1.1 集合的概念课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·人教A版必修第一册　1.1　集合的概念　课时作业 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 课 时 作 业 （建议用时：45分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 【学习目标】 1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。 2．掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性，会判断一组对象能否构成集合。 3．记住常用数集的记法，能用列举法、描述法表示集合，并能在两种表示方法之间相互转化。 【知识梳理】 一、元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示。 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示。 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 图1　元素与集合的关系示意图 二、集合中元素的三个特性 特性 含义 举例 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的：任何一个对象是不是这个集合的元素，是确定的 “高一（1）班身高超过170 cm的同学”能构成集合；“高一（1）班个子高的同学”不能构成集合 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能重复出现 由1，2，2，3这几个数组成的集合是{1，2，3}，只有3个元素 无序性 集合中的元素没有先后顺序 {1，2，3}与{3，1，2}表示同一个集合 提醒：解决含有参数的集合问题时，求出参数的值以后，一定要代回原集合检验元素是否满足互异性，不满足的要舍去。 三、元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A。 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。 3．对于一个元素a与一个给定的集合A，a∈A与a∉A这两种情况必有一种成立，且只有一种成立。 四、常用数集及其记法 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意：0是自然数，所以0∈N，但0∉N*；，π都是无理数，所以∉Q，π∉Q，但它们都属于R。 五、集合的表示方法 1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，方程x²=1的所有实数根组成的集合可以表示为{-1，1}。 列举法适用于元素个数较少的集合；元素较多但有明显规律时，也可以用列举法，如{1，2，3，…，100}，元素之间用逗号隔开。 2．描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A | P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。 例如，不等式x-7<3的解集可以表示为{x∈R | x<10}；如果从上下文看x∈R是明确的，也可以简写为{x | x<10}。用数轴可以直观表示描述法给出的数集，如集合{x | -1<x≤3}可表示为图2（实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点）。 图2　集合{x | -1<x≤3}在数轴上的表示 3．用描述法表示集合时，要特别注意“代表元素”是什么： {x | y=x²+1}表示函数自变量x的取值集合，即全体实数；{y | y=x²+1}表示y的取值集合，由x²≥0得y≥1，即{y | y≥1}；{(x，y) | y=x²+1}表示抛物线y=x²+1上所有点组成的集合，是点集。 六、易错提醒 （1）0与{0}不同：0是一个数（元素），{0}是含有一个元素0的集合，有0∈{0}。 （2）{(1，2)}与{1，2}不同：前者表示含有一个点(1，2)的点集，后者表示含有两个数1和2的数集。 （3）集合中的元素可以是数、点，也可以是图形、人、物等任何确定的对象；集合本身也可以作为另一个集合的元素。 【典型例题】 例1　判断下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，指出集合中的元素： （1）所有很大的正数；（2）方程x²-4=0的所有实数根；（3）我国古代的四大发明；（4）平面直角坐标系中第一象限内的所有点。 【解析】（1）“很大的正数”没有明确的标准，对象不确定，不能构成集合。 （2）方程x²-4=0的实数根为-2和2，能构成集合，元素是-2，2。 （3）我国古代四大发明是造纸术、指南针、火药、印刷术，能构成集合，元素是这四项发明。 （4）第一象限内的点(x，y)满足x>0且y>0，标准明确，能构成集合，元素是第一象限内的所有点。 【方法总结】判断一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否具有明确的判断标准（确定性）。“很大”“较小”“接近”“著名”等模糊词语描述的对象一般不能构成集合。 例2　已知集合A={a+2，a²-a+1，2a+1}，若3∈A，求实数a的值。 【解析】因为3∈A，所以分以下三种情况讨论： ①若a+2=3，则a=1，此时2a+1=3，a²-a+1=1，集合A中有两个元素都等于3，不满足互异性，舍去； ②若a²-a+1=3，即a²-a-2=0，解得a=2或a=-1。当a=2时，A={4，3，5}，满足题意；当a=-1时，A={1，3，-1}，满足题意； ③若2a+1=3，则a=1，由①知不满足互异性，舍去。 综上所述，a=2或a=-1。 【方法总结】已知元素属于集合求参数时，先按元素逐一分类讨论列方程求解，再把求得的参数值代回检验互异性，这是此类问题最容易丢分的地方。 例3　用适当的方法表示下列集合： （1）方程x²-5x+6=0的所有实数根组成的集合； （2）所有被3除余1的整数组成的集合； （3）由方程x+y=3与x-y=1组成的方程组的解集。 【解析】（1）解方程得x=2或x=3，用列举法表示为{2，3}。 （2）被3除余1的整数可以写成3k+1（k∈Z）的形式，有无限多个，用描述法表示为{x | x=3k+1，k∈Z}。 （3）解方程组得x=2，y=1，方程组的解是一组有序实数对，因此解集为{(2，1)}，不能写成{2，1}或{x=2，y=1}。 【方法总结】元素个数少的有限集宜用列举法；无限集或元素较多的集合宜用描述法。方程组的解集是点集，元素要写成有序数对的形式。 【课时作业】 A组　基础巩固 一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．某校高一年级视力较好的同学 B．接近于0的实数 C．方程x²-9=0的所有实数根 D．著名的数学家 2．下列关系中，正确的是（　　） A．∉Q B．-3∈N C．∈Z D．0∈N* 3．集合{x∈N | x-3<2}用列举法表示为（　　） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 4．已知集合A={x | x²-2x-3=0}，则下列关系正确的是（　　） A．3∉A B．1∈A C．-3∈A D．-1∈A 5．若集合M={a，b，c}中的三个元素是△ABC的三条边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 6．已知集合A={-1，0，1，2}，B={z | z=xy，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（　　） A．4 B．5 C．7 D．6 二、多项选择题（每小题有多个选项符合题目要求） 7．下列说法正确的是（　　） A．由1，2，3，2组成的集合中有4个元素 B．集合{1，2}与集合{2，1}是同一个集合 C．0∈N D．集合{(1，2)}与集合{(2，1)}是同一个集合 8．已知x，y均为非零实数，代数式+-的所有可能取值组成的集合为M，则下列判断正确的是（　　） A．1∈M B．-1∈M C．-3∈M D．M中有3个元素 三、填空题 9．用符号“∈”或“∉”填空：________Q；-2________N；π________R；________Z。 10．已知集合A={x∈Z | -2<x≤3}，则集合A中元素的个数为________。 11．若2∈{1，a，a²-a}，则实数a=________。 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．用适当的方法表示下列集合： （1）小于10的所有正偶数组成的集合； （2）方程x(x-1)²=0的所有实数根组成的集合； （3）不等式3x-2≥x+4的解集； （4）平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合。 13．已知集合A={a+2，a²+2a，6}，且3∈A。 （1）求实数a的值； （2）用列举法写出集合A。 B组　能力提升 五、单项选择题 14．已知集合A={1，2}，B={0，2}，定义集合A※B={z | z=xy，x∈A，y∈B}，则集合A※B中所有元素之和为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 15．若集合{x | x²+ax+b=0}中只有一个元素2，则a+b的值为（　　） A．-4 B．4 C．8 D．0 六、多项选择题 16．已知集合A={x | x=3m+1，m∈Z}，B={x | x=3n+2，n∈Z}，若a∈A，b∈B，则下列结论正确的是（　　） A．a+b∈A B．ab∈B C．a-b∈B D．2a∈B 七、填空题 17．用列举法表示集合A={x∈N | ∈Z}为________________。 八、解答题 18．已知集合A={x | mx²-3x+2=0，m∈R}。 （1）若1∈A，求实数m的值，并用列举法表示集合A； （2）若集合A中至多有一个元素，求实数m的取值范围。 19．设S是由满足下列条件的实数构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则∈S。 （1）若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素； （2）求证：若a∈S，则1-∈S； （3）集合S中的元素能不能只有一个？请说明理由。 【答案及解析】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 答案 C A B D C D BC AC B D BCD 1．【答案】C 【解析】A，B，D中的对象都没有明确的判断标准，不满足确定性，不能构成集合；C中方程x²-9=0的实数根为-3和3，可以构成集合{-3，3}。故选C。 2．【答案】A 【解析】是无理数，所以∉Q，A正确；-3是负数，不是自然数，B错误；不是整数，C错误；0不是正整数，D错误。故选A。 3．【答案】B 【解析】由x-3<2得x<5，又x∈N，所以x可以取0，1，2，3，4，即集合为{0，1，2，3，4}。注意0是自然数，不要漏掉。故选B。 4．【答案】D 【解析】解方程x²-2x-3=0，即(x-3)(x+1)=0，得x=3或x=-1，所以A={-1，3}。因此3∈A，1∉A，-3∉A，-1∈A。故选D。 5．【答案】C 【解析】由集合中元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC的任意两条边都不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形。故选C。 6．【答案】D 【解析】x，y分别从A中取值，乘积xy的所有可能值为：(-1)×(-1)=1，(-1)×1=-1，(-1)×2=-2，1×1=1，1×2=2，2×2=4，以及含0的乘积0。 根据互异性，B={-2，-1，0，1，2，4}，共6个元素。故选D。 7．【答案】BC 【解析】A：由互异性知，由1，2，3，2组成的集合为{1，2，3}，只有3个元素，A错误； B：由无序性知，{1，2}与{2，1}是同一个集合，B正确； C：0是自然数，0∈N，C正确； D：(1，2)与(2，1)是坐标平面内两个不同的点，所以两个集合不相等，D错误。故选BC。 8．【答案】AC 【解析】分四种情况讨论： ①x>0，y>0时，原式=1+1-1=1；②x>0，y<0时，xy<0，原式=1+(-1)-(-1)=1； ③x<0，y>0时，xy<0，原式=-1+1-(-1)=1；④x<0，y<0时，xy>0，原式=-1+(-1)-1=-3。 所以M={1，-3}，有1∈M，-1∉M，-3∈M，M中有2个元素。故选AC。 9．【答案】∈；∉；∈；∈ 【解析】是分数，属于有理数集；-2是负整数，不是自然数；π是无理数，属于实数集；=3是整数，所以∈Z。注意不要被根号“迷惑”，先化简再判断。 10．【答案】5 【解析】满足-2<x≤3的整数有-1，0，1，2，3，所以A={-1，0，1，2，3}，共5个元素。 11．【答案】-1 【解析】若a=2，则a²-a=2，集合中有两个元素都等于2，不满足互异性，舍去； 若a²-a=2，即a²-a-2=0，解得a=2（舍去）或a=-1，此时集合为{1，-1，2}，满足题意。所以a=-1。 12．【解】（1）小于10的正偶数有2，4，6，8，用列举法表示为{2，4，6，8}。 （2）方程x(x-1)²=0的根为x=0或x=1（x=1是二重根，但在集合中只写一次），所以集合为{0，1}。 （3）由3x-2≥x+4得2x≥6，即x≥3，所以解集为{x | x≥3}。 （4）第二象限内的点(x，y)满足x<0，y>0，所以集合为{(x，y) | x<0，y>0}，如下图阴影部分（不含坐标轴）。 13．【解】（1）因为3∈A，所以a+2=3或a²+2a=3。 ①若a+2=3，则a=1，此时a²+2a=3，集合A中有两个元素都等于3，不满足互异性，舍去； ②若a²+2a=3，即a²+2a-3=0，解得a=1（舍去）或a=-3。当a=-3时，a+2=-1，a²+2a=3，三个元素-1，3，6互不相同，满足题意。 所以a=-3。 （2）由（1）知a=-3，所以A={-1，3，6}。 14．【答案】B 【解析】x∈{1，2}，y∈{0，2}，乘积xy的可能值为1×0=0，1×2=2，2×0=0，2×2=4。由互异性得A※B={0，2，4}，所有元素之和为0+2+4=6。故选B。 15．【答案】D 【解析】集合中只有一个元素2，说明方程x²+ax+b=0有两个相等的实数根x=2，所以x²+ax+b=(x-2)²=x²-4x+4，比较系数得a=-4，b=4，所以a+b=0。故选D。 16．【答案】BCD 【解析】设a=3m+1，b=3n+2（m，n∈Z）。 A：a+b=3(m+n)+3=3(m+n+1)，是3的倍数，不是被3除余1的数，所以a+b∉A，A错误； B：ab=(3m+1)(3n+2)=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2，而3mn+2m+n∈Z，所以ab∈B，B正确； C：a-b=3(m-n)-1=3(m-n-1)+2，m-n-1∈Z，所以a-b∈B，C正确； D：2a=6m+2=3·2m+2，2m∈Z，所以2a∈B，D正确。故选BCD。 17．【答案】{0，1，2，4，5，6，9} 【解析】由∈Z知，3-x是6的约数，所以3-x可以取±1，±2，±3，±6，对应x=2，4，1，5，0，6，-3，9。 又x∈N，所以x=-3舍去，故A={0，1，2，4，5，6，9}。 18．【解】（1）因为1∈A，所以m×1²-3×1+2=0，解得m=1。 此时方程为x²-3x+2=0，解得x=1或x=2，所以A={1，2}。 （2）①当m=0时，方程为-3x+2=0，解得x=，此时A={}，只有一个元素，符合题意； ②当m≠0时，方程mx²-3x+2=0是一元二次方程。A中至多有一个元素，即方程至多有一个实数根（有两个相等实根或无实根），所以Δ=(-3)²-4×2m=9-8m≤0，解得m≥。 综上，实数m的取值范围是{m | m=0或m≥}。 易错点：二次项系数含参数时，一定要先讨论二次项系数是否为0，否则会漏掉m=0这种情况。 19．【解】（1）因为2∈S，且2≠1，所以=-1∈S； 因为-1∈S，所以=∈S； 因为∈S，所以=2∈S。 所以S中另外两个元素为-1和。 （2）证明：因为a∈S，由①知a≠1，由条件②得∈S。若a=0，则=1∈S，与①矛盾，所以a≠0。 再由条件②得∈S，而====1-，所以1-∈S。 （3）不能。理由如下：假设集合S中只有一个元素a，则a=，即a-a²=1，整理得a²-a+1=0。 因为Δ=(-1)²-4×1×1=-3<0，所以此方程没有实数根，即不存在这样的实数a，假设不成立。 所以集合S中的元素不能只有一个。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $