26.3.2利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.3.2利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳 ，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 6. \(\boldsymbol{9}\)，\(\Delta=36-4m=0 \Rightarrow m=9\) 7. \(\boldsymbol{x_1=4,x_2=-1}\) 8. \(\boldsymbol{-x^2+2x+3=0}\) 9. \(\boldsymbol{k<1}\)，\(\Delta=4-4k>0\Rightarrow k<1\) ### 解答题 解：\(\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4>0\)，有 2 个交点。 解方程\(x^2-4x+3=0\)，\((x-1)(x-3)=0\) \(x_1=1,x_2=3\) 交点：\(\boldsymbol{(1,0),(3,0)}\) (1) 令\(y=0\)，\(x^2-2x-8=0\)，\((x-4)(x+2)=0\) 交点：\(\boldsymbol{(4,0),(-2,0)}\) (2) 方程根：\(\boldsymbol{x_1=4,x_2=-2}\) (3) 开口向上；\(\boldsymbol{x<-2}\)或\(\boldsymbol{x>4}\)时，\(y>0\)。 (1) 证明： \(\begin{align*} \Delta &=(-2m)^2-4\times1\times(m-2)\\ &=4m^2-4m+8\\ &=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7 \end{align*}\) \(\left(m-\dfrac12\right)^2\ge0\)，所以\(\Delta=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7>0\)恒成立， ∴无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点。 (2) 将\((3,0)\)代入： \(\begin{align*} 0&=9-6m+m-2\\ 5-5m&=0\\ \boldsymbol{m=1} \end{align*}\) (1) 令\(y=0\)，\(-x^2+3x+4=0 \Rightarrow x^2-3x-4=0\) \((x-4)(x+1)=0\)，根\(x_1=4,x_2=-1\) 交点\(\boldsymbol{(4,0),(-1,0)}\) (2) \(a=-1<0\)，开口向下 \(\boldsymbol{-1<x<4}\)时，\(y>0\)； \(\boldsymbol{x<-1}\)或\(\boldsymbol{x>4}\)时，\(y<0\)。 > > 本节小结 > \(y=ax^2+bx+c\)令\(y=0\)得到一元二次方程；判别式\(\Delta\)决定抛物线和x轴交点个数； > 交点横坐标就是方程的根；结合开口方向，可直接判断\(y>0,y<0\)对应的x范围。 下一课：**26.3.2 二次函数的实际应用**，继续写配套练习吗？也可以只要纯题目无答案版本。 今天 09:10 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 # 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 专项练习 ## 知识点梳理 ### 原理 求一元二次方程 \(\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a eq0)}\) 的根，等价于求二次函数 \(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\) 的图象与 \(\boldsymbol{x}\) 轴交点的横坐标。 ### 估算方法（夹值法） 1. 画出 \(y=ax^2+bx+c\) 的图象，观察抛物线与x轴交点在哪两个整数之间； 2. 在这个区间内取点代入函数，看y值正负变化； 3. 当y由正变负（或负变正），对应的x就在根附近；不断缩小范围，得到根的近似值。 > > 补充：也可以转化为两个函数图象交点：方程\(ax^2+bx+c=0\)变形为\(ax^2=-bx-c\)，画\(y=ax^2\)和\(y=-bx-c\)，交点横坐标就是方程的根。 > > 易错提醒 1. 近似根是**横坐标**，不是交点\((x,0)\)里的 0； 2. 估算时，看y更接近 0 的那个x，就是近似根； 3. 只能求**实数根**，\(\Delta<0\)时抛物线和 x 轴无交点，方程无实根。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 利用图象求方程\(x^2-2x-2=0\)的根，要画的函数是（） A. \(y=x^2-2x-2\)　B. \(y=x^2\) C. \(y=-2x-2\)　D. \(y=x^2-2x\) 2. 观察抛物线\(y=x^2-2x-1\)，当\(x=2\)时\(y=-1\)；\(x=3\)时\(y=2\)，则方程\(x^2-2x-1=0\)的一个根在（） A. \(1\sim2\)之间　B. \(2\sim3\)之间 C. \(3\sim4\)之间　D. \(-1\sim0\)之间 3. 抛物线\(y=x^2-4x+1\)，\(x=0\)时\(y=1\)；\(x=1\)时\(y=-2\)，则方程\(x^2-4x+1=0\)的一个近似根在（） A. \(0\sim1\)之间　B. \(1\sim2\)之间 C. \(2\sim3\)之间　D. \(3\sim4\)之间 4. 方程\(x^2-6x+9=0\)，对应的抛物线与 x 轴交点情况（） A. 2 个交点，两个不同实根 B. 1 个交点，两个相等实根 C. 无交点，无实根 D. 无法判断 5. 用图象法求\(x^2-3x-1=0\)的根，下面说法错误的是（） A. 可以画\(y=x^2-3x-1\) B. 可以画\(y=x^2\)与\(y=3x+1\) C. 根是抛物线与 y 轴交点横坐标 D. 方程有两个不相等实数根 ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 用图象法求方程\(x^2-5x+2=0\)的根，应画二次函数________。 7. 已知\(y=x^2-3x-2\)，\(x=3\)时\(y=-2\)；\(x=4\)时\(y=2\)，则方程\(x^2-3x-2=0\)一个根在____和____之间。 8. 抛物线\(y=x^2+2x-5\)，\(x=1\)时\(y=-2\)；\(x=2\)时\(y=3\)，方程\(x^2+2x-5=0\)的一个近似根在________之间。 9. 若方程\(ax^2+bx+c=0\)无实数根，则抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴____交点。 10. 抛物线\(y=x^2-2x-4\)，\(x=3.2\)时\(y=-0.16\)；\(x=3.3\)时\(y=0.29\)，则方程\(x^2-2x-4=0\)的一个近似根可取____（保留一位小数）。 ## 三、解答题（共 60 分） 11.（12 分）利用二次函数图象估算方程\(x^2-2x-1=0\)的近似根（精确到 0.1）。 12.（16 分）已知二次函数\(y=x^2-4x-3\)。 (1) 方程\(x^2-4x-3=0\)的根是什么的横坐标？ (2) 填表： 1 2 3 理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系.能根据二次函数图象判断一元二次方程根的情况，反之亦然. 会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。 初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法； 通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。 素养目标 例2 利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示. 探索新知 尝试多次估算x1、 x2 ： -1 ≤ x1 ≤ -0.5， 2.5 ≤ x2 ≤ 3. 方法提示：在预估的范围内取x值计算y值，根据所得y值的正负逐步调整取值范围，逐步逼近近似值. 知识点一 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 y= x²-2x-2 根x1 2.5 ≤ x1 ≤ 3 0.0625 2.75 -0.35938 2.625 -0.15234 2.6875 -0.0459 2.71875 0.00807 2.73438 -0.01899 2.72656 -0.00547 2.73047 0.00131 2.73243 根据y的正负去进一步逼近x的准确值. 下一步是在2.6875~2.75之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. 2.7≈ y= x²-2x-2 根x2 -1 ≤ x2 ≤ -0.5 0.0625 -0.75 -0.35938 -0.625 -0.15234 -0.6875 -0.04590 -0.71875 0.00807 -0.73438 -0.01896 -0.72657 -0.00547 -0.73047 0.00131 -0.73243 下一步是在-0.75 ~ -0.6875之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. -0.7≈ 1. 返回 [邯郸校级期中]如图，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解x的范围是(　　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 C 举一反三 6 返回 2. 下表是小江对方程x2－9.25x＋10＝0的一个解x进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的x的范围是__________． 1<x<1.5 x 0 0.5 1 1.5 2 x2－9.25x＋10 10 5.625 1.75 －1.625 －4.5 举一反三 返回 3. 根据表格写出一元二次方程x2＋x－1＝0的小于0的近似解x≈______．(精确到小数点后一位) －1.6 x －1.7 －1.65 －1.6 －1.55 －1.5 x2＋x－1 0.19 0.07 －0.04 －0.15 －0.25 举一反三 例2 利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7. 练一练 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. 解：画出函数y=2x2+x-15的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是-3，2.5. 所以方程2x2+x-15=0的实数根为x1≈-3，x2≈2.5. 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值 (结果保留小数点后一位)： (1) x² － 3x+1=0; (2) － x²－x+1=0. 解：x1≈0.4，x2≈2.6 解：x1≈－1.6，x2≈0.6 【教材P49 练习】 问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是____________； x1=-1，x2=3 不等式ax2+bx+c>0的解集是____________； x<-1或x>3 不等式ax2+bx+c<0的解集是____________. -1<x<3 知识点二 二次函数与一元二次不等式的关系 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是____ ______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点， 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 1 (2, 0) 2 0 y O x 当a>0时，ax2+bx+c<0无解； 当a<0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 返回 4. 利用函数图象求一元二次方程 x2－2x－2＝0的近似解(精确到0.1)． 解：方程 x2－2x－2＝0的根是抛物线y＝ x2－2x－2与x轴 交点的横坐标． 作出二次函数y＝ x2－2x－2的图象，如图所示． 由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1和0之间， 另一个在4和5之间． 先求－1和0之间的根， 举一反三 返回 当x＝－0.8时，y＝－0.08； 当x＝－0.9时，y＝0.205， 因此，x＝－0.8是方程的一个近似根， 同理，x＝4.8是方程的另一个近似根． 所以方程 x2－2x－2＝0的两个近似根是x1＝－0.8，x2＝4.8. 举一反三 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的一个交点为(－2，0)，且对称轴为直线x＝2，则ax2＋bx＋c＋1＝0的根(x1<x2)的范围是(　　) A．－2<x1<x2<2 B．－2<x1<x2<4 C．x1<－2<x2<6 D．－2<x1<x2<6 返回 5. D 举一反三 对于抛物线y＝x2－4x－6. (1)将抛物线的解析式化为顶点式； 返回 6. 解：y＝x2－4x－6＝(x2－4x＋4)－4－6＝(x－2)2－10. 举一反三 (2)补全下列表格，在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； 返回 x …   0 2   6 … y …           … 解：补全表格如下： x … －2 0 2 4 6 … y … 6 －6 －10 －6 6 … 抛物线如图所示． 举一反三 (3)结合图象，当－2<x<3时，y的取值范围为__________； (4)结合图象及所学习的知识，估算x2－4x－6＝0的两个近似根为__________________(精确到0.1，误差不超过0.2)． 返回 －10≤y<6 x1＝－1.2，x2＝5.2 举一反三 小结: 谢谢观看 THANKS $