第27章反比例函数单元检测卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版2026-2027学年九年级数学上学期 第27章反比例函数单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 评卷人 得分 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 2．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 3．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 4．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 5．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 6．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（     ） A．9 B．12 C．16 D． 8．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 12．如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________． 14．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 15．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 17．家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻R（单位：）随温度T（单位：在一定范围内变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．家用电灭蚊器在使用过程中，若发热材料的电阻不超过，则T的取值范围是_________． 18．已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求k的值； (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集； 20．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)当时，求y的值； (3)当时，求y的取值范围． 21．已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 23．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 26．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C C B D D C C 题号 11 12 答案 C C 1．A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 2．A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 3．B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 4．C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 5．C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 6．B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 7．D 【分析】过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是矩形， ，，， ， 又四边形是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为， . 8．D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 9．C 【分析】设反比例函数解析式为，根据得出反比例函数解析式，从而求解点坐标，最终求得底部直径的长为倍的点横坐标． 【详解】解：根据题意可知，设反比例函数解析式为， 将代入，可得， 反比例函数解析式为． ， 当时，， ． 故答案为：C． 10．C 【分析】利用可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，由等边对等角推出，则可证明，据此可证明四边形是平行四边形，则可判断③；由平行四边形的性质得到，即轴；延长交y轴于点E，证明四边形是矩形，推出；根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则可得到，据此可判断④；根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误． 【详解】解：∵轴，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∴，即轴； 如图所示，延长交y轴于点E， 则轴，即， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴，即，故④错误； 根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误； 综上所述，正确的有①③，共2个． 11．C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 12．C 【分析】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【详解】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 13． 【分析】根据“自反点”的定义求出点的纵坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：∵ 是“自反点”，“自反点”的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴ ，即点的坐标为， ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得． 14．6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 15． 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 16． 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 17． 【分析】根据图象特征，分和两段求出与的函数关系式，再分别令，求出的值，根据函数图象求解的取值范围，最后合并结果． 【详解】解：当时，设与的函数关系式为 ， ∵图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，， 当时， ∵温度每上升，电阻增加， ∴； 若发热材料的电阻不超过，即， 当时，令，解得， ∴根据图象可得； 当时，令，解得， ∴根据图象可得， 综上所述，的取值范围是． 18．且 【分析】将已知两式相减，结合得到，代入反比例函数解析式得到一元二次方程，根据方程有两个不相等实根结合反比例函数定义求的范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上，且存在两个不同的关联点， ∴，整理得， 该方程需有两个不相等的实数根，且反比例函数要求， ∴，且， 计算得，解得， 综上，的取值范围是且． 19．(1) (2)或 【分析】（1）把点坐标代入求出k的值即可； （2）利用函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由可知，反比例函数图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为或． 20．(1) (2) (3)的取值范围是或 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）将代入已确定的反比例函数解析式，即可求解； （3）根据反比例函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴k的值为7． （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴当时，y的值为． （3）解：当时，，当时，，且反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，反比例函数的图象在第三象限， ∴， 当时，反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴当时，y的取值范围是或． 21．(1)； (2)． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设， ∵当时， ∴， 解得． ； （2）解：当时，． 22．(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 23．(1) (2)小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 24．(1)， (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得出，再根据中点坐标公式得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标之积等于，得到方程，解方程即可解答； （2）先得出，，再利用待定系数法即可解答； （3）先设，，再得出，进一步得出，最后利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：，，且垂直于轴， ． 是的中点， ． 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为． （3）解：如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ． 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ． 26．(1)②③ (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，即可建立方程求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； （2）解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ②联立 消去y得，， ，， ， ∵有两个交点A，B， ∴，即， 又∵B在A的右侧，则， ， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则， ， ； 所以， ， 经检验是原方程的解， ∴m的值为3； （3）解：存在， ∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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