第5节 函数的概念及其表示同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第5节 函数的概念及其表示（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 函数的概念（定义域、对应关系、值域）；② 函数的三要素与判定同一函数的方法；③ 函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）；④ 分段函数的概念、求值与其图象；⑤ 映射的概念与函数的本质区别。 一、单项选择题 1. 下列集合 A 到集合 B 的对应关系中，能构成函数的是（ ） A. A = ，B = ，对应法则 f：x 对应到 B. A = ，B = ，对应法则 f：x 对应到 C. A = R，B = R，对应法则 f：x 对应到 D. A = Z，B = ，对应法则 f：x 对应到 【答案】 B 【解析】 构成函数要求 A 中每个元素在 B 中都有唯一确定的像。A 中 2 的像 4 不在 B 中，不构成函数；B 中 0 的像为 0，1 的像为 1，2 的像为 4，每个元素的像都在 B 中且唯一，构成函数；C 中 0 没有像，不构成函数；D 中 −2 的像 4 不在 B 中，不构成函数。故选 B。 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. f(x) = ，g(x) = x B. f(x) = x 与 g(x) = C. f(x) = x，g(t) = t D. f(x) = ，g(x) = 1 【答案】 C 【解析】 同一函数要求定义域与对应法则都相同。A 中 f(x) 的定义域为 x ≠ 0，g(x) 的定义域为 R，定义域不同；B 中 g(x) 的定义域为 [0, +∞)，f(x) 的定义域为 R，定义域不同；C 中两个函数只是表示自变量的字母不同，定义域都是 R，对应法则也相同，是同一函数；D 中 f(x) 的定义域为 x ≠ 0，g(x) 的定义域为 R，定义域不同。故选 C。 3. 函数 f(x) = + 的定义域为（ ） A. (0, 2] B. [0, 2] C. (0, 2) D. [0, 2) 【答案】 A 【解析】 需同时满足： 在分母位置，故 x ≥ 0 且 x ≠ 0，即 x > 0；被开方数 2 − x ≥ 0，即 x ≤ 2。取交集得 0 < x ≤ 2，即定义域为 (0, 2]。故选 A。 4. 已知 f(x − 1) = + 4x，则 f(x) =（ ） A. + 6x + 5 B. + 4x + 5 C. + 6x − 5 D. + 2x + 5 【答案】 A 【解析】 令 t = x − 1，则 x = t + 1，代入得 f(t) = + 4(t + 1) = + 2t + 1 + 4t + 4 = + 6t + 5。故 f(x) = + 6x + 5，选 A。 5. 已知 f( + 1) = x + 2 + 3，则 f(x) =（ ） A. − 1 B. + 2 C. + 2x + 3 D. + 1 【答案】 B 【解析】 令 t = + 1，则 = t − 1，x = 。代入得 f(t) = + 2(t − 1) + 3 = − 2t + 1 + 2t − 2 + 3 = + 2。故 f(x) = + 2，选 B。 6. 已知函数 f(x) = ，则 f(f(−2)) =（ ） A. −1 B. 1 C. 5 D. 2 【答案】 B 【解析】 先算内层：−2 < 0，f(−2) = 2 × (−2) + 3 = −1；再算外层：−1 < 0，f(−1) = 2 × (−1) + 3 = 1。故 f(f(−2)) = 1，选 B。 7. 已知函数 f(x) = ，若 f(a) = 4，则 a =（ ） A. 2 或 −2 B. −2 C. 2 D. 4 【答案】 C 【解析】 当 a < 1 时，f(a) = a + 2 = 4，得 a = 2，不满足 a < 1，舍去；当 a ≥ 1 时，f(a) = = 4，得 a = 2 或 a = −2，其中 a = 2 满足 a ≥ 1，a = −2 不满足，舍去。故 a = 2，选 C。 8. 某租车公司收费标准：日租金 200 元，另按行驶里程每千米 2 元计费。某人租车一天行驶 x 千米（0 < x ≤ 300），则应付费用 y（元）与 x 的函数关系式为（ ） A. y = 2x B. y = 200x + 2 C. y = 202x D. y = 200 + 2x（0 < x ≤ 300） 【答案】 D 【解析】 费用由两部分组成：固定的日租金 200 元，加上里程费 2x 元，故 y = 200 + 2x；由题意自变量取值范围为 0 < x ≤ 300。故选 D。 二、多项选择题 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. f(x) = |x|，g(x) = B. f(x) = ，g(x) = C. f(x) = ，g(t) = D. f(x) = x − 1，g(x) = 【答案】 AC 【解析】 A 中 g(x) = = |x|，与 f(x) = |x| 的定义域（都是 R）和对应法则都相同，是同一函数；B 中 g(x) = 的定义域为 [0, +∞)，f(x) 的定义域为 R，定义域不同；C 中两个函数只是自变量的字母不同，定义域与对应法则都相同，是同一函数；D 中 g(x) 的定义域为 x ≠ −1，f(x) 的定义域为 R，定义域不同。故选 AC。 10. 下列函数中，值域为 [0, +∞) 的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = |x| 【答案】 ABD 【解析】 A 中 ≥ 0，且任意非负实数都能取到，值域为 [0, +∞)；B 中 x ≥ 0 时 ≥ 0，且任意非负实数都能取到，值域为 [0, +∞)；C 中 的值域为 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)，取不到 0；D 中 |x| ≥ 0，且任意非负实数都能取到，值域为 [0, +∞)。故选 ABD。 11. 已知二次函数 f(x) = + b（a ≠ 0）满足 f(1) = 3，f(2) = 6，则下列结论正确的是（ ） A. a = 1 B. b = 2 C. f(3) = 12 D. 不等式 f(x) > 2 的解集为 【答案】 ABD 【解析】 由 f(1) = a + b = 3，f(2) = 4a + b = 6，两式相减得 3a = 3，a = 1，b = 2，故 f(x) = + 2。f(3) = 9 + 2 = 11，C 错；f(x) > 2 即 + 2 > 2，即 > 0，解集为 ，D 对。故选 ABD。 三、填空题 12. 函数 f(x) = + 的定义域为________。 【答案】 (−∞, −1) ∪ (−1, 1] 【解析】 需同时满足：分母 x + 1 ≠ 0，即 x ≠ −1；被开方数 1 − x ≥ 0，即 x ≤ 1。取交集得定义域为 (−∞, −1) ∪ (−1, 1]。 13. 已知 f(x + ) = + ，则 f(3) =________。 【答案】 7 【解析】 注意到 + = − 2，故 f(x) = − 2。所以 f(3) = 9 − 2 = 7。 14. 已知函数 f(x) = ，若 f(f(0)) = 5，则 a =________。 【答案】 【解析】 f(0) = 2 × 0 + a = a。若 a < 1，则 f(a) = 2a + a = 3a = 5，得 a = ，不满足 a < 1，舍去；若 a ≥ 1，则 f(a) = = 5，得 a = ±，其中 a = 满足 a ≥ 1，a = − 不满足，舍去。故 a = 。 四、解答题 15. 已知 f(x) 是二次函数，且满足 f(0) = 1，f(x + 1) − f(x) = 2x + 5。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）求 f(f(−1)) 的值。 【答案】 解：（1）f(x) = + 4x + 1；（2）−3 【解析】 （1）设 f(x) = + bx + c（a ≠ 0）。由 f(0) = 1 得 c = 1。f(x + 1) − f(x) = a[ − ] + b = 2ax + a + b，由题意 2ax + a + b = 2x + 5，比较系数得 2a = 2，故 a = 1，a + b = 5，故 b = 4。所以 f(x) = + 4x + 1。 （2）f(−1) = 1 − 4 + 1 = −2，f(f(−1)) = f(−2) = 4 − 8 + 1 = −3。 16. 为鼓励节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 12 的部分，水价为 3 元/；超过 12 的部分，水价为 4 元/。 （1）写出某户月水费 y（元）关于月用水量 x（）的函数解析式； （2）若某户某月用水 16 ，求该户该月的水费； （3）若某户某月水费为 60 元，求该户该月的用水量。 【答案】 解：（1）y = 3x（0 ≤ x ≤ 12），y = 4x − 12（x > 12）；（2）52 元；（3）18 【解析】 （1）当 0 ≤ x ≤ 12 时，y = 3x；当 x > 12 时，前 12 的水费为 3 × 12 = 36 元，超过部分为 4(x − 12) 元，故 y = 36 + 4(x − 12) = 4x − 12。 （2）16 > 12，代入第二段：y = 4 × 16 − 12 = 52，故该月水费 52 元。 （3）若 0 ≤ x ≤ 12，水费最多为 3 × 12 = 36 元 < 60 元，故 x > 12。由 4x − 12 = 60，得 x = 18，即该户该月用水 18 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第5节 函数的概念及其表示 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 函数的概念（定义域、对应关系、值域）；② 函数的三要素与判定同一函数的方法；③ 函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）；④ 分段函数的概念、求值与其图象；⑤ 映射的概念与函数的本质区别。 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列集合 A 到集合 B 的对应关系中，能构成函数的是（ ） A. A = ，B = ，对应法则 f：x 对应到 B. A = ，B = ，对应法则 f：x 对应到 C. A = R，B = R，对应法则 f：x 对应到 D. A = Z，B = ，对应法则 f：x 对应到 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. f(x) = ，g(x) = x B. f(x) = x 与 g(x) = C. f(x) = x，g(t) = t D. f(x) = ，g(x) = 1 3. 函数 f(x) = + 的定义域为（ ） A. (0, 2] B. [0, 2] C. (0, 2) D. [0, 2) 4. 已知 f(x − 1) = + 4x，则 f(x) =（ ） A. + 6x + 5 B. + 4x + 5 C. + 6x − 5 D. + 2x + 5 5. 已知 f( + 1) = x + 2 + 3，则 f(x) =（ ） A. − 1 B. + 2 C. + 2x + 3 D. + 1 6. 已知函数 f(x) = ，则 f(f(−2)) =（ ） A. −1 B. 1 C. 5 D. 2 7. 已知函数 f(x) = ，若 f(a) = 4，则 a =（ ） A. 2 或 −2 B. −2 C. 2 D. 4 8. 某租车公司收费标准：日租金 200 元，另按行驶里程每千米 2 元计费。某人租车一天行驶 x 千米（0 < x ≤ 300），则应付费用 y（元）与 x 的函数关系式为（ ） A. y = 2x B. y = 200x + 2 C. y = 202x D. y = 200 + 2x（0 < x ≤ 300） 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. f(x) = |x|，g(x) = B. f(x) = ，g(x) = C. f(x) = ，g(t) = D. f(x) = x − 1，g(x) = 10. 下列函数中，值域为 [0, +∞) 的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = |x| 11. 已知二次函数 f(x) = + b（a ≠ 0）满足 f(1) = 3，f(2) = 6，则下列结论正确的是（ ） A. a = 1 B. b = 2 C. f(3) = 12 D. 不等式 f(x) > 2 的解集为 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 f(x) = + 的定义域为________。 13. 已知 f(x + ) = + ，则 f(3) =________。 14. 已知函数 f(x) = ，若 f(f(0)) = 5，则 a =________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 f(x) 是二次函数，且满足 f(0) = 1，f(x + 1) − f(x) = 2x + 5。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）求 f(f(−1)) 的值。 16. 为鼓励节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 12 的部分，水价为 3 元/；超过 12 的部分，水价为 4 元/。 （1）写出某户月水费 y（元）关于月用水量 x（）的函数解析式； （2）若某户某月用水 16 ，求该户该月的水费； （3）若某户某月水费为 60 元，求该户该月的用水量。 学科网（北京）股份有限公司 $