小明选择方案2，求他能通过测试的概率，并判断选择哪种方案通过测试的可能性 更大 19.(本小题17分)》 如图，在三棱柱ABC-ABC1中，∠BAC=90°，AB=AC=2,A4=4,A在底面ABC的射影 为BC的中点O,BC1的中点为D (1)求证：AD⊥平面ABC; (2)求直线AB与平面BB,C,C所成角的正弦值： (3)点P为线段AC上的动点（含端点），记直线DP与平面ABC所成的角为日，求 sinB的取值范围. D -- B. c A 第4页共4页26-G2-09L高二数学答题卡 姓 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交. 选择题 1ABCD可 5A幻B☐GD☐ 9AB☐CD回 2A)B☐C☒D 6AIB☐CD 10囚®C回 3AB© D 7 [A][B [C][D 11 [A][B]C][D 4四回©回 8ABC☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页共2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 十频率组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60708090100110120重量/克 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页共2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) D A B C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效