江西省九师联盟2026-2027学年高三上学期阶段检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（dB），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096-2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22:00至次日6:00．按此标准，若某商住混合区在19:00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为 A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 5．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知集合，则“”是“”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，，且，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为，最小值为，若，则 A．6 B．5 C．4 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，，满足，则 A． B． C． D． 10．下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数满足：，，且，则 A． B．直线为的图象的一条对称轴 C．为偶函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数为奇函数，则___________． 13．已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为_________． 14．表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若有一个大于1的零点，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 17．（本小题满分15分） 已知函数满足：，． （1）求的解析式； （2）设． （Ⅰ）若，，求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得关于的方程有4个不同的实根？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断函数的奇偶性； （2）写出的解析式，并求的值； （3）若实数，满足，求的最大值． 19．（本小题满分17分） 已知函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”． （1）根据你对“函数”定义的理解完成下列两个小题： （Ⅰ）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （Ⅱ）在幂函数、指数函数和对数函数中各写出一个“函数”（不需要证明）； （2）若定义在上的函数是“函数”，求的取值范围； （3）若是定义域为的“函数”，证明：“，”是“，且，”的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案、提示及评分细则 1.A命题“3x>0,2<1”的否定为“Vx>0,2r≥1”.故选A. 2.D由题意知A={-1,0√2,1}，B={-√2,0，W2},所以A∩B={0w2}.故选D. 3.B由题意知，=101g≤60，即1g≤6，所以1≤1016=106w/m.放选B 4.A由题意得a<0,且-1,3是方程a.z2-bx十c=0的两根，所以C=-3,即c=-3a,于是不等式ax-c>0变为ax十 3a>0,考虑到a<0,解得x<一3，即关于x的不等式ax-c>0的解集为(-∞，一3).故选A. 3-a>0, 5.C因为f(x)是R上的增函数，所以a>1, 解得2≤a<3.故选C. 3-a+2-2a≤a-3, 6B由2∈A得8<0，所以a<-2,或a>2,放2任A9-2≤a≤2.又(-2,2][-2,2]，所以-2<a<2”是 “2任A”的充分不必要条件.故选B. 7D令x+1=u,x+2y=6,则>0.60=a-1y=g,且是+名=1，所以2x+y=2a一2+g-受+号 2 2 22 号-（受+台）(4+6)一是=5+驰+器≥5+2，当且仅当0-之即a=4+2号6=2厅+1时等号成立. a 3 所以2x+y的最小值为5+2√5.故选D. &.Dfr)h(+于++五1+ah(+)+近+1+a.令g)-n(士更)+近，则 x2+1 x2+1 x2+1 f(x)=g(x)+1+a,且g(-x)=n(-x+-)+五)-E_-ln(x+2+五)-G (一x)2+1 x2十1 =一g(x),所以g(x)为 奇函数，所以g(x)mmx十g(x)min=0,又M=g(x)mx十1十a,m=g(x)m十1十a,所以M十m=2(1十a)=8,解得a= 3.故选D. 9.BC对于A,当b<0时，ab<bc不成立，故A错误；对于B,由a<c,bc,得a十b<2c,故B正确；对于C,因为a<b,所 以a十c<b十c,故C正确：对于D,当c=0时，ac2=bc2,故D错误.故选BC. 10.ACD由x十xJ=3,得(x十x)2=9,所以x2+x2=7,故A正确：由21<1，得x-1<0,所以x<1,故B错误； 由alog2=2,得a=g221og3=lbg9,所以2=9，（号）广=寸，放C正确；由1ogb=2,得b=心，所以1logb 2 -loga2=-2,故D正确.故选ACD, 1.ABD令x=y=0,则f0)=f0)(号)+f(号)f0),结合（号）=1，解得f0)=0:令x=y=3,则f(号) =f(号)f(0)+f0)f(3)=0,放A正确：令y=子，则f(x+3)=f(f0)+f(3-x)f(仔) f(号-x),所以f(x)的图象关于直线x=号对称，故B正确：令y=-x,则f(0)=f(x)f(号十x)十 f3-)f(-0=f()f(+号)+f(x+3)f(-x),即f(x+号)[f(x)+f(-x)]=0,由题意知 f(x十3)不恒为零，所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数，且f(x)不恒为0，故C错 误；由（号+）=（兮-），得f()=f(号-)=-(x号)，即f(x+号)=-fx),所以f(x+号)= f(),所以号为f(x)的一个周期，所以4也是f(x)的-个周期，f1)=f(1-号)=f(-3）=-f(3)=-1, f2)=f(2-专)=f(号)=0，f(3)=f(3-2×号)=f(3)=1,f4)=f(4-3×专)=f(0)=0,所以 驾f)=50mL/I)+f2)+K3)+f4门-4)=0，故D正确：放选ABD 12.一2解法1：当x>0时，-x<0,所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2十x,又f(x)为奇函数，所以∫(-x) 一f(x),所以-f(x)=x2+x,即当x>0时，f(x)=-x2-x,所以a=-1,b=-1,所以a+b=-2. 解法2：由题意得f(-1)=-f1),即2=-(a十b),所以a+b=一2. 13.[六，10]因为x)为偶函数，且fgx)≥D,所以f(lgx)≥f1),又f(x)在[0，+)上单调递减，所 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 9/2 以lgx≤1，即-1≤1g≤1，解得≤≤10，放x的取值范围为[0,10小 6令f)=忘期f+1D-f)=,当≥0时，fx+1)-f)>1,所以[器]，[]，[器]， ,[器]是大于等于25且互不相等的整数，共引个当≤9时，0<x十1)-f()<1,且40)= 2401放[品1，[器][高1…[鴛]取到0到24共25个整数综上A={=[品]=123,10 中的元素个数为76. 15.解：(1)由x2-3x-18<0,得-3<x<6,所以A=(-3,6), …2分 当a=石时，B=6, 所以AUB=(-3,6],CRB=(-o∞，6)U(6,+o∞)，… …4分 所以A∩(CRB)=(-3,6).… …6分 (2)由(1)知A=(-3,6), 若a=0,则B=☑，此时A∩B=☑成立，故a=0满足题意； 8分 若a≠0，则B=(合}由AnB-O,得2EA,所以日<-3，或日 10分 a 解得日<a<0,或0<a<行， 综上a的取位范围为[-号号] …13分 16.解：(1)当a=0时，f(x)=一(x一1)，其零点为x=1,不适合题意；… 2分 当a≠0时，令f(x)=0,解得x= ,x=1,… …4分 由>1，解得0a<1 综上，Q的取值范围为(0,1).… …6分 (2)若a=0,原不等式变为-x+1<0,所以x>1, 即当a=0时，原不等式的解集为(1，十∞).…。 …7分 若a≠0，方程(ax-1)(x-1)=0的两根分别为2,1， 当a<0时，显然。<1，所以原不等式的解集为(-∞，)U(1,十∞)： 10分 当日=1，即a=1时，原不等式的解集为 12分 当0<日<1，即a>1时，原不等式的解集为（合，1）： 13分 当2>1，即0<a<1时，原不等式的解集为(1，日)》 14分 综上所述，当a<0时.原不等式的解集为(-0，)U1,+o): 当a=0时，原不等式的解集为(1，十∞)： 当0<a<1时，原不等式的解集为(1，)： 当a=1时，解集为心，当a>1时，原不等式的解集为（日，1） …15分 17.解：(1)因为Vx∈R,f(x)+2f(-x)=3x2+5.x十12，① 月-x替换x,得f(-x)十2f(x)=3x2-5.x十12，②…1分 由②X2-①，得f(x)=x2-5x十4.… …3分 （2)(1)g(红)=f2=Z1-5, …4分 所以g(2)-a·2=2+是-5-a·2,故原不等式变为2+会-5-a·2≤0， 令2r=,则e[231,且1+生-5-u<0,所以≥1+产-9=4（片专）”最 …6分 因为[2]，所以∈[3]，所以当}-=时[4()广最]=号 所以a≥ 号，即a的取值范围为[一号十o). …8分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 9/2 (1)油g(x)=x+兰-5，得方程2g(2-1)十2号一6+15=0等价于 b-9. 2到2-1十128-10叶会号-什15=0，即2创2-+打2二一什5=0.…9分 8 令m=2一1，要使关于x的方程m=2-1有两个相异实根，必有m∈(0,1)，…10分 原方程化为2m+品-6什5=0.整理得2m-(-5)m+6-1=0, 要使原方程有4个不同的实数根，则关于m的方程2m2一(b5)m十b一1=0在(0,1)内有两个不同的实根， ……12分 5<b9, 令h(m)=2m2-(b-5)m+b-1,则△>0， (b-5)2-8(b-1)>0, 即 h(0)>0, 16-1>0, h(1)>0, (2-(b-5)+b-1>0, 该不等式组无解，故不存在实数b满足条件. 15分 1)由>0，得-1<1，所以f（x)的定义域为(1,1)，……… 又f(-x)=一-g告-(-g)=-) …3分 所以∫(x)为奇函数.… 4分 (②油题意知g)=fx-1D+2=x一1-g2+2=x+1-g2 …5分 所以gx)+g2-0=+1-s2+2-t1一222 =4-g2-g3=4-e(22·2六)=4-g1=4 …7分 记s=8(2)+(2品)+s(2)+…+(9》. 所以s=g(告8)+g()+s(佳82)+…+g(2z), 两式相加得2s-[(2da)+(修)]+[s(z品)+e(器》]+[23)+s(号阅)】]+…+[s(售》+ g(2027)月=4X4053，…9分 所以3=8106，即g(2)+(z)+(23)+…+g(修0) =8106. 10分 (3)由(2)知g()=x+1-lg2,其定义域为(0,2)，在(0,2)内任取，且<， 则g)-g)=看十1-归2-(+1-g2）-0g经会 2.x2-0x2 因为x1<x2,所以一2<0,0<20一02<22-x2, 所以经名>1.所以1>0.所以g)g）0, 2x一xx2 即g()<g(2),所以g(x)在(0,2)上单调递增.… ……… 12分 (此处还可以利用复合函数的单调性判断：因为y=2。工=二-1在(0,2)上单调递减，y=1gx为增函数，由复合函数 的单调性知)=lg2一在(0,2)上单调递减，所以)=-lg2一在(0,2)上单调递增，又=x十1为(0,2)上的增函 数，所以g(x)在(0,2)上单调递增.… 12分 2 也可以利用导数：所以g(x)=1十 (2-n10>0,所以g(x)在(0,2)上单调递增.（虽然导数不在本次考试范围 内，但学生用了导数，只要过程和结果正确，也得分)…12分) 由g(a2)+g(3b+1)≤4，得0<a2<2,0<36+1<2,38<1. 13分 由g(a2)+g(3b+1)≤4，得g(a2)≤4-g(36+1), 由(2)知4-g(3+1)=g(2-(3+1))=g(1-3), 所以g(a2)≤g(1-3b2),… 14分 由g(x)的单调性，得a2≤1-3b,所以a2+36≤1， 又a2+3≥2a·√5b=2√5ab,所以1≥25ab,… …15分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 9/2 所以得当且仅当a=56,且云+35=1，即a或a=6后时等号.满足0<<2沙 所以ab的最大值为 6 …17分 19.(1)解：(i)y=nx不是“T函数”.… …1分 理由如下：记f(x)=lnx,取=1,22=e,==2, 则r(号X1+之×e)=n告>h2号-司 2 2 …2分 又7f1)+2f(e)=2h1+2lne=日， …3分 所以f(号×1+2×e)>2f1)+2fe), 所以y=lnx不是“T函数”.… …4分 (ⅱ)幂函数中的y=x2,指数函数中的y=2,对数函数中的y=log号x均为“T函数”.（答案不唯一）.…7分 (2)解：f(x)=|x2-(a+1)x+a=|(x-1)(x-a)|, 当a≤1时，f(x)=(x-1)(x-a)=x2-(a+1)x+a, 对H,2∈[1，+o∞)，则入十ux2≥Amin{x1,x2}十min{,2}=min{x1,x2}≥1， 所以f(A0十2)-[Af(x1)+f(x2)]=(十a2)2-(a十1)（十u2)+a-入x号-(a十1）+a] [x3-(a+1)x2+a] =A(A-1)x号+u(4-1)号+2u1x2=-4(-x2)2≤0，… …9分 所以f(十u2)≤入f()+uf(2),所以f(x)是“T函数”： 当a>1时，取X=么=分西=1，。=a, f(分×1+)-[2+2fa)]-aD-0=a1>0. 4 4 所以f(受×1+a)>[f1)+fa)],所以f(x)不是T函数” 综上所述，a的取值范围为（一∞，1门.… 11分 (3)证明：若存在实数k,使得∫(x)=x,显然f(x)是“T函数”，且f(1)=k, 所以f(x+1)=k(x+1)=k.x+k=f(x)+f(1), 即存在S=1>0,使得f(x+S)=f(x)十f(S),所以充分性成立. 12分 再证必要性. 若3S∈R,且S>0,f(x+S)=f(x)+f(S). 令x=0,有f(S)=f(0)+f(S),所以f(0)=0, 令x=-S,得f(0)=f(-S)+f(S)=0,即f(-S)=-f(S), 令x=S,得f(2S)=f(S)+f(S)=2f(S), 所以对任意整数，f(nS)=f((n-1)S+S)=f((n-1)S)十f(S)=…=nf(S).…13分 记=g,则/(S》=S,所以对任意整数1(5)=S, 假设存在实数x,使得f(x0)≠kx0,显然n≠S,… …14分 则存在整数，使得nS<<(十1)S, 取x=w+1)S-边∈(0,1)， S 则xn=(+1)S-AS=aS+S=(A十)S+S-AS+u(+1)S, 所以f(xn)=f(AmS+(m+1)S)≤λf(S)+f((n+1)S) =λkS+zk(a+1)S=k[入mS+a(+1)S]=kx0, …15分 Zo-noS 取A=。CmDs∈(0.D,则%S=入(m5-S)十， 所以kS-f(S)=f(A(S-S)+ax)≤入f(mS-S)+f(x)=Ak(mS-S)+uf(xn), 所以f2)≥%S-26SS》=km,…16分 1-入 所以f(xn)=k与假设矛盾， 所以不存在xo,使得f()≠kx,即对Hx∈R,f(x)=kx,所以必要性成立. 所以“了k∈R,f(x)=kx”是“3S∈R,且S>0,∫(x+S)=∫(x)十∫(S)”的充要条件.…17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 9/2