27.2 反比例函数的图象和性质 能力诊断2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质 能力诊断2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 2．在下列函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 4．已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象在第二、四象限内 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．当时， 5．若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 7．如图，在平面直角坐标系中，为平行四边形，，，反比例函数的图象经过四边形的顶点，则的值是（    ） A． B．3 C．8 D． 8．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 12．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴、轴的平行线，若，则此反比例函数的解析式为______ ．    13．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 14．下列函数中，图象位于第一、三象限的有________；在图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_______． （1）；（2）；（3）；（4）． 15．如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 三、解答题 16．已知A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点． (1)求出m的值； (2)写出反比例函数的表达式，并画出图象． 17．大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点C，． （1）求点A的坐标与反比例函数的表达式． （2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为．若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）求的x的取值范围． 19．已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； (3)若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 20．【阅读材料】 解方程时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根． 【模仿练习】 （1）解方程． 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且． ①当时，求的值． ②是否存在这样的点，使符合条件的不存在？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出一个这样的点坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B A D D A C 1．【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象、分式有意义的条件、函数图象识别、用图象表示变量间的关系、求自变量的取值范围 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 2．【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：①，，则随的增大而增大； ②，，则随的增大而减小； ③，，则随的增大而减小； ④，，则在自变量范围内，随的增大而减小； ∴随的增大而减小的共有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．也考查了一次函数的性质． 3．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】根据确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质即可找出错误的结论． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，， 当或时，，当时，不能判断，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据确定比例系数的符号． 5．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图， ∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴， ∴，四边形是矩形， ∴； 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，相交于点P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵B（2，4）， ∴P的坐标（1，2）， ∵A（6，2）， ∴C的坐标为（-4，2）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k=-4×2=-8， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 8．【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＜0时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数y＝kx2−k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意； ②当k＞0时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数y＝kx2−k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求． 9．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 10．【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【详解】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 12．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在二、四象限可确定，进而得到解析式． 【详解】解：， ， 图象在二、四象限， ， ， 反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 13．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故答案为： 14．【答案】 （1）（2）（3） （4） 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】分别根据每个反比例函数的比例系数的符号确定其经过的象限和其增减性即可． 【详解】解：（1）的，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； （2）的，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； （3）的，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小； （4）的，图象位于二、四象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而增大； 故答案为：（1）（2）（3）；（4）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够根据反比例函数的比例系数的符号确定其所在的象限． 15．【答案】4 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 16．【答案】(1)-6 (2)y＝﹣，图见解析 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值； （2）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式，列表、连线可画出图象． 【详解】（1）解：∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2（m+3）=m， 解得m=﹣6； ∴m的值为-6； （2）解：由（1）知：m=﹣6， ∴B（3，-2）， 设反比例函数的表达式为：， 把B（3，-2）代入得：k=﹣6， ∴反比例函数的表达式为：， 列表： x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 y 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 描点，连线，反比例函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，函数图形的作图，关键在于掌握各项基本知识． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求解函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把，代入中得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 18．【答案】（1），；（2）存在，或；（3）或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）直线AB与x轴的交点，由，可求得点A的纵坐标，然后代入一次函数求得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求得反比例函数解析式． （2）结合题意可以求得的面积，然后设设点，然后用三角形的面积公式列等式，求解即可得出答案； （3）根据A、B点的坐标和图象得出答案． 【详解】解：（1）直线AB：与x轴的交点C， 令y＝0，则，解得：x＝﹣1， ∴点． 设， ∵，∴ ∴， ∴将点A代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， 设点，直线AB与y轴的交点为， 则， ∴或， ∴或 （3）∵一次函数与反比例函数交于点、B， ∴由图像可知：要使 ∴或 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19．【答案】(1) 证明：在二次函数中， ∵， ∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解； （3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （3）解：令，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时，或． 20．【答案】（1），；（2）①n的值为2；②存在，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次）、反比例函数与几何综合 【分析】（1）方程两边乘以x，整理为一元二次方程，求出方程的解，检验即可； （2）①当时，过B作轴，过C作轴，根据为等腰直角三角形，得到，，利用一线三等角得三角形全等，进而得到，，根据B的坐标及A的坐标表示出C的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值即可； ②存在A成立，写出满足题意A的一个坐标即可． 【详解】解：方程， 同时乘以x得：， 整理得：，即， 解得：，， 检验：把和分别代入得：， ∴，都为分式方程的解； （2）①过B作轴，过C作轴，可得， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 代入反比例解析式得：， 两边同时乘以n得：， 整理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 则n的值为2； ②存在A点，使符合条件的存在， 同理由①得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 当时，方程为，即， 分解因式得：， 解得：或 （不符合题意，舍去）， 此时A的坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：解分式方程，解一元二次方程，根的判别式，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握各自的解法及性质是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $