26.4 第3课时 抛物线形问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4 第3课时 抛物线形问题 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 26.4 第3课时 抛物线形问题 专项练习 ## 知识点梳理 ### 解题思路 拱桥\(x、y\)喷泉\(x、y\)抛球等实际场景，轮廓是抛物线，核心是**建立平面直角坐标系**，求抛物线解析式，再利用解析式求值。 ### 建系常用技巧 1. 优先把**抛物线顶点放在坐标原点或y轴上**，解析式用顶点式 $\(y=\)a(x-h)^2+k$，计算最简单； 2. 找到图象上已知点的坐标，代入求$a$； 3. 看清单位，分清自变量$x$（水平距离）\(x、y\)函数$y$（高度）； 4. 实际问题，$x\(x、y\)y$一般取非负数。 ### 一般步骤 ① 建立合适平面直角坐标系； ② 标出已知点坐标； ③ 设抛物线解析式； ④ 代入点求系数； ⑤ 把所求问题对应的$x$（或$y$）代入解析式求解； ⑥ 结合实际写出答案。 > 易错提醒 1. 建系不同，解析式不一样，但最终实际结果不变； 2. 看清是求**高度**还是**水平宽度**； 3. $a$的正负：开口向下（拱桥\(x、y\)喷泉）$\(a<0\)$。 ## 一\(x、y\)选择题（每题4分，共20分） 1. 一座拱桥，顶点在原点，开口向下，抛物线过点$(2,-2)$，则解析式是（） A. $\(y=\)-\dfrac12x^2$　B. $\(y=\)\dfrac12x^2$ C. $\(y=\)-2x^2$　D. $\(y=\)2x^2$ 2. 喷泉的水流满足$\(y=\)-0.2(x-3)^2+1.8$（$y$高度，$x$水平距离），水流最大高度是（） A. 3　B. 1.8　C. 0.2　D. 1.6 3. 抛物线形拱桥，当水面宽10m，拱顶离水面5m，以拱顶为原点，向下为y轴正方向，则水面右端点坐标（） A. $\((5,5)\)$　B. $(5,-5)$ C. $\((10,5)\)$　D. $(10,-5)$ 4. 抛物线$\(y=\)-x^2+4x$，表示喷泉水流，当水流落到地面（$\(\(y=\)0\)$）时，水平距离是（） A. $\(x=0\)$　B. $\(x=4\)$ C. $\(x=0\)$或$\(x=4\)$　D. $\(x=2\)$ 5. 某抛球轨迹$\(y=\)-0.1x^2+0.8x+1$，则球到达最高点时水平距离抛出点（） A. 2　B. 4　C. 8　D. 10 ## 二\(x、y\)填空题（每题4分，共20分） 6. 以顶点为原点，开口向下的抛物线，过$(4,-4)$，解析式：________。 7. 拱桥抛物线$\(y=\)-\dfrac18x^2+2$，当$\(x=2\)$时，拱高$\(y=\)$________。 8. 喷泉水流$\(y=\)-(x-2)^2+4$，则喷头坐标（水喷出起点）：________。 9. 抛物线拱桥，拱顶离水面4m，水面宽8m，以拱顶为原点，水平向右x轴，向下y轴，解析式：________。 10. 抛物线$\(y=\)-0.5x^2+2$，当$\(\(y=\)0\)$，水面宽度为________。 ## 三\(x、y\)解答题（共60分） 11.（12分）有一座抛物线拱桥，以拱顶为原点建立坐标系，水平向右为$x$轴，竖直向上为$y$轴，抛物线解析式$\(y=\)-\dfrac1{20}x^2$。 (1) 当水面宽10m时，求水面到拱顶的距离； (2) 若水面距离拱顶2.45m，求此时水面宽度。 12.（16分）公园喷泉，喷头在地面$\(\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)\)$，水流轨迹为抛物线，水流在水平距离喷头3m处达到最高，最大高度4.5m。 (1) 求抛物线解析式； (2) 求水流落回地面时离喷头的水平距离。 13.（16分）一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽20m，拱顶距离水面4m。以拱顶为原点，水平向右为x轴，向上为y轴。 (1) 求抛物线解析式； (2) 水位上涨1m后，此时水面宽度是多少？ 14.（16分）一名运动员掷铅球，铅球运动轨迹是抛物线。出手点高度1.\(\boldsymbol{6\mathrm{m}}\)，水平向前走4m到达最高点，最高点高度3.\(\boldsymbol{6\mathrm{m}}\)。 (1) 建立坐标系，求抛物线解析式； (2) 求铅球落地时，落地点距离运动员水平距离。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. A 解析：顶点$\(\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)\)$，设$\(y=\)ax^2$，代入$(2,-2)$，$-2=4a\Rightarrow a=-\dfrac12$ 2. B 解析：顶点纵坐标就是最大高度1.8 3. A 解析：拱顶原点，向下y轴正方向，向右5，向下5，坐标$\((5,5)\)$ 4. C 解析：令$\(\(y=\)0\)$，$-x^2+4\(x=0\)$，$x_1=0,x_2=4$ 5. B 解析：对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0.8}{2\times(-0.1)}=4$ ### 填空题 6. $\boldsymbol{\(y=\)-\dfrac14x^2}$ 7. $\boldsymbol{\dfrac32}$（或1.5） 8. $\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)\)}$ 9. $\boldsymbol{\(y=\)\dfrac14x^2}$ 10. $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$ ### 解答题 11. 解：$\(y=\)-\dfrac1{20}x^2$ (1) 水面宽10m，一半$\(x=5\)$，代入： $\(y=\)-\dfrac1{20}\times 25=-1.25$ 距离拱顶距离：$\boldsymbol{1.25\mathrm{m}}$ (2) 水面距离拱顶2.45m，$\(y=\)-2.45$ $-2.45=-\dfrac1{20}x^2\Rightarrow x^2=49\Rightarrow x=\pm7$ 宽度$7-(-7)=14$，水面宽$\boldsymbol{14\mathrm{m}}$。 12. (1) 顶点$\((3,4.5)\)$，设$\(y=\)a(x-3)^2+4.5$，过$\(\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)\)$ $0=9a+4.5 \Rightarrow a=-0.5$ 解析式：$\boldsymbol{\(y=\)-0.5(x-3)^2+4.5}$ (2) 令$\(\(y=\)0\)$，$-0.5(x-3)^2+4.5=0$ $(x-3)^2=9$，$x_1=6,x_2=0$ 落地点水平距离$\boldsymbol{6\mathrm{m}}$。 13. (1) 顶点$\(\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)\)$，设$\(y=\)ax^2$。水面端点$(10,-4)$ $-4=a\cdot100\Rightarrow a=-\dfrac1{25}$ 解析式：$\boldsymbol{\(y=\)-\dfrac1{25}x^2}$ (2) 水位上涨1m，$\(y=\)-3$，代入： $-3=-\dfrac1{25}x^2\Rightarrow x^2=75 \Rightarrow x=\pm5\sqrt{3}$ 水面宽度$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。 14. (1) 以出手点正下方地面为原点，水平向右x轴。 顶点$\((4,3.6)\)$，设$\(y=\)a(x-4)^2+3.6$，过$\((0,1.6)\)$ $1.6=16a+3.6\Rightarrow a=-0.125$ 解析式：$\boldsymbol{\(y=\)-0.125(x-4)^2+3.6}$ (2) 落地$\(\(y=\)0\)$ $0=-0.125(x-4)^2+3.6$ $(x-4)^2=28.8$ $x-4=\sqrt{28.8}$（舍去负根） $\(x=4\)+\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$，约$\boldsymbol{9.37\mathrm{m}}$ > 本节小结 抛物线形应用题核心：**合理建系简化计算**；优先顶点式；读懂坐标代表的实际意义，区分水平距离和竖直高度。 下一章：**第27章 圆**，需要我直接开始27.1圆的配套练习吗？或者只要纯题目无答案版本？ 1 2 3 理解实物抛物线与二次函数图象的对应关系，掌握建立适当平面直角坐标系解决实物抛物线问题的核心方法； 能准确将实际问题中的长度、高度转化为坐标系中点的坐标，并解决拱桥、投篮等实际问题； 经历 实物观察→抽象建模→坐标系优化→求解解析式→解决实际问题的完整过程，进一步发展数学建模能力。 素养目标 1.上节课我们学习了用二次函数解决最大利润问题，解决这类实际最值问题的一般步骤是什么呢？ 回顾 1.分析题意，确定变量 2.分类讨论，建立模型 3.确定范围，求解最值 4.比较结果，得出方案 ①拱桥的轮廓 ②篮球投篮的轨迹 ③喷泉水柱等 我们知道二次函数的图象是抛物线，本身就是生活中许多物体的形状，比如： 今天我们就来学习如何把这些实物抛物线转化为数学模型. 当堂检测 3 情境导入 这些桥都有什么特点？ 探究新知 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）? 分析： (1) 建立适当的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解. x y O 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52. 水面上升1m，即此时y=-3. x y O 答：此时水面的宽度大约是8.7 m . 如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ 解：依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3. x y O 水面上升1m，即此时y=0. 你还有其他的方法吗？ 还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. x y O 在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗? x y O y 3 O 以上升1m后的水面为x轴 3 4m 2m x=2时，y≥2的话船就能通过. 【选自教材P54 练习 第2题】 且抛物线与x轴的交点分别为(－ ,0)、 (,0)， 当x=2时，y= －= ， 又 ， 所以这艘船能从这座拱桥下通过. y 3 O 4m 2m 解：以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图直角坐标系. 前面已求得抛物线的解析式为y=－ 1. 返回 [2025连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为________m. 8 举一反三 12 返回 2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 举一反三 返回 3. [2025广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 举一反三 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)， 即A(0.85，0.18)． 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝ ， ∴该抛物线的解析式为y＝ x2＋0.001 5. (建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一) 返回 举一反三 返回 4. [2025唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒 D 举一反三 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________． 5. 返回 3 s 举一反三 某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx(a≠0)．由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如下： 返回 6. 滑行时间x/s 0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450 (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式y＝ax2＋bx(a≠0)； 举一反三 返回 解：根据表格可以得出函数图象过点(2，114)，(4，216)， 举一反三 (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 解：根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来， 此时滑行距离y取得最大值， ∴飞机着陆后滑行600 m才能停下来，此时滑行的时间是20 s. 返回 举一反三 7. [2025石家庄期中]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的该水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即∠ABP＝45°)．嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：图①中，玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2－16； 结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm. A．Ⅰ不对，Ⅱ对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 B 返回 举一反三 返回 8. [2025保定一模如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2 m的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知A点距离地面2 m，窗上沿B距离地面14 m. (1)以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； 举一反三 解：由题意知A(0，2)，B(2，14)， 设水流抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋14， 把A(0，2)的坐标代入，得2＝a(0－2)2＋14，解得a＝－3， ∴水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14. 返回 举一反三 返回 (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6 m处，且比窗上沿B低2 m的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？(不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据： ≈2.45，结果精确到0.1 m) 举一反三 解：由题意知，失火中心点坐标是(2.6，12)． 方案一：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当x＝2.6时，y＝－3×(2.6－2)2＋14＝12.92， 即抛物线向下平移12.92－12＝0.92(m)≈0.9 m， 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当y＝12时，12＝－3(x－2)2＋14， 返回 举一反三 返回 ∴抛物线向左平移2.817－2.6＝0.217(m)≈0.2 m， 抛物线正好经过失火中心． ∴消防员把喷水头向下平移0.9 m或向左平移0.2 m， 可以使水流刚好落在失火中心． 举一反三 返回 9. [2025陕西中考]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线L1的函数解析式； 举一反三 返回 解：∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4)． 设抛物线L1的函数解析式为y＝a(x－0)2＋4. ∵AC＝16 m，∴结合二次函数图象的对称性得A(－8，0)， C(8，0)， 将C(8，0)的坐标代入y＝a(x－0)2＋4， 举一反三 (2)已知抛物线L3的函数解析式为y＝ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的长． 整理得x2－12x＋36＝0，(x－6)2＝0，解得x1＝x2＝6， ∵点M，N在L1上，MN∥AC，∴MN＝2×6＝12(m)． 返回 举一反三 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 课堂小结 谢谢观看 THANKS A， ∴解得 ∴函数关系式为y＝－x2＋60x. ∵y＝－x2＋60x，且－<0，∴当x＝－＝20时，y取得最大值，最大值为－×202＋60×20＝600，　 解得x1＝2＋，x2＝2－(舍去)， ∵2＋≈2.817， 得0＝64a＋4，则a＝－，∴y＝－x2＋4. － 解：由(1)得抛物线L1的函数解析式为y＝－x2＋4. ∵NQ⊥AC，抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－x2＋4－＝， $