22.3.1相似三角形课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.1　相似三角形 学习目标 1.理解并掌握相似三角形的概念及表示方法. 2.掌握由平行线判定两个三角形相似的方法.(难点) 3.能说出相似三角形的相似比，并根据两个三角形相似求线段的长或角的度数.(重点) 课堂引入 1.相似多边形的定义： 各角分别　　　　，各边　　　　的两个多边形叫做相似多边形.  2.相似多边形性质： 相似多边形对应角　　　　，对应边　　　　.  一、 相似三角形的概念及表示方法 知识梳理 1.相似三角形的定义：在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边_______、对应角_____的三角形. 如图所示，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'， ，此时△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'，读作：△ABC相似于△A'B'C'. 注意点：在记两个三角形相似时，表示对应顶点 的字母需写在对应位置. 成比例 相等 知识梳理 2.相似比： 如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比. 例1　(课本P74思考)已知：如图，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE∽△ABC. 证明　∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， (平行线分线段成比例). 如图，过点D作AC的平行线交BC于点F，  ∴(平行线分线段成比例). ∴. 例1　(课本P74思考)已知：如图，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE∽△ABC. 证明　∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC. ∴. 又∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC(相似三角形的定义). 跟踪训练1　(1)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是  A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 √ 解析　由题意得，△AOB∽△COD， ∵OB＝2，OD＝6，∴△AOB与△COD的相似比为OB∶OD＝2∶6＝1∶3. (2)根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式. ①如图1，△ADE∽△ABC，则　　　　＝　　　　＝　　　　；  ②如图2，△OAB∽△OCD，则　　　　＝　　　　＝　　　　；  ③如图3，△ABC∽△ACD，则　　　　＝　　　　＝　　　　.  二、 由平行线判定两个三角形相似 问题　思考：例1中如果点D为AB的中点，那么△ADE与△ABC的相似比为多少？ 提示　k＝1∶2. 知识梳理 1.判定三角形相似的预备定理：_____于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形_____. 2.符号语言表示： 如图所示，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC. 相似 平行 例2　 (课本P75例1)如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5.求BC的长. 解　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似). ∴. ∴BC＝3DE＝15. 跟踪训练2　 (1)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是  A. B. C. D. √ 解析　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∴选项B符合题意. (2)如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来. 解　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△GOE∽△GFC， ∵GF∥AB，∴△GFC∽△ABC， ∴△GOE∽△ABC(相似的传递性)， ∴与△ABC相似的三角形有3个，分别为△ADE，△GFC，△GOE. 三、 根据三角形相似求线段的长或角的度数 例3　如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，若AB＝6，求CF的长. 解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝6，AB∥CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵，AB＝6， ∴DF＝4， ∴CF＝CD＋DF＝6＋4＝10. 跟踪训练3　(1)如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段(两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5)相互平行.若点A在数轴上表示的数是－2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析　由题意可知，，，AB＝6. (2)如图，已知AB∥DE，AC∶EC＝3∶4，若AB的长度为6，求DE的长度. 解　∵AB∥DE， ∴△ABC∽△EDC， ∴AB∶DE＝AC∶EC， ∵AC∶EC＝3∶4，AB＝6， ∴DE＝8. 课堂小结 1.对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形. 2.如果记＝k，那么，这个比值k就表示这个三角形的相似比. 3.平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 1.已知△ABC∽△DEF，∠A＝75°，∠E＝60°，则∠B的度数为 A.60° B.75° C.85° D.45° 随堂演练 √ 解析　由题意得，∵△ABC∽△DEF，∠E＝60°， ∴根据相似三角形的性质得，∠B＝∠E＝60°. 2.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm.如果△A'B'C'的最短边边长为3 cm，则△A'B'C'的最长边边长为　　　　.  随堂演练 解析　由题意可知△ABC的最长边为AC，最短边为AB，∵△ABC∽△A'B'C'，∴，△A'B'C'的最长边为A'C'，最短边为A'B'， 即，解得A'C'＝5，即△A'B'C'的最长边边长为5 cm. 5 cm 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A沿AC向点C以2 cm/s的速度移动，到点C即停，点Q从点C沿CB向点B以1 cm/s 的速度移动，到点B就停.若点Q从点C出发2 s后点P从点A出发，再经 过　　　　　　s，△PCQ与△ACB相似. 随堂演练 1.6或 随堂演练 解析　由题意得AP＝2t，CQ＝2＋t，则PC＝8－2t， 分两种情况讨论： ①当△PCQ∽△ACB时，，即，解得t＝1.6. ②当△PCQ∽△BCA时，，即，解得t＝. 综上所述，点Q从C点出发2 s后点P从点A出发，再经过1.6 s或 s，△PCQ与△ACB相似. 4.如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q.  (1)求证：△DCP∽△QBP； 随堂演练 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴CD∥BQ， ∴△DCP∽△QBP. 4.如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q.  (2)若，求的值. 随堂演练 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴△DCP∽△QBP， ∴， ∴， ∴. 谢谢观看 $