山西晋城市第一中学校2026-2027学年高三上学期质检（一）数学试题

2026—2027学年（上）高三年级质检（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则的值是（ ） A. B. 2 C. -2 D. 4. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 5. 已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 的导函数关于直线对称 B. 曲线在处的切线方程为 C. 函数的极小值点为 D. 函数的极大值点为0 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_________． 13. 函数的值域为_______． 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边经过点．线段绕着坐标原点逆时针旋转角后得到线段，设点，其中． （1）当时，求的值； （2）若点与点关于直线对称，试用表示，并求的值； （3）求的最大值． 17. 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程. （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 2026—2027学年（上）高三年级质检（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】3或 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）． 【17题答案】 【答案】（1）． （2） （3）不可能，理由如下. 因为，，． 所以， 若要，则，即， 上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）由椭圆方程可得，故. 设直线，， 由题设 ，否则由直线关于轴对称可得重合， 这与题设矛盾. 又椭圆方程可化为， 整理得到：，联立直线方程和椭圆方程可得： ， 故， 设，则， 故（▲）， 又，故为▲的两个解， 因为直线关于轴对称，故， 因为的斜率存在且不为零，故，故， 故直线，令，故， 故直线过定点. （ii）由题设. 设，联立椭圆方程可得， 故， 故即. 又，故， 直线，，, 由可得，同理， 故 ， 故为的中点即. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $