26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 26.2.1 二次函数$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)=ax^2}$的图象和性质 专项练习（人教版九年级） ## 知识点梳理 ### 1. 图象形状 $\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$ 的图象是**抛物线**，对称轴是$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)}$轴（直线$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$），顶点是**原点$\((\(\boldsymbol{0}\),\(\boldsymbol{0}\))\)$**。 ### 2. 性质（$a eq\(\boldsymbol{0}\)$） - 当$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{a>\(\boldsymbol{0}\)}\)}$：抛物线开口**向上**；顶点是最低点。 - $\(x>\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而**增大**； - $\(x<\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而**减小**； - 最小值：当$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)_{\text{最小}}=\(\boldsymbol{0}\)$。 - 当$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{a<\(\boldsymbol{0}\)}\)}$：抛物线开口**向下**；顶点是最高点。 - $\(x>\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而**减小**； - $\(x<\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而**增大**； - 最大值：当$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)_{\text{最大}}=\(\boldsymbol{0}\)$。 ### 3. $|a|$的作用 $\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{|a|}$越大，抛物线开口**越小**；$|a|$越小，开口**越大**。 > 易错提醒 1. $\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$没有一次项、常数项，顶点一定在原点，对称轴是\(\boldsymbol{y}\)轴； 2. 增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统说“$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而增大/减小”； 3. 比较开口大小只看$|a|$，和$a$正负无关。 ## 一、选择题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 1. 抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=3x^2$的开口方向是（） A. 向上　B. 向下　C. 向左　D. 向右 2. 抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=-2x^2$的顶点坐标是（） A. $(\(\boldsymbol{0}\),-2)$　B. $\((\(\boldsymbol{0}\),\(\boldsymbol{0}\))\)$　C. $(-2,\(\boldsymbol{0}\))$　D. $\((2,\(\boldsymbol{0}\))\)$ 3. 下列抛物线，开口最大的是（） A. $\(\boldsymbol{y}\)=\dfrac12x^2$　B. $\(\boldsymbol{y}\)=x^2$ C. $\(\boldsymbol{y}\)=-3x^2$　D. $\(\boldsymbol{y}\)=-5x^2$ 4. 对于抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=-4x^2$，下列说法正确的是（） A. $\(x>\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而增大 B. $\(x<\(\boldsymbol{0}\)\)$时，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而增大 C. 有最小值，最小值是\(\boldsymbol{0}\) D. 图象关于直线$\(\(x=\)1\)$对称 5. 已知点$A(-2,\(\boldsymbol{y}\)_1)$，$B(1,\(\boldsymbol{y}\)_2)$在抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=2x^2$上，则（） A. $\(\boldsymbol{y}\)_1>\(\boldsymbol{y}\)_2$　B. $\(\boldsymbol{y}\)_1<\(\boldsymbol{y}\)_2$　C. $\(\boldsymbol{y}\)_1=\(\boldsymbol{y}\)_2$　D. 无法比较 ## 二、填空题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 6. 抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=-5x^2$，对称轴是________，开口方向________。 7. 若抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=(m-1)x^2$开口向上，则$m$的取值范围是________。 8. 在抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=4x^2$上，当$\(x=\)$____时，$\(\boldsymbol{y}\)$取得最小值____。 9. 已知点$\((2,n)\)$在$\(\boldsymbol{y}\)=-3x^2$上，则$\(n=\)$________。 1\(\boldsymbol{0}\). 抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$过点$(-1,2)$，则$\(a=\)$________。 ## 三、解答题（共6\(\boldsymbol{0}\)分） 11.（12分）在同一直角坐标系中画出$\(\boldsymbol{y}\)=2x^2$与$\(\boldsymbol{y}\)=-2x^2$的草图，写出两条抛物线的共同点与不同点。 12.（16分）已知抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$经过点$A(-3,18)$。 (1) 求$a$的值； (2) 判断点$\(B(2,8)\)$是否在这条抛物线上； (3) 写出抛物线的开口方向、顶点、对称轴。 13.（16分）已知抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=(k+2)x^{k^2}$是二次函数。 (1) 求$k$的值； (2) 当$k$取何值时，抛物线开口向下； (3) 写出对应的函数解析式与增减性。 14.（16分）已知$A(-1,\(\boldsymbol{y}\)_1)$，$B(2,\(\boldsymbol{y}\)_2)$，$C(-3,\(\boldsymbol{y}\)_3)$都在抛物线$\(\boldsymbol{y}\)=\dfrac14x^2$上，比较$\(\boldsymbol{y}\)_1,\(\boldsymbol{y}\)_2,\(\boldsymbol{y}\)_3$的大小。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. A 解析：$\(a=\)3>\(\boldsymbol{0}\)$，开口向上。 2. B 解析：$\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$顶点固定$\((\(\boldsymbol{0}\),\(\boldsymbol{0}\))\)$。 3. A 解析：$|a|$越小开口越大，$\left|\dfrac12\right|$最小。 4. B 解析：$\(a=\)-4<\(\boldsymbol{0}\)$，开口向下；$\(x<\(\boldsymbol{0}\)\)$，$\(\boldsymbol{y}\)$随$x$增大而增大；对称轴$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$，有最大值\(\boldsymbol{0}\)。 5. A 解析：$\(\boldsymbol{y}\)_1=2\times(-2)^2=8$，$\(\boldsymbol{y}\)_2=2\times1^2=2$，$\(\boldsymbol{y}\)_1>\(\boldsymbol{y}\)_2$。 ### 填空题 6. $\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)}$轴（直线$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$）；向下 7. $\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{m>1}\)}$ 8. $\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{0}\)}$；$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{0}\)}$ 9. $-12$ 解析：$\(n=\)-3\times 2^2=-12$ 1\(\boldsymbol{0}\). $2$ 解析：代入$(-1,2)$，$2=a\cdot(-1)^2\Rightarrow \(a=\)2$ ### 解答题 11. 共同点：顶点都是原点$\((\(\boldsymbol{0}\),\(\boldsymbol{0}\))\)$，对称轴都是$\(\boldsymbol{y}\)$轴。 不同点：$\(\boldsymbol{y}\)=2x^2$开口向上；$\(\boldsymbol{y}\)=-2x^2$开口向下；关于$x$轴对称。 12. (1) 将$(-3,18)$代入$\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$ $$18=a\cdot(-3)^2\Rightarrow 9\(a=\)18\Rightarrow \bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(a=\)2}$$ 解析式：$\(\boldsymbol{y}\)=2x^2$ (2) 当$\(x=\)2$，$\(\boldsymbol{y}\)=2\times 2^2=8$，所以**点B在抛物线上**。 (3) $\(a=\)2>\(\boldsymbol{0}\)$，开口向上；顶点$\((\(\boldsymbol{0}\),\(\boldsymbol{0}\))\)$；对称轴：$\(\boldsymbol{y}\)$轴（直线$\(\(x=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$）。 13. (1) 是二次函数： $$\begin{cases}k^2=2\\k+2 eq\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}\Rightarrow \bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{k=\sqrt2}\text{ 或 }k=-\sqrt2$$ (2) 开口向下，则$k+2<\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow k<-2$，所以**无解**。 > 换题优化：$\(\boldsymbol{y}\)=(k+2)x^{k^2-2}$ $$\begin{cases}k^2-2=2\\k+2 eq\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}\Rightarrow k^2=4,k eq-2\Rightarrow k=2$$ 开口向下：$k+2<\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow k=-2$舍去，无满足条件$k$。 14. 解：代入计算 $\(\boldsymbol{y}\)_1=\dfrac14\times(-1)^2=\dfrac14$ $\(\boldsymbol{y}\)_2=\dfrac14\times 2^2=1$ $\(\boldsymbol{y}\)_3=\dfrac14\times(-3)^2=\dfrac94$ $\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)_1<\(\boldsymbol{y}\)_2<\(\boldsymbol{y}\)_3}$ > 技巧：$\(\boldsymbol{y}\)=ax^2(\(\boldsymbol{a>\(\boldsymbol{0}\)}\))$，点离对称轴（\(\boldsymbol{y}\)轴）越远，函数值越大。 > 本节小结： $\(\boldsymbol{y}\)=ax^2$，顶点原点，对称轴\(\boldsymbol{y}\)轴；$a$定开口方向，$|a|$定开口宽窄；增减性分$\(x>\(\boldsymbol{0}\)\)$和$\(x<\(\boldsymbol{0}\)\)$两段描述。 下一课：**26.2.2 二次函数$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)=ax^2+k}$的图象和性质**，要继续写配套练习吗？也可以单独导出纯题目无答案打印版。 1 2 3 会用描点法画出二次函数 的图象；理解抛物线的有关概念； 掌握二次函数 的图象 和性质，并能运用性质解决简单问题； 通过观察、对比、归纳，探究二次函数 的图象和性质，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想. 素养目标 思考 上节课我们学习了二次函数的概念，根据二次函数的一般形式，你能否说出二次函数的解析式有几种吗？ ④ ③ ② 二次函数的解析式形式 想一想 我们学过哪些函数图象？ ① 一次函数的图象，其形状为一条直线 已学 作图步骤 列表、描点、连线 本节课我们解了一次函数图象的研究过程，研究二次函数 的图象和性质. 情境导入 3 探索新知 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 最简单的二次函数y=ax2 y=x2 画二次函数 y=x2 的图象. 1.列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2.描点. 3.连线. y =x2 用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸. y =x2 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线. 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点. y =x2 议一议：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最低点． y =x2 想一想：二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化? 从二次函数y=x2的图象可以看出： 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象. y =x2 ①列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· ②描点； ③连线. y=2x2 y =x2 y=2x2 思考：（1）函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 开口大小 思考：(2)当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ y =x2 y=2x2 ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. ⑥a越大，抛物线的开口越小. 1. 返回 二次函数y＝x2的图象大致是(　　) A 举一反三 12 返回 2. 抛物线y＝－2x2的开口(　　) A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 D 举一反三 返回 3. 抛物线y＝3x2的对称轴是(　　) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝0 D．直线y＝0 C 举一反三 返回 4. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，0) D．(0，－2) C 举一反三 探 究 回顾上面研究二次函数y=ax²(a>0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(а<0)的图象和性质吗? 在同一直角坐标系中画出函数y= -x2， y= -x2，y= -2x2的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点. ①列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· ②描点； ③连线. y =－x2 y=-2x2 y =－x2 y=-2x2 ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. ⑥a越小，抛物线的开口越小. y=ax2(a＜0)的特点： 变式题 巩固训练2 二次函数的增减性 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为______________. 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． ． 当堂检测 19 二次函数y=ax²的函数值的范围 已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 当堂检测 20 巩固训练3 变式题 若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 当堂检测 21 y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. [教材P35练习T1变式](1)在同一平面直角坐标系(如图)中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象． 返回 5. 解：如图所示． 举一反三 (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于______对称；同样地，抛物线y＝ x2与抛物线________的形状相同，也关于________对称． ②抛物线y＝2x2的开口比抛物线y＝ x2的开口________(填“大”或“小”)，抛物线y＝－2x2的开口比抛物线y＝－ x2的开口________(填“大”或“小”)． 返回 y＝－2x2 x轴 x轴 小 小 举一反三 ③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________． ④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________． 返回 相同 小 大 y＝3x2 举一反三 二次函数y＝－5x2的图象，在y轴右侧，y随x的增大而(　　) A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 返回 6. B 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1 B 举一反三 返回 8. 若点(1，y1)，(2，y2)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y1＞y2＞0 B．0＜y1＜y2 C．y1＞0＞y2 D．y1＜0＜y2 B 举一反三 课堂小结 二次函数y=ax2的 图象和性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 谢谢观看 THANKS y＝－x2 $