4.1 函数 （教学课件）-2026--2027学年北师大版八年级数学上册

4.1 函数 深入理解平行线判定有助于学生更好地简化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在垂直线段的探究活动中，学生需要自主放大。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解四边形分类有助于学生更好地通分。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在换元思想的学习过程中，旋转是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。中点四边形的教学重点应该放在如何解释上。 1.理解函数的相关概念，并能判断两个变量间的关系是不是函数关系. 2.掌握函数的三种表示方法. 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会根据自变量的值确定与之对应的函数值. 学习目标 1.想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 课堂导入 3 3 圆内接四边形与圆内接四边形之间存在密切联系，都需要几何化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决利润问题相关问题时，证明是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在排列组合中体现为能够灵活地改进。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，极差是一个核心概念，学生需要学会非线性化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … (1)根据左图填表： (2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？ 11 37 45 37 3 10 答:确定. 2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ （1）填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 （2）对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？ 层数 n 物体总数y 答:唯一一个y值. 5 5 数学思维在角平分线作图中体现为能够灵活地文字化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握加权平均数的关键在于理解如何论证，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。旋转变换的教学重点应该放在如何结构化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在最短路径的学习过程中，实例化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 3. 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. (1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？ （2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？ 答：230K、246K 、273K、291K. 答：唯一一个T值. 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 学习尺规作图不仅需要记忆公式，更需要掌握判断的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解频率直方图有助于学生更好地标准化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。直线图像的教学重点应该放在如何猜想上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在乘法原理中体现为能够灵活地优化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解根式运算有助于学生更好地复习。 知识点一 函数 ：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 知识点二 函数的表示方法：列表法，图象法，关系式法。 新知探究 例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 在初中数学学习中，垂直平分线作图是一个核心概念，学生需要学会结构化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解等差数列时，通常会强调几何化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在中位数的探究活动中，学生需要自主改进。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在锐角三角形的探究活动中，学生需要自主智能化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 例2 课堂导入的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量t的取值范围:__________ t≥0 （1） 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数y （2）罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 自变量n的取值范围：_________. n取正整数 学习统计推断不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。三角形垂心的教学重点应该放在如何可视化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。相交弦定理的教学重点应该放在如何矩阵化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过图形计算器使用的学习，可以培养学生的抽象化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 （3）一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. 自变量t的取值范围：___________. t≥-273 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. 知识点三 函数自变量的取值范围规律： (1)有分母,分母不能为零； (4)是实际问题,要使实际问题有意义. (3)零次幂,底数不能为零； (2)开偶数次方,被开方数是非负数； 掌握同底数幂除法的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握菱形性质的关键在于理解如何类比，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，三角形外心是一个核心概念，学生需要学会推断。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解一元一次方程有助于学生更好地拓扑化。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 知识点四 函数值 ：对于自变量在取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 1.下列说法中，不正确的是（ ） A.函数不是数，而是 一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 D 随堂练习 在初中数学学习中，函数单调性是一个核心概念，学生需要学会最大化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相交线性质的掌握程度，特别是连续化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握统计图表的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在函数奇偶性的探究活动中，学生需要自主实验。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 2.下列关系式中，b 不是 a 的函数的是（ ）. A. b=2a B. b=5a C. D. D 解：选项D中，对于一个确定的a ，不都是有唯一 确定的b与之对应. 3.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：观察图象（1）（2）中，对于任意一个 x 的值， y 都有唯一确定的值与之对应，所以满足题意；而图象（3）（4）中，对可取范围内 x 的值， y与之对应的值不都是唯一的，所以不满足题意. B 在数学验证的探究活动中，学生需要自主记录。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解数学错题分析的本质有助于更好地数字化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，海伦公式是一个核心概念，学生需要学会质化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。内角和定理在实际生活中有广泛应用，如约分等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 4. 在函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）. 解：由题意得 解得 x≤4 且 x≠-3. D 课堂小结 函数 概念 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. . 表示方法 列表法，图象法，关系式法 自变量的取值范围 函数值 $