3.3 幂函数 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第8节 幂函数（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 幂函数的概念与解析式特征；② 常见幂函数 y = x、y = 、y = 、y = 、y = 的图象与性质；③ 幂函数的定义域与值域；④ 幂函数的单调性与奇偶性；⑤ 幂函数与指数函数的对比辨析。 一、单项选择题 1. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. y = B. y = − 1 C. y = D. y = − 1 【答案】 C 【解析】 幂函数的形式是 y = （α 为常数），系数必须为 1，且只能是单项式形式。 A 的系数为 5，不是幂函数； B 含常数项 −1，不是幂函数； C 是 y = ，符合幂函数的形式； D 中被开方数与减去的常数使其不是 的形式，不是幂函数。 故选 C。 2. 幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (4, )，则 f(x) =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设 f(x) = ，把点 (4, ) 代入得 = 。 又 4 = ，故 = ，所以 2α = −1，α = −。 故 f(x) = 。注意 f(x) = 的定义域是 (0, +∞)，与 不同，两者不能混同。 3. 函数 y = 的图象大致是（ ） A. 关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 R 上单调递增 C. 关于原点对称，在 (0, +∞) 上递增 D. 关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上递减 【答案】 A 【解析】 f(x) = 的定义域为 R。对任意 x ∈ R，f(−x) = = = = f(x)，是偶函数，图象关于 y 轴对称。 又 α = > 0，幂函数在 (0, +∞) 上单调递增。 特别地，当 x < 0 时 f(x) = ，随 x 的增大而减小，所以 f(x) 在 (−∞, 0) 上单调递减，并非在 R 上单调递增，B 错。 4. 下列幂函数中，在 (0, +∞) 上单调递减的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 幂函数 y = （α ∈ R）当 α > 0 时在 (0, +∞) 上单调递增，当 α < 0 时在 (0, +∞) 上单调递减。 A 中 α = 3 > 0，递增； B 中 α = > 0，递增； C 中 α = −5 < 0，递减，符合； D 中 f(x) = = 1 是常函数，在 (0, +∞) 上既不递增也不递减。 故选 C。 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < b < a C. b < c < a D. a < c < b 【答案】 A 【解析】 函数 y = 是幂函数，指数 − < 0，故在 (0, +∞) 上单调递减。 因为 3 < 4 < 5，所以 > > ，即 c > b > a。 故 a < b < c。 6. 幂函数 f(x) = ( − 3m + 1) 是偶函数，则 m =（ ） A. 0 B. C. 0 或 D. 3 【答案】 A 【解析】 由幂函数定义，系数 − 3m + 1 = 1，即 − 3m = 0，解得 m = 0 或 m = 。 当 m = 0 时，指数 α = 0 − 0 − 2 = −2，f(x) = = ，是偶函数，符合； 当 m = 时，指数 α = − − 2 = −，f(x) = 的定义域是 (0, +∞)，定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数，不符合。 故选 A。 7. 幂函数 f(x) = （a ∈ R）的图象关于 y 轴对称，且 f(3) = 9，则 f(x) 的图象还经过点（ ） A. (−3, −9) B. (−3, 9) C. (3, −9) D. (0, 0) 【答案】 B 【解析】 由 f(3) = = 9 = ，得 a = 2。 此时 f(x) = ，是偶函数，图象关于 y 轴对称，且定义域为 R，所以 (0, 0) 在图象上，D 错。 由 f(−3) = 9 = f(3) 知 (−3, 9) 在图象上；而 (−3, −9)、(3, −9) 均不在图象上。 8. 下列关于幂函数的说法正确的是（ ） A. 幂函数 y = 的图象关于原点对称 B. 幂函数 y = 在 R 上单调递增 C. 幂函数 y = 的图象关于 y 轴对称 D. 幂函数 y = 的图象关于原点对称 【答案】 D 【解析】 A 中 f(x) = = 1 是常函数，图象是直线 y = 1，不过原点，A 错； B 中 f(x) = 在 (−∞, 0) 上单调递减、在 (0, +∞) 上单调递增，在 R 上不单调，B 错； C 中 f(x) = = 的图象关于原点对称，C 错； D 中 f(−x) = = − = −f(x)，是奇函数，图象关于原点对称，D 对。 二、多项选择题 9. 下列关于幂函数 y = （α ∈ R）的说法，正确的是（ ） A. 图象一定经过点 (1, 1) B. 当 α = 0 时，图象不过原点 C. 当 α 为正偶数时，图象关于 y 轴对称 D. 当 α < 0 时，图象关于 y 轴对称 【答案】 ABC 【解析】 A 正确：任取 α ∈ R，当 x = 1 时 y = = 1，故图象都过点 (1, 1)； B 正确：α = 0 时 f(x) = 1，图象是直线 y = 1，不经过原点； C 正确：α 为正偶数时 f(x) = ，f(−x) = f(x)，是偶函数，图象关于 y 轴对称； D 错误：α = −1 时 f(x) = 是奇函数，图象关于原点对称；α = −2 时才是偶函数。 故选 ABC。 10. 已知幂函数 f(x) = ( − 3m + 1)（m ∈ R）在 (0, +∞) 上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. m 的值为 0 或 B. f(x) = 或 C. f(x) 在 R 上单调递减 D. f(x) 是奇函数 【答案】 AB 【解析】 由幂函数定义，系数 − 3m + 1 = 1，解得 m = 0 或 m = ，A 正确。 当 m = 0 时，指数 α = −2，f(x) = ；当 m = 时，指数 α = − − 2 = −，f(x) = ，B 正确。 两个指数都小于 0，故 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减，符合题设。 C 错误：m = 0 时 f(x) = 的定义域不是 R；m = 时定义域为 (0, +∞)，都不是 R，且 在 (−∞, 0) 上递增； D 错误： 是偶函数； 的定义域不关于原点对称，谈不上奇函数。 故选 AB。 11. 某学习小组探究幂函数 y = 的图象，得到下列结论，其中正确的是（ ） A. 不论 α 取何值，图象都经过原点 B. 若 α 为整数，则图象一定关于原点对称 C. 若 α < 0，则图象上的点都位于第一、二象限内 D. 若 α > 0，则图象上的点都位于第一、三象限内 【答案】 BC 【解析】 A 错误：α = 0 时图象是直线 y = 1，α < 0 时 x = 0 处无定义，都不过原点； B 错误：α = 2 时 f(x) = 是偶函数，图象关于 y 轴对称，不关于原点对称； C 正确：α < 0 时 x ≠ 0 且对任意 x ≠ 0 都有 > 0（如 α = −1 时 y = ，如 α = −2 时 y = ），故图象只出现在第一、二象限内； D 错误：α = 2 时图象还经过第二、四象限（点 (−1, 1)），不限于第一、三象限。 故选 BC。 三、填空题 12. 幂函数 f(x) = 的图象经过点 (9, 3)，则 f() = ________。 【答案】 【解析】 由 = 3，即 = ，得 2α = 1，α = 。 所以 f(x) = = ，f() = = 。 13. 比较大小： ________ （填 >、< 或 =）。 【答案】 < 【解析】 函数 y = = 是幂函数，指数 > 0，故在 (0, +∞) 上单调递增。 因为 3 < 5，所以 < ，即 < 。 14. 若 f(x) = （m ∈ Z）既是偶函数，又在 (0, +∞) 上单调递减，则 m = ________。 【答案】 −2 或 −4 【解析】 f(x) 是偶函数，说明指数 m 为偶数； f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减，说明 m < 0； 又 m ∈ Z，故 m 为负偶数，即 m = −2 或 m = −4（此时 f(x) = 或 ）。 四、解答题 15. 已知幂函数 f(x) = ( − 4a + 4)（a ∈ R）在 (0, +∞) 上单调递减。 （1）求 a 的值，并写出 f(x) 的解析式； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并写出 f(x) 在 (−∞, 0) 上的取值范围； （3）解不等式 f(x) > 。 【答案】 解：（1）a = 1，f(x) = = ；（2）是偶函数，在 (−∞, 0) 上的取值范围为 (0, +∞)；（3）x ∈ (−2, 0) ∪ (0, 2) 【解析】 （1）由幂函数定义，系数 − 4a + 4 = 1，即 = 1，解得 a = 1 或 a = 3。 当 a = 1 时，指数 α = 1 − 2 − 3 = −4 < 0，f(x) = 在 (0, +∞) 上单调递减，符合； 当 a = 3 时，指数 α = 9 − 6 − 3 = 0，f(x) = 1 是常函数，在 (0, +∞) 上不单调，舍去。 故 a = 1，f(x) = = 。 （2）f(x) = ，对任意 x ∈ R，f(−x) = = = f(x)，是偶函数。 当 x < 0 时，f(x) = 恒为正数；当 x 从 −∞ 靠近 0 时， 变小，f(x) 无限增大，故 f(x) 在 (−∞, 0) 上的取值范围是 (0, +∞)。 （3） > ，即 < 16。 当 x ≠ 0 时，两边同乘 16 得 < 256，等价于 |x| < 2。 所以 x ∈ (−2, 0) ∪ (0, 2)。 16. 已知幂函数 f(x) = ，g(x) = 。 （1）求 f(x) · g(x) 的值，并求 f(x) + g(x) 的最小值； （2）判断 f(x) − g(x) 的奇偶性，并判断它在 (0, +∞) 上的单调性； （3）解方程 f(x) − g(x) = 。 【答案】 解：（1）f(x) · g(x) = 1，f(x) + g(x) 的最小值为 2；（2）不是奇函数也不是偶函数，在 (0, +∞) 上单调递增；（3）x = 4 【解析】 （1）f(x) · g(x) = · = = 1（x > 0）。 又 f(x) + g(x) = + 。令 t = > 0，则 t + = + ≥ 2，当且仅当 t = 1 即 x = 1 时取等。 所以 f(x) + g(x) 的最小值为 2。 （2）f(x) − g(x) 的定义域是 (0, +∞)，不关于原点对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数。 设 0 < < ，则 < ，且 > ，故 − > − 。 所以 h(x) = − 在 (0, +∞) 上单调递增。 （3）方程即 − = 。令 t = > 0，则 t − = ，即 − 3t − 2 = 0，解得 t = 2 或 t = −（舍去）。 故 = 2，x = 4。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第8节 幂函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 幂函数的概念与解析式特征；② 常见幂函数 y = x、y = 、y = 、y = 、y = 的图象与性质；③ 幂函数的定义域与值域；④ 幂函数的单调性与奇偶性；⑤ 幂函数与指数函数的对比辨析。 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. y = B. y = − 1 C. y = D. y = − 1 2. 幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (4, )，则 f(x) =（ ） A. B. C. D. 3. 函数 y = 的图象大致是（ ） A. 关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 R 上单调递增 C. 关于原点对称，在 (0, +∞) 上递增 D. 关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上递减 4. 下列幂函数中，在 (0, +∞) 上单调递减的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < b < a C. b < c < a D. a < c < b 6. 幂函数 f(x) = ( − 3m + 1) 是偶函数，则 m =（ ） A. 0 B. C. 0 或 D. 3 7. 幂函数 f(x) = （a ∈ R）的图象关于 y 轴对称，且 f(3) = 9，则 f(x) 的图象还经过点（ ） A. (−3, −9) B. (−3, 9) C. (3, −9) D. (0, 0) 8. 下列关于幂函数的说法正确的是（ ） A. 幂函数 y = 的图象关于原点对称 B. 幂函数 y = 在 R 上单调递增 C. 幂函数 y = 的图象关于 y 轴对称 D. 幂函数 y = 的图象关于原点对称 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列关于幂函数 y = （α ∈ R）的说法，正确的是（ ） A. 图象一定经过点 (1, 1) B. 当 α = 0 时，图象不过原点 C. 当 α 为正偶数时，图象关于 y 轴对称 D. 当 α < 0 时，图象关于 y 轴对称 10. 已知幂函数 f(x) = ( − 3m + 1)（m ∈ R）在 (0, +∞) 上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. m 的值为 0 或 B. f(x) = 或 C. f(x) 在 R 上单调递减 D. f(x) 是奇函数 11. 某学习小组探究幂函数 y = 的图象，得到下列结论，其中正确的是（ ） A. 不论 α 取何值，图象都经过原点 B. 若 α 为整数，则图象一定关于原点对称 C. 若 α < 0，则图象上的点都位于第一、二象限内 D. 若 α > 0，则图象上的点都位于第一、三象限内 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 幂函数 f(x) = 的图象经过点 (9, 3)，则 f() = ________。 13. 比较大小： ________ （填 >、< 或 =）。 14. 若 f(x) = （m ∈ Z）既是偶函数，又在 (0, +∞) 上单调递减，则 m = ________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知幂函数 f(x) = ( − 4a + 4)（a ∈ R）在 (0, +∞) 上单调递减。 （1）求 a 的值，并写出 f(x) 的解析式； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并写出 f(x) 在 (−∞, 0) 上的取值范围； （3）解不等式 f(x) > 。 16. 已知幂函数 f(x) = ，g(x) = 。 （1）求 f(x) · g(x) 的值，并求 f(x) + g(x) 的最小值； （2）判断 f(x) − g(x) 的奇偶性，并判断它在 (0, +∞) 上的单调性； （3）解方程 f(x) − g(x) = 。 学科网（北京）股份有限公司 $