4.2 线段的垂直平分线 课时作业 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

青岛版 八年级上册 · 4.2　线段的垂直平分线　课时作业 第四章　图形的轴对称 4.2　线段的垂直平分线　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　得分：________ 学习目标 1．理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理． 2．会用尺规作已知线段的垂直平分线． 3．能运用线段垂直平分线的性质与判定解决线段相等、角的计算和简单的实际问题． 一、知识梳理 1．定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）．线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴． 2．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 　　几何语言：∵直线l垂直平分线段AB，点P在l上，∴PA=PB． 3．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 　　几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． 4．线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的所有点的集合． 5．尺规作图：分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线． 6．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等． 方法提醒：遇到线段垂直平分线，常连接垂直平分线上的点与线段两端点，把线段进行“等量转移”，这是求三角形周长问题的关键． 二、基础过关 （一）选择题 1．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，若PA=5，则PB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 2．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长是（　　） A．16 cm B．19 cm C．22 cm D．25 cm 4．下列条件中，能判定点P在线段AB的垂直平分线上的是（　　） A．PA=PB B．PA⊥AB C．PA=AB D．点P到直线AB的距离等于AB 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD．若∠B=25°，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．40° C．45° D．50° 6．用尺规作线段AB的垂直平分线时，分别以A，B为圆心画弧，所取的半径应（　　） A．等于AB B．小于AB C．大于AB D．可以任意取 7．在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．点O是BC的中点 B．点O在BC的垂直平分线上 C．OB=AC D．点O在△ABC的内部 8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MD交BC于点D，AC的垂直平分线NE交BC于点E．若BC=10，则△ADE的周长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 （二）填空题 9．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________． 10．如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O．若AC=4，BD=3，则四边形ACBD的周长为________． 11．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则△ABD的周长为________． 12．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=2x+1，PB=x+4，则x=________． 13．如图（第8题图），若∠BAC=110°，则∠DAE=________°． 14．平面内到点A，B距离相等的所有点组成的图形是______________________． 15．如图（第5题图），若CD=3，BD=5，则AD=________，BC=________． 16．△ABC的三边的垂直平分线交于点O，若OA=5，则OB+OC=________． （三）解答题 17．如图，已知线段AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，并写出作法）． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，点E在AD上，连接EB，EC．求证：AB=AC，EB=EC． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的内部，且DB=DC．求证：直线AD垂直平分BC． 20．如图，A，B，C是三个村庄，现要修建一个水站，使它到三个村庄的距离都相等，水站应建在何处？请画出图形（尺规作图，保留作图痕迹）． 21．如图（第5题图），在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，且∠CAD∶∠DAB=1∶2，求∠B的度数． 三、能力提升 22．如图，在锐角△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC．若∠BAC=50°，则∠BOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 23．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D．若△DBC的周长为17，则AB的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．17 24．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E．若∠ABD=35°，则∠BAD=________°． 25．已知线段AB=8，在平面内到点A，B的距离都等于5的点有________个． 26．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接CE，CE平分∠ACB．若∠B=40°，求∠A和∠AEC的度数． 27．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠FAC=∠B． 四、拓展探究 28．如图（第8题图），在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． (1) 若∠BAC=100°，求∠DAE的度数； (2) 若∠BAC=α（90°<α<180°），用含α的式子表示∠DAE； (3) 若BC=12，求△ADE的周长． 29．如图，在公路l的同侧有A，B两个村庄． (1) 若要在公路l上修建一个车站P，使车站到两村的距离相等，车站P应建在何处？请作图说明； (2) 若要在公路l上修建一个车站Q，使车站到两村的距离之和最短，车站Q应建在何处？请作图说明． 五、课堂小测（限时10分钟） 30．如图（第1题图），直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，下列结论中错误的是（　　） A．PA=PB B．AO=BO C．l⊥AB D．PA=AB 31．在△ABC中，AB=5，AC=7，BC的垂直平分线交AC于点D，则△ABD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．17 32．已知点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB=50°，则∠APB=________°． 33．如图（第5题图），在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，若AD平分∠CAB，则∠B=________°． 34．如图（第26题图），若AB=8，AC=5，求△ACE的周长． 六、参考答案与解析 （一）选择题 1．C　解析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，PB=PA=5． 2．D 3．B　解析：DE垂直平分AC，所以AD=CD，AC=2AE=6 cm．△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13 cm，所以△ABC的周长=13+6=19（cm）． 4．A　解析：由线段垂直平分线的判定定理可知． 5．B　解析：DA=DB，所以∠DAB=∠B=25°；∠CAB=90°-25°=65°，所以∠CAD=65°-25°=40°． 6．C　解析：半径小于或等于AB时，两弧没有两个交点． 7．B　解析：OA=OB，OA=OC，所以OB=OC，点O在BC的垂直平分线上． 8．B　解析：DA=DB，EA=EC，△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10． （二）填空题 9．相等　　10．14（CA=CB=4，DA=DB=3）　　11．14（BD=CD，周长=AB+AC）　　12．3 13．40　解析：∠B+∠C=70°，∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，所以∠DAE=110°-70°=40°． 14．线段AB的垂直平分线　　15．5，8　　16．10 （三）解答题 17．作法：(1) 分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；(2) 作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． 18．证明：∵AD⊥BC，BD=CD，∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线．∵点A，E都在这条直线上，∴AB=AC，EB=EC． 19．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上；∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴直线AD垂直平分BC． 20．解：连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O就是水站的位置．理由：点O到A，B，C三点的距离都相等． 21．解：设∠CAD=x，则∠DAB=2x．∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∠B=∠DAB=2x．在Rt△ABC中，∠B+∠CAB=90°，即2x+3x=90°，解得x=18°，所以∠B=36°． （四）能力提升 22．C　解析：OA=OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=2∠BAC=100°． 23．B　解析：DA=DB，△DBC的周长=DB+DC+BC=AD+DC+BC=AC+5=17，AC=12，所以AB=12． 24．110　解析：AC垂直平分BD，所以AB=AD，∠BAE=∠DAE=90°-35°=55°，∠BAD=110°． 25．2　解析：这样的点在线段AB的垂直平分线上，且在AB的两侧各有一个． 26．解：∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，∠ECB=∠B=40°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=80°，∴∠A=180°-40°-80°=60°，∠AEC=∠B+∠ECB=80°． 27．证明：∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA．∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B． （五）拓展探究 28．解：(1) ∠B+∠C=80°，DA=DB，EA=EC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAE=100°-80°=20°． (2) ∠DAE=α-(180°-α)=2α-180°． (3) △ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=12． 29．解：(1) 连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点就是车站P的位置（PA=PB）． (2) 作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点Q，点Q就是车站的位置（QA+QB=A′B最短）． （六）课堂小测 30．D　　31．B（周长=AB+AC=12）　　32．80　　33．30（∠B=∠DAB=∠CAD，3∠B=90°） 34．解：∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，△ACE的周长=AE+EC+AC=AE+EB+AC=AB+AC=13． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $