4.3 用一元一次方程解决问题（第 2 课时 画线形示意图分析数量关系）教学设计2026-2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版七年级数学上册教学设计 课　题 4.3 用一元一次方程解决问题 （第2课时　画线形示意图分析数量关系） 课　型 新授课 上课时间 　 主备人 　 执教老师 　 学情分析 　　学生已学习一元一次方程的解法，并初步掌握列方程解应用题“审、设、列、解、验、答”的基本步骤，能解决简单的和差倍分问题。但在销售、行程等实际问题中，数量关系较为隐蔽，学生往往难以从文字叙述中直接抽象出等量关系，常出现“设出未知数却列不出方程”的困难。七年级学生以形象思维为主，正处于向抽象思维过渡的阶段，借助线段图这一直观模型，可把文字语言转化为图形语言，降低抽象难度。教学中应让学生经历“读题—画图—标量—找等量—列方程”的完整过程，体会数形结合思想。 教学目标 1. 知识与技能：会画线形示意图分析销售问题、行程问题中的数量关系；能借助线段图找出等量关系并列出一元一次方程求解。 2. 过程与方法：经历“问题情境—画示意图—找等量—列方程—求解检验”的建模过程，体会数形结合、方程建模与化归思想，发展几何直观与模型观念。 3. 情感态度与价值观：在合作画图、交流辨析中感受示意图“化繁为简”的工具价值，增强用数学解决实际问题的信心与应用意识。 教学重、难点 教学重点：经历用线形示意图分析数量关系的过程，能借助线段图找等量关系并列方程。 教学难点：根据题意合理画出线段图，从线段的“和”与“差”中准确抽象出等量关系。 教学准备 多媒体课件、直尺、彩笔、导学案 课时安排 1课时 （一）复习回顾　设疑导入 二次备课 / 设计意图 1. 回顾旧知：列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？其中最关键的一步是什么？ 　　学生口答：审（审题）、设（设未知数）、列（列方程）、解（解方程）、验（检验）、答（作答）；最关键是“找等量关系”。 2. 设疑：当题目中的数量关系比较隐蔽、文字叙述较长时，有没有一种“看得见”的办法帮助我们找等量关系？ 3. 揭示课题：今天我们学习一种重要的分析工具——画“线形示意图”（线段图），把文字语言翻译成图形语言。（板书课题） 【设计意图】 以旧知“六步”和“关键找等量”定向，制造“关系隐蔽难下手”的认知冲突，引出线段图工具，明确本课学习任务。 （二）合作探究　建构方法 二次备课 / 设计意图 ★活动1　销售问题——用线段图表示“部分与整体” 【例1】某商店将一款羽绒服按进价提高50%后标价，再以8折优惠出售，结果每件仍获利96元。这款羽绒服每件的进价是多少元？ (1) 找一找：题目中有哪些量？“获利96元”是怎样得到的？ (2) 画一画：设进价为 x 元，师生共同画线段图。 进价： |←────────── x 元 ──────────→| 标价： |←──────────── 1.5x 元 ────────────→| 售价： |←────── 1.5x×0.8=1.2x 元 ──────→| 利润： |←── 96元 ──→| (3) 说一说：从图中你发现了怎样的等量关系？ 　　等量关系：售价 − 进价 = 利润，即 1.5x×0.8 − x = 96。 (4) 解一解（学生板演，教师规范步骤）： 　　设这款羽绒服每件进价为 x 元。根据题意，得 　　化简，得 1.2x − x = 96，即 0.2x = 96，解得 x = 480。 　　检验：售价 1.5×480×0.8=576（元），576−480=96（元），符合题意。 　　答：这款羽绒服每件的进价是480元。 ★活动2　行程问题（追及）——用线段图表示“路程差” 【例2】七年级学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4 km/h；(2)班学生组成后队，速度为6 km/h。前队出发1 h后，后队才出发。后队出发几小时后可以追上前队？ (1) 设后队出发 x h 后追上前队。 (2) 画线段图（同向追及，起点对齐）： 前队： O|--先走4×1=4km--|------又走4x km------|→ 后队： O|--------------走6x km---------------|→ ↑ 追及点 (3) 找等量：追上时“后队走的路程 = 前队先走的路程 + 后队出发后前队又走的路程”。 　　解得 2x = 4，x = 2。 　　答：后队出发2 h后追上前队。 ★活动3　变式（相遇）——用线段图表示“路程和” 【变式】A、B两地相距36 km。甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，甲速5 km/h，乙速4 km/h。两人出发后几小时相遇？ 甲： A|----甲走5x km----| ↓ 相遇 乙： |----乙走4x km----|B |<──────── 全程36 km ────────→| 　　等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程。 　　解得 9x = 36，x = 4。答：出发后4 h相遇。 【设计意图1】 销售问题先示范“画基准线（进价）→按关系画标价、售价→标出利润”，让学生初次感知画法。 【设计意图2】 追及问题中线段“一前一后两段”与“后队一段”的等长关系一目了然，突破“路程差”这一隐蔽等量。 【设计意图3】 相遇变式把“差”改为“和”，通过对比体会线段图既能表示和、又能表示差，实现方法迁移。 （三）典例剖析　深化理解 二次备课 / 设计意图 【例3】某工程队修一条公路，第一天修了全长的 还多2 km，第二天修了余下的 ，还剩18 km没有修。这条公路全长多少千米？ 分析：设全长为 x km。画出线段图分段表示。 全长： |←────── x km ──────→| 第一天:|← x/3 →|←多2→| 余下： |←──────── 余下 ────────→| 第二天: |← 余下/2 →|←剩18 km→| 　　引导发现：第二天修后剩下的18 km正好等于“第一天修完后余下的一半”。 　　即余下的路程为 18×2 = 36（km）。 　　再由“第一天修了全长的 还多2 km”，得： 　　解得 ，x = 57。 　　答：这条公路全长57 km。 方法提炼：画线段图找等量的“四步法”——①画基准线（先画单位“1”或总量）；②按和、差、倍、分关系分段；③标出已知量与未知量；④从线段的“和”或“差”中找等量关系。 【设计意图】 本题含分数与“余下”的连续两次分配，数量关系隐蔽。借助分段线段图，学生能直观看到“18 km=余下的一半”这一突破口，体会线段图化抽象为直观的作用；并提炼可迁移的画图四步法。 （四）分层练习　巩固提升 二次备课 / 设计意图 A组　基础过关（全员必做） 1. 某商品标价为200元，打8折销售仍可获利20元。设该商品进价为 x 元，依题意可列方程：________________。 2. 甲、乙两人从相距45 km的两地同时相向而行，甲速6 km/h，乙速4 km/h，经过几小时相遇？（画线段图并列方程求解） 　　解：设经过 x h 相遇，6x+4x=45，解得 x=4.5。答：经过4.5 h相遇。 B组　能力提升（小组合作） 3. 一队学生从学校出发步行去博物馆，速度为5 km/h，走了24 min后，一名教师骑自行车以15 km/h的速度按原路追去。教师从出发到追上学生队伍需要多少时间？ 　　提示：先统一单位，24 min = = 0.4 h。设教师追上需 x h，5(0.4+x)=15x，解得 x=0.2。答：需要0.2 h（12 min）。 4. （多解辨析）“甲、乙两车分别从相距180 km的A、B两地同时出发，相向而行，甲速40 km/h，乙速50 km/h，几小时后两车相距30 km？”本题有几种情况？画线段图说明。 　　参考答案：相遇前相距30 km：40x+50x+30=180，x=5/3；相遇后又相距30 km：40x+50x−30=180，x=7/3。 C组　拓展探究（学有余力选做） 5. 运动场环形跑道一圈400 m，甲、乙两人同时同地出发，背向而行，甲速6 m/s，乙速4 m/s。①几秒后两人第一次相遇？②若同向而行，几秒后甲第一次追上乙？ 　　解：①背向（路程和=一圈）：6x+4x=400，x=40；②同向（路程差=一圈）：6x−4x=400，x=200。 【设计意图】 A组直接模仿例题，巩固“画—标—找—列”基本流程；B组引入单位换算与“相距30 km”的双解讨论，培养分类讨论；C组把线段图迁移到环形跑道（和/差=一圈），实现方法迁移与思维拔高。 （五）课堂小结　归纳提升 二次备课 / 设计意图 1. 知识梳理：线形示意图是把文字语言“翻译”成图形语言的工具，借助线段的和与差找等量关系。 2. 方法提炼——画图“四步法”：一画基准线，二按关系分段，三标已知未知，四从和差找等量。 3. 思想升华：数形结合思想、方程模型思想；行程问题中“同向找差、相向找和”。 4. 作业布置：课本习题4.3 第3、4、5题；思考题：尝试用线段图分析“工程问题”与“配套问题”。 【设计意图】 小结由知识到方法再到思想，帮助学生把本课所学固化为可迁移的“画图四步法”，并通过分层作业兼顾不同学生。 板书设计 4.3 用一元一次方程解决问题（第2课时）——画线形示意图分析数量关系 一、画图四步法：①画基准线 ②按和差倍分分段 ③标已知、未知 ④从和/差找等量 二、例1 销售：售价−进价=利润 1.5x×0.8−x=96 → x=480 三、例2 追及：后队路程=先走路程+后走路程 6x=4+4x → x=2 四、变式 相遇：甲路程+乙路程=总路程 5x+4x=36 → x=4 数学思想：数形结合　方程模型　分类讨论 教学反思 1. 学生对“画线段图找等量”兴趣较高，但初次画图时常出现“线段长短与数量大小不匹配”“漏标已知量”的问题，需在示范时放慢节奏，强调先画基准量。 2. 行程问题中“追及找差、相遇找和”部分学生仍混淆，后续可借助课件动态演示两人运动过程，强化直观。 3. B组第4题“两车相距30 km”有两解，课堂时间略显紧张，可安排为下节课的辨析专题，让学生充分讨论“相遇前、相遇后”两种情形。 学科网（北京）股份有限公司 $