精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学等校2026-2027学年度秋季学期9月随堂练习（一）八年级数学

2026-2027学年度秋季学期九月随堂练习（一） 八年级 数学 （全卷满分120分，时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年9月16日平陆运河正式通航，平陆运河是新中国成立以来建设的第一条通江达海的运河工程，该项目总投资约元．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列每组数据分别是三根小棒的长度，其中不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　） A. B. C. D. 8. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 9. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 7 D. 6 11. 如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 14. 要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 15. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 16. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程组： 18. 已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的， （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，请写出所有点的坐标（点与点不重合）． 20. 如图，已知中，是的高． （1）尺规作图：求作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的度数． 21. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成确定组合图形匀质薄板重心位置的任务．素材：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点处．通过实验操作，得出结论：若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． （1）如图1，用一根细绳从三角形匀质薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．若，则 ； （2）如图2，“”形匀质薄板是由两个矩形组合而成，其中，，，，以点为原点，以所在直线为轴（向右为正方向），所在直线为轴（向上为正方向），取1个单位长度代表长度1，建立平面直角坐标系： ①请直接写出分成的这两个矩形的重心坐标； ②求此“”形匀质薄板的重心坐标． 23. 如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； （3）在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度秋季学期九月随堂练习（一） 八年级 数学 （全卷满分120分，时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 2. 2026年9月16日平陆运河正式通航，平陆运河是新中国成立以来建设的第一条通江达海的运河工程，该项目总投资约元．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，将原数字化为这种形式对比选项即可． 【详解】解：根据科学记数法的定义，， 故C选项符合题意． 3. 在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，，， ∴． 4. 下列每组数据分别是三根小棒的长度，其中不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】只需验证每组较短两边之和是否大于最长边，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵，∴，，不能摆成三角形，符合题意． B、∵，∴，，能摆成三角形，不符合题意． C、∵，∴，，能摆成三角形，不符合题意． D、∵，∴，，能摆成三角形，不符合题意． 5. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 6. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 7. 如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 8. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 9. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 11. 如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键． 12. 如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和以及角平分线定义得，继而得出的度数，即可判断A项；推出，根据证明即可，即可判断B项；证明，得，，根据外角的性质即可判断C项；通过等量代换可判断D项． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，AB=FB，PA=PF， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故C错误，符合题意； 又∵， ∴，， 即，故D正确，不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 14. 要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：钉上一根木条把四边形分成两个三角形，此做法的依据是三角形的稳定性． 15. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，分别过点与点作、垂直于地面，与地面的交点为点、， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与地面垂直，即， ， 爸爸与妈妈站立时与地面垂直，即， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，， 又∵妈妈在距地面高的处接住小丽，即， ∴， ∴， ∴， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 16. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得，，根据三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，利用角的和差得出，则有，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方和小括号里的加法，再算除法，即可求解； （2）利用加减消元法，即可求解方程组的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得， 解得， 将代入①中，得， ∴， ∴原方程组的解为． 18. 已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的， （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，请写出所有点的坐标（点与点不重合）． 【答案】（1） （2） （3），，． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标关于轴对称变横坐标，即可求出点坐标． （2）根据点的坐标关于轴对称变纵坐标，求出的坐标，然后描点连线即可画出． （3）根据三角形全等，对应的点和对应的线段不一样，分情况讨论即可求出所有点坐标． 【小问1详解】 解：点与点关于轴对称，点的坐标为， ． 【小问2详解】 解：，，， ，，， 描点，连线，如图所示， 【小问3详解】 解：， ①时，， 两个点不重合， 在下方，且和关于对称， 如图所示，． ②时，，且点在下方时， 如图所示，． ③时，，且点在上方时， 如图所示，． 20. 如图，已知中，是的高． （1）尺规作图：求作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图解答即可． （2）根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，图略； 【小问2详解】 解：是的高 ， ， 平分， ， ，设， ， ， ， 解得： ，， 答：的度数为． 21. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】 （1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成确定组合图形匀质薄板重心位置的任务．素材：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点处．通过实验操作，得出结论：若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． （1）如图1，用一根细绳从三角形匀质薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．若，则 ； （2）如图2，“”形匀质薄板是由两个矩形组合而成，其中，，，，以点为原点，以所在直线为轴（向右为正方向），所在直线为轴（向上为正方向），取1个单位长度代表长度1，建立平面直角坐标系： ①请直接写出分成的这两个矩形的重心坐标； ②求此“”形匀质薄板的重心坐标． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分性质求解即可； （2）①先根据题意得出，，，，，，然后根据中点坐标公式求出，； ②根据素材中的公式求解即可． 【小问1详解】 解：用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平． ∴都是的中线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①解：设与交于点G，连接，，，，则与交于点，与交于点，如图所示： 根据题意可得：四边形是矩形，，，，， ∴，，，，，，为中点，为中点， ∴，即，，即， ②∵，， ∴，， ∴“”形的重心坐标为． 23. 如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； （3）在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】（1）， 理由：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）①；②或 （3）存在值，当或秒时，与全等 【解析】 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明，即可得结论； （2）①根据速度、时间、路程的关系可得；②根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为10时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，点的运动时间为，点的运动路程为：； ②如图1，由（1）知，， ， 当点在线段上时， ， ， 解得； 当点在射线上时， ， ， 解得； 综上所述，当或秒时，； 【小问3详解】 解：存在； 由（1）知，， ， ， 即， ①如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， ②如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $