30.1直线与圆同步训练2026-2027学年人教版九年级上册数学

九年级数学上册 · 同步训练 30.1　直线与圆 30.1　直线与圆 30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 直线与圆的位置关系的判定 1．图 30-1-1 中的江面和太阳可分别看成直线和圆，则它们的位置关系为（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．如图 30-1-2，若⊙O 的半径为 5，圆心 O 到一条直线的距离为 5，则这条直线是（　） A． B． C． D． 3．已知⊙O 的半径为 8 cm，圆心 O 到直线 l 上某点的距离为 8 cm，则直线 l 与⊙O 的公共点的个数为（　） A．0 B．0 或 1 C．0 或 2 D．1 或 2 4．如图 30-1-3 所示，在 Rt△ABC 中，，，，判断直线 AB 与以点 C 为圆心，下列 r 为半径的圆的位置关系： (1)；(2)；(3). 知识点2 直线与圆的位置关系的应用 5．如图 30-1-4，直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的值可以是（　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．⊙O 的半径是 6 cm，点 O 到直线 l 的距离为 . 若⊙O 与直线 l 有公共点，则（　） A． cm B． cm C．0 cm cm D．0 cm cm 7．如图 30-1-5，在 Rt△ABC 中，，， cm，O 为边 AB 上一点（点 O 不与点 A，B 重合）. 若 cm，⊙O 的半径为 1 cm，当 x 在什么范围内取值时，直线 AC 与⊙O 相离、相切、相交？ B 拓展题 规律方法综合练 8．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 . 若⊙A 与坐标轴有三个公共点，则⊙A 的半径为（　） A．2 B． C．2 或 D．2 或 3 9．如图 30-1-6，⊙O 的半径 cm，直线 ，垂足为 H，且 l 交⊙O 于 A，B 两点， cm. 若 l 沿 OC 所在直线平移后与⊙O 相切，则平移的距离是（　） A．1 cm B．2 cm C．8 cm D．2 cm 或 8 cm 10．如图 30-1-7，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3. 若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的长的取值范围是（　） A． B． C． D． 11．如图 30-1-8，已知 ， cm，⊙O 的半径为 1 cm. 若⊙O 沿着 BP 的方向在直线 BP 上移动. (1)当⊙O 移动的距离为 1 cm 时，判断直线 PA 与⊙O 的位置关系； (2)若⊙O 的移动距离是 ，当直线 PA 与⊙O 相交时，求 的取值范围. 12．【数学思想】分类讨论 如图 30-1-9，P 为正比例函数 的图象上的一个动点，⊙P 的半径为 3，设点 P 的坐标为 . (1)求当⊙P 与直线 相切时，点 P 的坐标； (2)请直接写出当⊙P 与直线 相交、相离时，x 的取值范围. 30.1.2　第1课时　直线与圆相切 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 切线的性质 1．如图 30-1-10，AB 与⊙O 相切于点 A，∠B=42°，则∠AOB 的度数为（　） A．42° B．48° C．58° D．60° 2．如图 30-1-11，P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点 B，∠P=30°，OB=4，则线段 BP 的长为（　） A．6 B． C．4 D．8 3．如图 30-1-12，以点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 6 cm 和 10 cm，弦 AB 与小圆相切于点 C，则 AB 的长为（　） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm 4．如图 30-1-13，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点 C.若 PC=3，PB=1，则⊙O 的半径为（　） A． B．3 C．4 D． 5．如图 30-1-14，AB 是⊙O 的直径，点 D 在射线 BA 上，DC 与⊙O 相切于点 C，过点 B 作 BE⊥DC，交 DC 的延长线于点 E，连接 BC，OC.SUB 求证：BC 是∠ABE 的平分线. 知识点2 切线的判定 6．下列说法中，不正确的是（　） A．与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D．垂直于半径的直线是圆的切线 7．如图 30-1-15，点 B 在⊙A 上，点 C 在⊙A 外，则下列条件中，不能判定 BC 是⊙A 的切线的是（　） A．∠A=50°，∠C=40° B．∠B-∠C=∠A C． D．⊙A 与 AC 的交点是 AC 的中点 8．有一道题目：“如图 30-1-16，AB 是⊙O 的直径，要使直线 AP 是⊙O 的切线，需添加的条件是____________（写一个即可）.”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（　）甲：∠BAP=90°；乙：∠BAC=∠PAC；丙：∠BAC=∠P.（　） A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 9．如图 30-1-17，D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点，过点 D 作 DE⊥OB 于点 E，以点 D 为圆心，DE 长为半径作⊙D.SUB 求证：OA 是⊙D 的切线. 10．如图 30-1-18，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，P 是 BA 延长线上的一点，连接 AC，BC，PC，∠PCA=∠B.SUB 求证：PC 是⊙O 的切线. B 拓展题 规律方法综合练 11．如图 30-1-19，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连接 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为（　） A．3 B． C．3 或 D．不确定 12．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图 30-1-20 是发动机的示意图，点 A 在直线 l 上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成⊙O，AB 与 BO 表示曲柄连杆的两直杆，C，D 是直线 l 与⊙O 的交点；当点 A 运动到点 E 时，点 B 到达点 C；当点 A 运动到点 F 时，点 B 到达点 D.若 AB=12，OB=5，则下列结论正确的是（　） A． B． C．当 AB 与⊙O 相切时，EA=4 D．当 OB⊥CD 时，EA=AF 13．如图 30-1-21，四边形 ABCO 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，∠BAO=∠BCO，直径 BE 与弦 AC 相交于点 F，D 是 EB 延长线上的一点，∠BCD=∠AOB. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若四边形 ABCO 是平行四边形，EF=3，求 CD 的长. 30.1.2　第2课时　过圆外一点作圆的切线 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 用尺规作圆的切线 1．在学习“圆的切线”这一节时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：已知：如图 30-1-22， 为 外一点. 求作：经过点 的 的切线. 小敏的作法如下：①连接 ，作线段 的垂直平分线 ，与 交于点 ；②以点 为圆心， 为半径作圆，与 相交于 ， 两点；③作直线 ，，即所求作的切线. (1)请补充完整小敏的作图； (2)连接 ，，可证得 ，其依据是 ____________，由此可证明直线 ， 都是 的切线，其依据是 ____________. 知识点2 切线长定理 2．如图 30-1-23，， 是 的切线，， 为切点，连接 ，. 若 ，则 的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 3．如图 30-1-24，，， 分别与 相切于点 ，，. 若 ，，则 的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图 30-1-25，， 是 的两条切线，切点分别为 ，， 交 于点 . 下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图 30-1-26，从 外一点 引 的两条切线 ，，切点分别为 ，. 如果 ，，那么弦 的长是 ____________. 6．如图 30-1-27，已知四边形 的每条边都与 相切，且 ，，则四边形 的周长为 ____________. 7．如图 30-1-28，，， 分别与 相切于 ，， 三点，且 ， cm， cm. (1)求证：； (2)求 的长. B 拓展题 规律方法综合练 8．如图 30-1-29，， 分别与 相切于点 ，，点 在 上. 若四边形 为菱形，则 的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．如图 30-1-30，， 是 的两条切线，， 为切点，连接 ，， 交 于点 ，交 于点 . 若 ，，则 的半径为 ____________. 10．如图 30-1-31，以正方形 的 边为直径作半圆 ，过点 作半圆的切线，切点为 ，与边 交于点 . 若 的周长为 12，则直角梯形 的周长为 ____________. 11．如图 30-1-32，， 是 的切线，切点分别为 ，，点 在 上，点 在 上， 与 相切于点 ， 的周长为 12，. 求： (1) 的长； (2) 的度数. 12．如图 30-1-33，在以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 ， 分别与小圆相切于点 ，. (1)求证：； (2)若 是大圆的第三条弦，且 ，则 与小圆相切吗？请说明理由. 参 考 答 案 【30.1.1 直线与圆相离、相切、相交】 1．C 2．A 3．D[解析]∵的半径为8 cm,圆心到直线上某点的距离为8 cm,∴圆心到直线的距离小于或等于圆的半径,∴直线与相切或相交,∴直线与的公共点的个数为1或2.故选D. 4．解:∵,,,∴.设点到直线的距离为,则,∴.(1)当时,,∴直线与相离.(2)当时,,∴直线与相切.(3)当时,,∴直线与相交. 5．D 6．D[解析]∵点到直线的距离为,与直线有公共点,∴直线与相切或相交.又∵的半径是6 cm,∴0 cm cm. 故选D. 7．解:过点作于点.∵,,∴.∵ cm,∴ cm.若直线与相离,则有,即,解得.又∵,∴;若直线与相切,则有,即,解得;若直线与相交,则有,即,解得.又∵,∴.综上可知,当时,直线与相离;当时,直线与相切;当时,直线与相交. 8．C[解析]∵点的坐标为,∴点到轴的距离为1,到轴的距离为2.当与轴相切时,与轴有两个公共点,与坐标轴恰好有三个公共点,此时的半径为2;当经过原点时,与坐标轴恰好有三个公共点,此时的半径为.综上所述,的半径为2或. 故选C. 9．D[解析]如图,连接.∵,∴(cm).在Rt中, cm,∴(cm).若直线向下平移,当直线平移至与相切的位置时,平移的距离(cm);若直线向上平移,当直线平移至与相切的位置时,平移的距离(cm). 10．A 11．解:(1)当向左移动1 cm时,(cm).如图①,过点作于点.∵,∴ cm.∵的半径为1 cm,∴直线与相切.(2)由(1)知当 cm时,在点的右侧,且与直线相切;当在点的左侧,且点到直线的距离等于1 cm时,直线与相切,如图②.∵, cm,∴ cm,∴(cm),∴当直线与相交时,的取值范围是1 cm cm. 12．解:(1)过点作直线的垂线,垂足为.当点在直线的右侧时,,∴,此时,∴;当点在直线的左侧时,,∴,此时,∴.综上所述,当与直线相切时,点的坐标为或.(2)当与直线相交时,;当与直线相离时,或. 【30.1.2 第1课时 直线与圆相切】 1．B 2．C 3．D[解析]如图,连接,.∵弦与小圆相切于点,∴,∴.∵以点为圆心的两个同心圆的半径分别为6 cm和10 cm,∴ cm, cm,∴(cm),∴ cm.故选D. 4．C 5．证明:∵与相切于点,∴.又∵,∴,∴.∵,∴,∴,即是的平分线. 6．D 7．D 8．C[解析]当添加条件时,.又∵是的直径,∴直线是的切线,故甲同学的答案正确;当添加条件时,∵是的直径,∴,∴.由无法确定的度数,故乙同学的答案错误;当添加条件时,∵,∴,∴,即.又∵是的直径,∴直线是的切线,故丙同学的答案正确.故选C. 9．证明:过点作于点,如图.又∵是的平分线上任意一点,,∴,即是的半径,∴是的切线. 10．证明:如图,连接.∵是的直径,∴,∴.∵,∴.又∵,∴,∴,∴.又∵是的半径,∴是的切线. 11．C[解析]当与边相切时,如图①.设,则.∵与相切,∴.∵是的中点,∴.在Rt中,根据勾股定理可得,即,解得,∴.当与边相切时,如图②,设切点为,连接,则,∴四边形是矩形,∴,∴.在Rt中,根据勾股定理可得.综上所述,的长为3或.故选C. 12．C[解析]由题意,得,,∴,,故A选项错误,不符合题意;. 故B选项错误,不符合题意;如图①,当与相切时,,则,∴,故C选项正确,符合题意;当时,如图②,则,∴,,∴,故D选项错误,不符合题意.故选C. 13．解:(1)证明:如图,连接.∵,∴.∵,,∴.∵是的直径,∴,即.又∵,∴,即,∴.又∵是的半径,∴是的切线.(2)∵四边形是平行四边形,,∴四边形是菱形,∴,,∴是等边三角形,∴.∵,∴,,∴.∵,,∴,∴,∴. 【30.1.2 第2课时 过圆外一点作圆的切线】 1．解:(1)如图:(2)直径所对的圆周角是直角　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2．A[解析]∵,是的切线,∴,,∴.∵,,∴,∴. 故选A. 3．C 4．D 5．8[解析]根据切线长定理,得.又∵,∴为等边三角形,∴. 6．34[解析]如图,设四边形的各边与的切点分别为,,,,则,,,,∴四边形的对边的和相等,∴四边形的周长为. 7．解:(1)证明:∵,,分别与相切于,,三点,∴,.∵,∴,∴,∴.(2)连接,如图.∵ cm, cm,,∴ cm.∵与相切于点,∴.∵,∴(cm).在Rt中,由勾股定理,得 cm.∵,分别与相切于点,,∴ cm. 8．C[解析]连接.∵四边形为菱形,∴.又∵,∴,∴与都是等边三角形,∴,∴.∵,分别与相切于点,,∴,,∴,∴. 9．2.5[解析]连接,.由切线长定理,得.又∵,∴垂直平分,∴,.设的半径为,则,∴.在Rt中,由勾股定理,得,即,解得,∴的半径为2.5.故答案为2.5. 10．14[解析]设的长为,正方形的边长为.∵四边形是正方形,∴,,即,.又∵为半圆的直径,∴,均与半圆相切.∵与半圆相切于点,∴由切线长定理,得,.∵的周长为12,∴,∴,∴,∴.在Rt中,由勾股定理,得,即,解得,∴,∴直角梯形的周长为.故答案为14. 11．解:(1)∵,是的切线,切点分别为,,与相切于点,∴,,,∴的周长,∴.(2)∵,∴,∴.∵,是的切线,切点分别为,,与相切于点,∴,,∴,∴. 12．解:(1)证明:连接,,如图.∵大圆的弦,分别与小圆相切于点,,∴,,,∴,,∴,,∴.(2)与小圆相切.理由如下:过点作于点,连接,,如图,则,,.又∵,且,∴.在Rt和Rt中,∴Rt(HL),∴,∴与小圆相切. 4．B　[解析]连接，如图。，。，，。是的直径，与相切于点，，，，，，，，，，。故选B。 5．解：(1)如图①，连接。与相切于点，。又，，，。，，。又，。(2)如图②，连接，。由(1)知，。为弧的中点，弧弧，，，。又，，为等边三角形，。又，。在Rt中，，，。 6．B　[解析]如图，设钟表表盘的中心为点，连接，。由题意，得点在上，。，。与相切于点，，。在Rt中，根据勾股定理，可得，表盘的半径为。故选B。 7．解：(1)证明：是的切线，过圆心，。又，，，，。(2)，且过点，。，，。由(1)得，。如图，连接。设的半径长为，则，。在Rt中，由勾股定理，得，即，解得，的半径长为。 8．证明：连接。，，是等边三角形，，。与相切于点，，，，，。 9．解：(1)证明：连接，如图。为的切线，。又，，。，，，平分。(2)是的直径，。在Rt中，，。 10．解：(1)证明：，，。为的直径，，，。(2)连接，如图所示。与相切于点，。设的半径长为，则。在Rt中，由勾股定理，得，即，解得。故的半径长为3。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $