精品解析：贵州省松桃民族中学2026-2027学年高二上学期第一次素养训练数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次素养训练 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是， 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】关于轴对称，则值不变，和的值变为原来的相反数， 故所求的点的坐标为. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，假设向量共面，则， 即，无解，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故B正确； 对于C，，因此向量共面，故不能构成基底，故C错误； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：B. 6. 如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 7. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：在内过点作，且，构造矩形，根据勾股定理结合已知求解即可得出答案；方法二：由已知可知，然后根据数量积的运算律结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】解法一：在内过点作，且，连接，所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形， 所以，故平面， 因而， ，. 解法二：由， 得，，. 因为， 所以. 所以， ． 故选：C. 8. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求.部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】设平面的法向量为， 因为，所以，即， 对于A，的方向不确定，不能作为平面的法向量，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三角形为等腰直角三角形 C. 轴所在直线与平面所成角的正弦值为 D. 点为平面上动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长公式、向量垂直的坐标表示、数量积运算、线面角的向量求法、对称法求最短距离逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由已知，则； ，则； 所以，即，故A正确； 选项B：由已知，， 则，即； 又，故，即； 故是等腰直角三角形，故B正确； 选项C：设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，，即， 所以. 设轴所在直线与平面所成角为，取轴方向向量， 则，故C错误； 选项D：点关于平面的对称点为，则， 故， 即的最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷（客观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间直线的方向向量是，平面的法向量.若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由直线的方向向量与平面的法向量共线可得答案. 【详解】若因为，所以，即，所以， 则. 故答案为：2. 13. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 14. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直、线面平行的向量证明得到平面的法向量与垂直，进而列方程求解即可. 【详解】连接，设，连接. 因为四棱锥底面为正方形，所有侧棱长相等，故为正四棱锥，因此平面. 以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为，则，侧棱长，则， 故，，，， 所以，，. 因为平面，故是平面的一个法向量. 设，，则. 由平面，得，所以，即， 整理得，解得，即，故， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量基本定理用基向量表示 即可； （2）利用中点条件将和用基底表示，再由向量加法计算即得． 【小问1详解】 连接，因为，，， 所以， 在平行六面体中，， 故． 【小问2详解】 连接，因为的中点，则， 因为的中点，则， 又，则， 故． 16. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 17. 把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 由四边形为正方形，且为正方形的中心，所以， 正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 因为，分别为和的中点，可得，， 所以，且， 可得，且 设异面直线与的夹角为，则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为平面，即轴与平面垂直， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知：向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． （1）证明：； （2）求的长； （3）求到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，由， 得均为等边三角形，则，而为的中点， 因此，又平面， 则平面，又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）利用平行四边形性质及余弦定理求解. （3）利用线面平行的性质，结合等体积法列式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，而为的中点，则， 由（1）得，因此，即， 又，则，由，得四边形为平行四边形， 则， . 【小问3详解】 由（1）（2）知，而平面，则平面， 由，得，而平面，平面， 因此平面，点到平面的距离等于点到平面的距离， 而， 由，得，则， 所以到平面的距离为. 19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由平面，平面， 得，又，且，平面， 所以平面. （2） （3）直线在平面内，理由如下： 由及，得，则， 由（2）知平面的法向量为，因此，即平面， 又点平面，所以直线在平面内. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用空间位置关系的向量证明推理判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得点，由，得， 设平面的法向量为，则， 取，得，而平面的法向量为， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次素养训练 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求.部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三角形为等腰直角三角形 C. 轴所在直线与平面所成角的正弦值为 D. 点为平面上动点，则的最小值为 第Ⅱ卷（客观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间直线的方向向量是，平面的法向量.若，则___________. 13. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 14. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 16. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 17. 把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． （1）证明：； （2）求的长； （3）求到平面的距离． 19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设．判断直线是否在平面内，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $