3.3.1探索数字与图形规律 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

# 北师大版七年级上册数学 探索数字与图形规律专项练习（约1400字） ## 核心知识点梳理 规律探究题分为**数字规律**和**图形规律**两类\(19，22\)解题通用思路： 1. 列举：写出前几项的数据； 2. 观察：看相邻项差、倍数、平方、奇偶变化； 3. 猜想：用字母$n$（$n$为正整数\(19，22\)$\(\(n=1\),2,3…\)$）写出代数式； 4. 验证：代入前几项检验式子是否成立。 ### 数字规律常见类型 1. 等差：相邻两数差固定\(19，22\)如$\(3,5,7,9…\)$\(19，22\)通项：首项$+(n-1)\times$公差； 2. 等比：相邻两数倍数固定； 3. 平方型：$\(1,4,9,16…\)$\(19，22\)即$n^2$；常搭配加减常数变形； 4. 符号交替：$+,-,+,-…$用$(-1)^{n+1}$；$-,+,-,+…$用$(-1)^n$。 ### 图形规律 一般思路：数出第1、2、3个图形对应的数量\(19，22\)转化成数字序列\(19，22\)按数字规律找通项。 ⚠️易错点： ① $n$从1开始\(19，22\)不要当成从0开始； ② 符号交替时指数容易写错； ③ 图形计数漏数、重复数； ④ 找到的代数式没有代入检验。 ## 专项练习题 ### 一、选择题（每题4分\(19，22\)共20分） 1. 数列：$2\(19，22\)5\(19，22\)8\(19，22\)11\(19，22\)14…$\(19，22\)第$n$项为（） A.$\(\boldsymbol{3n}\)-1$ B.$\(\(\boldsymbol{3n}\)+1\)$ C.$\(\(\boldsymbol{2^n}\)+1\)$ D.$\(\boldsymbol{2^n}\)-1$ 2. 数列：$1\(19，22\)4\(19，22\)9\(19，22\)16\(19，22\)25…$\(19，22\)第10个数是（） A.$20$ B.$100$ C.$81$ D.$121$ 3. 按规律摆小正方形：第1个图4个\(19，22\)第2个图7个\(19，22\)第3个图10个\(19，22\)则第$n$个图形小正方形个数（） A.$4n$ B.$\(\(\boldsymbol{3n}\)+1\)$ C.$\(\boldsymbol{3n}\)-1$ D.$4n-1$ 4. 数列：$-1\(19，22\)2\(19，22\)-3\(19，22\)4\(19，22\)-5\(19，22\)6…$\(19，22\)第$n$项是（） A.$n$ B.$-n$ C.$(-1)^n\cdot n$ D.$(-1)^{n+1}\cdot n$ 5. 观察：$1+3=4\(19，22\)1+3+5=9\(19，22\)1+3+5+7=16$\(19，22\)则$\(1+3+5+7+9=\)$（） A.$25$ B.$20$ C.$16$ D.$36$ ### 二、填空题（每题4分\(19，22\)共20分） 1. 数列$3\(19，22\)6\(19，22\)9\(19，22\)12…$第$n$项：________。 2. 数列$2\(19，22\)4\(19，22\)8\(19，22\)16…$第$n$项：________。 3. 图形：第1个图用5根火柴\(19，22\)第2个8根\(19，22\)第3个11根\(19，22\)第$n$个需要________根火柴。 4. 数列$2\(19，22\)-4\(19，22\)6\(19，22\)-8…$第$n$项：________。 5. $\(1,3,7,15…\)$\(19，22\)第$n$项：________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（15分）观察数列：$4\(19，22\)7\(19，22\)10\(19，22\)13\(19，22\)16…$ （1）写出后面第5、6两项； （2）写出第$n$项代数式； （3）求第100项。 2.（15分）用棋子摆图形： 第1个图形棋子6枚；第2个图形10枚；第3个图形14枚； （1）找规律\(19，22\)写出第$n$个图形棋子数量； （2）第20个图形棋子多少枚？ 3.（15分）观察下面式子： $1\times3+1=4=2^2$ $2\times4+1=9=3^2$ $3\times5+1=16=4^2$ $4\times6+1=25=5^2$ …… 写出第$n$个等式。 4.（15分）一张桌子坐6人\(19，22\)两张桌子拼一起坐10人\(19，22\)三张拼一起坐14人。 （1）$n$张桌子拼在一起可以坐多少人？ （2）当$\(\(n=1\)5\)$\(19，22\)能坐多少人？ ## 参考答案与解析 ### 一、选择题 1.A 解析：公差3\(19，22\)首项2\(19，22\)$2+3(n-1)=\(\boldsymbol{3n}\)-1$。 2.B 解析：第$n$项$n^2$\(19，22\)第10项$10^2=100$。 3.B 解析：公差3\(19，22\)$\(\(\boldsymbol{3n}\)+1\)$。 4.C 解析：绝对值是$n$\(19，22\)奇数负\(19，22\)偶数正\(19，22\)$(-1)^n\cdot n$。 5.A 解析：连续奇数相加\(19，22\)和等于项数的平方\(19，22\)5项\(19，22\)$5^2=25$。 ### 二、填空题 1.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3n}\)}$ 2.$\boldsymbol{2^n}$ 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3n}\)+2}$ 4.$\boldsymbol{(-1)^{n+1}\cdot\(\boldsymbol{2^n}\)}$ 5.$\boldsymbol{2^n-1}$ ### 三、解答题 1.解： （1）$19\(19，22\)22$ （2）公差为3\(19，22\)首项4： $4+3(n-1)=\(\(\boldsymbol{3n}\)+1\)$\(19，22\)第$n$项：$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{3n}\)+1\)}$ （3）$\(\(n=1\)00\)$\(19，22\)$3\times100+1=301$ 答：第100项是301。 2.解： （1）$6\(19，22\)10\(19，22\)14$\(19，22\)公差4\(19，22\)$\(\(\boldsymbol{4n+2}\)\)$ （2）$\(n=20\)$\(19，22\)$4\times20+2=82$ 答：第20个图形82枚棋子。 3.解： 第$n$个等式：$\boldsymbol{n(n+2)+1=(n+1)^2}$ 4.解： （1）$6\(19，22\)10\(19，22\)14$\(19，22\)公差4\(19，22\)代数式：$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{4n+2}\)\)}$ （2）$\(\(n=1\)5\)$\(19，22\)$4\times15+2=62$ 答：15张桌子可以坐62人。 ## 练习总结 规律题三步走：**列数据 → 找变化 → 写代数式\(19，22\)一定要带回检验！** 高频坑： 1. 分不清等差、平方、乘方类； 2. 符号交替写错$(-1)^n$与$(-1)^{n+1}$； 3. 图形规律直接数\(19，22\)不会转化成数字序列； 4. 代数式求出后代入$\(n=1\)$验证\(19，22\)很多同学省略这一步。 第三章整式到此结束\(19，22\)下一章：**一元一次方程 4.1等式与方程**专项练习\(19，22\)保持同样格式\(19，22\)需要吗？ 北师大版（新教材）数学七年级上册 3.3.1探索数字与图形规律 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/4 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 整式及其加减 素养目标 1. 经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用. 2. 能用代数式表示并借助代数式运算验证探索规律的一般性. 3. 能运用所总结的规律解决问题. 素养目标 02 新知导入 请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落在哪个手指上？ 你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？ 03 新知讲解 观察图所示的日历图，回答下列问题: 03 新知讲解 (1)日历图中的数有什么规律? (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 03 新知讲解 (1)同一横行上相邻三个数之间的关系:相差1. 竖列上三个相邻数的关系:相差7. (2)9个数之和为中间数的9倍 (3)都成立。因为这9个数可以表示为： 所以这9个数之和为9a a－8 a－7 a－6 a－1 a a＋1 a＋6 a＋7 a＋8 (4)成立；如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a 03 新知讲解 (1)图所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144? 180呢?为什么? 尝试·思考 因为9个数的和可以表示为9a,即可以被9整除，框中的9个数的和可以为144，不能为180 03 新知讲解 (2)在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80,这个月的第一个星期日是几号? 设这五个星期日的日期数由上至下分别为a-14，a-7，a，a+7，a+14，根据题意，得(a-14)+(a-7)+a+(a+7)+(a+14)=80， 解得：a=16 所以a-14=16-14=2，所以这个月得第一个星期日是2号。 03 新知讲解 思考·交流 (1)如图, 如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律? 03 新知讲解 思考·交流 “十”字形框中的数表示如下：   a－7   a－1 a a＋1   a＋7   (a-1)+a+(a+1)+(a-7)+(a+7)=5a 结论：“十”字形框中的数相加的和是5的倍数。 03 新知讲解 思考·交流 结论：“H”形框内的数之和为中间数的7倍 “H”形框中的数表示如下： a－8   a－6 a－1 a a＋1 a＋6   a＋8 用代数式表示这7个数之和为a－8＋a－6＋a－1＋a＋a＋1＋a＋6＋a＋8＝7a。 03 新知讲解 思考·交流 (2)你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 设计的其他形状的方框为“M”形框,而“M”形与“H”形一样,7个数的和是中间这个数的7倍. 知识点1 探索数及式的规律 1.［2024徐州中考］观察下列各数：3、8、18、38、 ，按此规律，第 个数为( ) D A.48、58、68 B.58、78、98 C.76、156、316 D.78、158、318 返回 举一反三 13 2.观察按一定规律排列的代数式：，，，，， ，第 个代数式是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 14 3.观察下列等式： 第1个： 。 第2个： 。 第3个： 。 第4个： 。 … 按照以上规律，第 个等式为____________________________________。 返回 举一反三 15 1.观察如图所示的日历，解答问题： 用一个方框去框图中的4个数(如图中阴影框所示)，若最小的数为x，则其他三个数由小到大分别为 　 x ，＋ 7，  　 x . x＋1　 x＋7　 x＋8 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 当堂检测 16 2.图1是生活中常见的日历，先观察，再解答： (1)图2是另一个月的日历，a表示该月中某一天，b，c，d是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系：b＝______，c＝______，d＝______．(用含a的式子填空) a－7 a＋1 a＋5 图1 图2 当堂检测 17 (2)用一个长方形框框出日历中的三个数(图3中的阴影)，如果这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？ 解：设中间的数为x，则上面的数为 x－7，下面的数为x＋7. 根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51， 所以x＝17. 所以这三个数分别是10，17，24. 图3 当堂检测 18 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 3.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表. (1)十字形框中的五个数之和与中间数 15有什么关系？ 答：十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍. 解：5+25+13+17+15＝75 ＝15×5. 当堂检测 19 (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ 解：十字形框中的五个数分别为a，a-10，a-2，a+2，a+10， a+a-10+a-2+a+2+a+10=5a， 它们的和是5a. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 当堂检测 20 解：十字形框中的五数之和一定是5的倍数. 而2022不是5的倍数，所以十字形框中的五数之和不能等于2022. 十字形框中的五数之和能等于2025，此时中间数为405，其余四个数分别为395 ,403 ,407 ,415. (3)十字形框中的五数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 37 ...... 当堂检测 21 知识点2 探索表格的数字规律 4.［教材P96问题引入变式］图①是某年10月的月历。若在月历中任意 画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，， （如图②）， 若，则 ( ) C A.68 B.58 C.48 D.38 返回 举一反三 22 5.如图①是2025年1月的月历，用如图②所示的图形框出图①中3个数， 则这3个数的和最大为____。 75 返回 举一反三 23 知识点3 探索图形的规律 6.［2024济宁中考］如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方 形。第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正 方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( ) B A.90 B.91 C.92 D.93 返回 举一反三 24 7.［教材P97随堂练习T1变式］用同样长的 小棒摆成如图所示的图形，第1个图形用5 根小棒，第2个图形用9根小棒，第3个图形 C A.8 093 B.8 097 C.8 101 D.8 105 用13根小棒， ，按照这样的方式摆下去，第2 025个图形所用小棒的 根数为( ) 返回 举一反三 25 8.如图是用棋子摆成的“ ”形图，按 这样的规律摆下去，第 个需要 ___________枚棋子。 返回 举一反三 26 9.［2024扬州中考］1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一 列数：1，1，2，3，5， ，这一列数满足：从第三个数开始，每一个 数都等于它的前两个数之和。则在这一列数的前2 024个数中，奇数的 个数为( ) D A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 返回 举一反三 27 10.［2025陕西师大附中期末］图中各正方形中的四个数之间都有相同 的规律，根据此规律， 的值为( ) D A.42 B.76 C.142 D.272 返回 举一反三 28 11.（12分）［2025西安长安区期末］如图，用同样大小的棋子按以下规 律摆放图形。 （1）第5个图所用棋子数为____枚，第6个图所用棋子数为____枚； （2）第个图所用棋子数为_________枚（用含 的代数式表示）； 18 21 （3）现有2 025枚棋子，是否恰好能摆放出如图规律的某个图？若能摆 放，求摆放的是第几个图；若不能，请说明理由。 解：能。令，解得 ，所以摆放的是第674个图。 返回 举一反三 29 05 课堂小结 谢谢观看 THANKS $