26.3.1二次函数与一元二次方程的联系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.3.1二次函数与一元二次方程的联系 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 26.3.1 二次函数与一元二次方程的联系 专项练习 ## 知识点梳理 ### 核心关系 二次函数 $\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$，当 $\boldsymbol{(\boldsymbol{(y=0)})}$ 时，得到一元二次方程： $$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$$ 方程的实数根，就是抛物线与**x轴交点的横坐标**。 ### 判别式 $\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$ 的三种情况 1. $\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等实数根** 抛物线与$x$轴有**2个交点** $(x_1,0),(x_2,0)$ 2. $\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等实数根** 抛物线与$x$轴**只有1个交点**（顶点在x轴上） 3. $\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根** 抛物线与$x$轴**无交点** > > 补充： - 抛物线与$x$轴交点坐标$((x,0))$；与$y$轴交点$((0,c))$ - 若抛物线与$x$轴交于$(x_1,0),(x_2,0)$，可写交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$ > > 易错提醒 1. $\Delta$只判断和$x$轴交点，和$y$轴交点永远存在$((0,c))$； 2. 二次函数图象在$x$轴上方 $\Leftrightarrow (y>0)$；图象在$x$轴下方 $\Leftrightarrow (y<0)$； 3. 只有$a≠0$，才能转化为一元二次方程。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴的交点个数是（） A. 0个　B. 1个　C. 2个　D. 3个 2. 抛物线$y=x^2-4x+4$与$x$轴交点坐标是（） A. $((2,0))$　B. $(-2,0)$ C. $((2,0)),(-2,0)$　D. $((0,2))$ 3. 抛物线$y=2x^2+3x+2$，则$\Delta$的值和交点个数为（） A. $\Delta>0$，2个交点 B. $\Delta=0$，1个交点 C. $\Delta<0$，无交点 D. $\Delta<0$，2个交点 4. 二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交于$(1,0),(-3,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$两根为（） A. $x_1=1,x_2=3$ B. $x_1=-1,x_2=3$ C. $x_1=1,x_2=-3$ D. $x_1=-1,x_2=-3$ 5. 抛物线$y=x^2-5x+6$，当$(y>0)$时，$x$取值范围是（） A. $(x>2)$ B. $(x<3)$ C. $(x<2)$或$(x>3)$ D. $2<(x<3)$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 抛物线$y=x^2-(\boldsymbol{9})$与$x$轴交点坐标为________。 7. 抛物线$y=x^2-6x+m$与$x$轴只有一个交点，则$(m=)$________。 8. 二次函数$y=x^2-3x-4$，方程$x^2-3x-4=0$的根是________。 (\boldsymbol{9}). 抛物线$y=-x^2+2x+3$，当$(\boldsymbol{(y=0)})$时，对应的一元二次方程是________________。 9. 若抛物线$y=x^2-2x+k$与$x$轴有两个交点，则$k$取值范围________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）判断抛物线$y=x^2-4x+3$与$x$轴交点个数。若有交点，求出交点坐标。 12.（16分）已知二次函数$y=x^2-2x-8$。 (1) 求抛物线与$x$轴交点； (2) 求方程$x^2-2x-8=0$的根； (3) 当$x$取何值时，$(y>0)$。 13.（16分）已知抛物线$y=x^2-2mx+m-2$。 (1) 求证：无论$m$取何值，抛物线总与$x$轴有两个交点； (2) 若抛物线过点$((3,0))$，求$m$的值。 14.（16分）已知二次函数$y=-x^2+3x+4$。 (1) 求抛物线与$x$轴交点； (2) 当$x$取何值时，$(y>0)$；当$x$取何值时，$(y<0)$。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0$，2个交点。 2. A 解析：$y=(x-2)^2$，顶点$((2,0))$，与x轴只有一个交点。 3. C 解析：$\Delta=3^2-4\times2\times2=(\boldsymbol{9})-16=-7<0$，无交点。 4. C 解析：交点横坐标就是方程的根。 5. C 解析：$y=(x-2)(x-3)$，开口向上，$(y>0)$在两根外侧。 ### 填空题 6. $\boldsymbol{((3,0)),(-3,0)}$ 7. $\boldsymbol{(\boldsymbol{9})}$，$\Delta=36-4(m=)0 \Rightarrow (m=)(\boldsymbol{9})$ 8. $\boldsymbol{x_1=4,x_2=-1}$ (\boldsymbol{9}). $\boldsymbol{-x^2+2x+3=0}$ 9. $\boldsymbol{(\boldsymbol{k<1})}$，$\Delta=4-4k>0\Rightarrow (\boldsymbol{k<1})$ ### 解答题 11. 解：$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4>0$，有2个交点。 解方程$x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$ $x_1=1,x_2=3$ 交点：$\boldsymbol{(1,0),((3,0))}$ 12. (1) 令$(\boldsymbol{(y=0)})$，$x^2-2x-8=0$，$(x-4)(x+2)=0$ 交点：$\boldsymbol{(4,0),(-2,0)}$ (2) 方程根：$\boldsymbol{x_1=4,x_2=-2}$ (3) 开口向上；$\boldsymbol{x<-2}$或$\boldsymbol{(\boldsymbol{x>4})}$时，$(y>0)$。 13. (1) 证明： $$ \begin{align*} \Delta &=(-2m)^2-4\times1\times(m-2)\ &=4m^2-4m+8\ &=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7 \end{align*} $$ $\left(m-\dfrac12\right)^2\ge0$，所以$\Delta=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7>0$恒成立， ∴无论$m$取何值，抛物线总与$x$轴有两个交点。 (2) 将$((3,0))$代入： $$ \begin{align*} 0&=(\boldsymbol{9})-6m+m-2\ 5-5m&=0\ \boldsymbol{(m=)1} \end{align*} $$ 14. (1) 令$(\boldsymbol{(y=0)})$，$-x^2+3x+4=0 \Rightarrow x^2-3x-4=0$ $(x-4)(x+1)=0$，根$x_1=4,x_2=-1$ 交点$\boldsymbol{(4,0),(-1,0)}$ (2) $a=-1<0$，开口向下 $\boldsymbol{-1<x<4}$时，$(y>0)$； $\boldsymbol{x<-1}$或$\boldsymbol{(\boldsymbol{x>4})}$时，$(y<0)$。 > > 本节小结 > $y=ax^2+bx+c$令$(\boldsymbol{(y=0)})$得到一元二次方程；判别式$\Delta$决定抛物线和$x$轴交点个数； > 交点横坐标就是方程的根；结合开口方向，可直接判断$(y>0),(y<0)$对应的$x$范围。 下一课：**26.3.2 二次函数的实际应用**，继续写配套练习吗？也可以只要纯题目无答案版本。 1 2 3 理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系.能根据二次函数图象判断一元二次方程根的情况，反之亦然. 会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。 初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法； 通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。 素养目标 1.二次函数 () 的图象是什么形状？ 2.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 回顾 对称轴 顶点坐标 开口方向 直线 时，开口向上 时，开口向下 增减性 以基础，左右两边的增减性相反 最值 时，， 有最小值 ； 时，， 有最大值 情境导入 3 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1. 探索新知 由此 ， 你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？ 先画出函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 x1=-2，x2=1. 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ x1=x2=4. 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根. (2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 归纳： 1. 返回 一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是_______________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________． x1＝2，x2＝－4 (2，0)，(－4，0) 举一反三 8 返回 2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(　　) A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 B 举一反三 返回 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是___________________； (2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是________________； (3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________； (4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________； x1＝－1，x2＝3 x1＝0，x2＝2 x1＝4，x2＝－2 x1＝x2＝1 举一反三 返回 (5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况怎样？ 解：方程无实数根． 举一反三 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 15 1 3 练习 关于例1，回答下列问题： 【教材P48 练习】 （2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？ 20.5 （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）． 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 返回 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个公共点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 B 举一反三 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 返回 5. B 举一反三 若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________． 返回 6. 举一反三 返回 7. 【新趋势 跨学科综合】一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：h＝vt－gt2(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t(s)是抛出后所经历的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为1.8 m时，求时间t的值； 举一反三 返回 解：把v＝10，g＝10代入h＝ 得，h＝－5t2＋10t， 当h＝1.8时，1.8＝－5t2＋10t， 即5t2－10t＋1.8＝0，解得t1＝0.2，t2＝1.8. 答：当小球的高度为1.8 m时，时间t的值为0.2或1.8. 举一反三 返回 (2)小球的高度能达到5.8 m吗？请作出判断，并说明理由． 解：小球的高度不能达到5.8 m，理由如下： 把h＝5.8代入h＝－5t2＋10t，得5.8＝－5t2＋10t， ∴5t2－10t＋5.8＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×5×5.8＝－16<0， ∴5.8＝－5t2＋10t无实数解， ∴小球的高度不能达到5.8 m. 举一反三 返回 8. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是(　　) A．－4＜x＜1 B．x＜－3或x＞1 C．x＜－4或x＞1 D．－3＜x＜1 D 举一反三 返回 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.若y＜0，则x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＜－1 C．－1＜x＜1 D．x＜－1或x＞3 D 举一反三 26 返回 10. 如图，关于x的一次函数y＝kx＋n与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　　) A．－1≤x≤9 B．－1≤x<9 C．－1<x≤9 D．x≤－1或x≥9 A 举一反三 27 课堂小结 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 确定二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0) 的图象与x轴公共点的横坐标 数 形 谢谢观看 THANKS Lavf59.6.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.2.30(gap_fixed:False) c＞ vt－gt2 $