22.3.2　相似三角形的判定(1)课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.2　相似三角形的 　　　　判定(1) 学习目标 1.理解并掌握“两角分别相等的两个三角形相似”.(难点) 2.能运用该定理解决简单的三角形相似问题.(重点) 课堂引入 我们之前学习过全等三角形的判定方法，有哪些呢？ 思考：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，那对于一般的相似三角形，是否也存在类似全等三角形的简便判定方法呢？ 两角分别相等的两个三角形相似 问题1　(1)观察你与老师的直角三角尺(含30°与60°角)，会相似吗？通过测量得出你的猜想； 提示　相似. (2)这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？ 提示　三个内角对应相等. (3)这两个三角形的三条对应边有什么关系？ 提示　对应边成比例. 问题2　任意画两个三角形，使其三对角分别对应相等，然后用刻度尺测量这两个三角形的对应边，记录数据.看看它们的对应边是否成比例？由此能得出什么结论？ 提示　对应边成比例；三对角分别相等的两个三角形相似. 知识梳理 相似三角形的判定定理1：两角分别_____的两个三角形相似. 符号语言表示：如图，在△ABC与△A'B'C'中， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C'. 相等 例1　如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE. 证明　∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE. ∵∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE. 例2　如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. 证明　∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， 又∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠B， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似). 跟踪训练1　(1)符合下列条件的两个三角形一定相似的是 A.两个锐角三角形 B.两个直角三角形 C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形 √ 解析　A项，两个锐角三角形的三组对应内角可能并不相等或不全相等，如30°，70°，80°和40°，60°，80°，故不一定相似，故不符合题意； B项，两个直角三角形，两内角可能并不对应相等，只能确定一组直角对应相等，如30°，60°，90°和40°，50°，90°，故不一定相似，故不符合题意； C项，两个等腰三角形，底角和顶角不一定对应相等，如30°，30°，120°和40°，40°，100°，故不一定相似，故不符合题意； D项，两个等边三角形三内角都是60°，对应相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”可得一定相似，故符合题意. (2)如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　　　　 　　.  ∠B＝∠A(答案不唯一) 解析　添加∠B＝∠A，∵∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC. (3)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：△ACD∽△ABC. 证明　∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. 课堂小结 证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法： (1)定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两个三角形叫做相似三角形. (2)预备定理： 平行于三角形的一边，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似. (3)相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 1.如图所示的三个三角形，相似的是   A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 随堂演练 √ 随堂演练 解析　分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由180°－65°－71°＝44°，所以三个内角分别为71°，65°，44°. ②：由180°－71°－44°＝65°，所以三个内角分别为71°，65°，44°. ③：由180°－71°－67°＝42°，所以三个内角分别为71°，67°，42°. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 2.如图，能使△ADE∽△ABC成立的条件是  A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C.∠C＝∠B D.∠ADE＝∠B 随堂演练 √ 随堂演练 解析　在△ADE与△ABC中∠A与∠A是公共角，∴∠A＝∠A， A项，只有∠A＝∠A，一组角对应相等不能证明△ADE∽△ABC，不符合题意； B项，∠ADE＝∠AED只能说明△ADE是等腰三角形，不能说明△ADE∽△ABC，不符合题意； C项，∠B＝∠C只能说明△ABC是等腰三角形，不能说明△ADE∽△ABC，不符合题意； D项，在△ADE与△ABC中∠A与∠A是公共角，∠ADE＝∠B，∴可证△ADE∽△ABC，符合题意. 3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若增加一个条件，就能使△ACD与△CBD相似，则这个条件可以是 　　 　　　　.(写出一个即可)  随堂演练 解析　∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵有两组角对应相等的两个三角形相似， ∴增加条件∠ACD＝∠B，能判定△ACD与△CBD相似. ∠ACD＝∠B(答案不唯一) 4.如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE. 随堂演练 证明　∵∠2＝∠3，∠AOE＝∠DOC， 又∵∠3＋∠E＋∠AOE＝180°，∠2＋∠DOC＋∠C＝180°， ∴∠E＝∠C， ∵∠1＝∠3， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的平分线AD于点E，连结BE，F是AE上的一点，且∠ABF＝∠CBE.求证：  (1)∠CAE＝∠BCE； 随堂演练 证明　∵AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的平分线AD于点E， ∴AD⊥BC，∠ACE＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAE＋∠ACB＝90°，∠BCE＋∠ACB＝90°， ∴∠CAE＝∠BCE. 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CE⊥AC，交∠BAC的平分线AD于点E，连结BE，F是AE上的一点，且∠ABF＝∠CBE.求证：  (2)△ABF∽△CBE. 随堂演练 证明　∵点F和点E在∠BAC的平分线AD上， ∴∠BAF＝∠CAE， 由(1)得∠CAE＝∠BCE， ∴∠BAF＝∠BCE， ∵∠ABF＝∠CBE，∴△ABF∽△CBE. 谢谢观看 $