第二十五章　一元二次方程【章末复习】 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 章末复习 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 第二十五章 一元二次方程 章末复习专项练习（人教版九年级上册） ## 知识框架 ### 1. 一元二次方程定义 只含有**一个未知数**\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)未知数最高次数是**2**\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)且二次项系数不为0的整式方程。 一般形式：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a eq0)}$ ### 2. 四种解法（优先顺序） 1. **因式分解法**：右边化为0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)左边分解\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$A\cdot \(B=0\)\Rightarrow A=0$或$\(B=0\)$ 2. **直接开平方法**：形如$(x+m)^2=p\ (p\ge0)$ 3. **配方法**：化二次项系数为1\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)两边加一次项系数一半的平方\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)化为完全平方 4. **公式法**：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)前提$\Delta=b^2-4ac\ge0$ ### 3. 根的判别式$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$ - $\Delta>0$：两个不相等实数根 - $\Delta=0$：两个相等实数根 - $\Delta<0$：无实数根 ### 4. 根与系数关系（韦达定理\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$\Delta\ge0,a eq0$） $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ 常用变形： $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2,\quad \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ ### 5. 实际应用题模型 1. 几何面积：平移法\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)检验边长>0 2. 传播问题：两轮传播：$(1+x)^2=\text{总数}$ 3. 增长率/下降率：$a(1\pm x)^2=b$ 4. 循环问题：单循环$\dfrac{n(n-1)}{2}$；双循环$n(n-1)$ 5. 数字问题：两位数$\(10a+b\)$ > 易错点汇总 1. $ax^2+bx+c=0$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)必须强调$\boldsymbol{a eq0}$才是一元二次方程； 2. 解方程时\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)**不能直接两边同除含未知数的式子\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)容易丢根**； 3. 应用题求出的根\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)要结合实际意义取舍（负数\(6\(-8、-6\)8\)超出范围舍去）； 4. 韦达定理求参数\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)最后**必须检验判别式$\Delta\ge0$**。 --- ## 一\(6\(-8、-6\)8\)选择题（每题4分\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)共20分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $\(x+2y=1\)$　B. $x^2-2x+1=0$ C. $x+\dfrac1x=3$　D. $x^3+x=0$ 2. 一元二次方程$x^2-6x+5=0$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)配方后正确的是（） A. $(x-3)^2=4$　B. $(x-3)^2=14$ C. $(x+3)^2=4$　D. $(x-6)^2=31$ 3. 方程$2x^2-4x+3=0$根的情况是（） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 已知方程$x^2-4x-3=0$两根$x_1,x_2$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)则$x_1+x_2$的值为（） A. $-4$　B. $4$　C. $-3$　D. $3$ 5. 篮球联赛单循环\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)共比赛45场\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)设球队$n$支\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)方程为（） A. $\dfrac{n(n-1)}{2}=45$　B. $n(n-1)=45$ C. $\dfrac{n(n+1)}{2}=45$　D. $\(n(n+1)=45\)$ ## 二\(6\(-8、-6\)8\)填空题（每题4分\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)共20分） 6. 方程$x^2-9=0$的根是________________。 7. 若关于$x$方程$(m-2)x^{m^2-2}+3x-1=0$是一元二次方程\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)则$\(m=\)$____。 8. 方程$x^2-5x+2=0$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)两根之积$x_1x_2=$________。 9. 某商品原价200元\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)连续两次降价\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)百分率$x$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)现价128元\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)列方程：________。 10. 两个连续偶数的积为48\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)则这两个偶数是________________。 ## 三\(6\(-8、-6\)8\)解答题（共60分） 11.（12分）选用合适方法解方程： ① $x^2-5x=0$ ② $2x^2-4x-1=0$（公式法） 12.（12分）已知方程$x^2-4x+k=0$有两个实数根。 （1）求$k$的取值范围； （2）若方程一根是$3$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)求另一根与$k$的值。 13.（12分）一块矩形场地长40m\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)宽26m\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)内部修等宽十字小路\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)余下面积864m²\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)求小路宽。 14.（12分）某工厂一月份产量50吨\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)三月份产量72吨\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)二\(6\(-8、-6\)8\)三月月平均增长率相同\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)求月平均增长率。 15.（12分）聚会中每两人握手一次\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)一共握手66次\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)求参加聚会人数。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. B 解析：A二元一次；C分式方程；D三次方程。 2. A 解析：$x^2-6x=-5$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)两边加9\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$(x-3)^2=4$。 3. C 解析：$\Delta=(-4)^2-4\times2\times3=16-24=-8<0$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)无实根。 4. B 解析：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4$。 5. A 解析：单循环\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)除以2。 ### 填空题 6. $x_1=3\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)x_2=-3$ 7. $-2$ 解析：$\begin{cases}m^2-2=2\\m-2 eq0\end{cases}\Rightarrow \(m=\)-2$ 8. $2$ 9. $200(1-x)^2=128$ 10. $6\(6\(-8、-6\)8\)8$或$-8\(6\(-8、-6\)8\)-6$ ### 解答题 11. ① $x^2-5x=0$ 因式分解：$x(x-5)=0$ $\boldsymbol{x_1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)x_2=5}$ ② $2x^2-4x-1=0$ $a=2,b=-4,c=-1$ $\Delta=16+8=24>0$ $$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt6}{4}=\frac{2\pm\sqrt6}{2}$$ $\boldsymbol{x_1=\dfrac{2+\sqrt6}{2},\ x_2=\dfrac{2-\sqrt6}{2}}$ 12. 解：(1) 方程有两个实数根\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$\Delta\ge0$ $$\Delta=(-4)^2-4k\ge0 \Rightarrow 16-4k\ge0$$ $\boldsymbol{k\le4}$ (2) 设另一根为$x_2$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)由韦达定理\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$3+x_2=4$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)得$x_2=1$。 两根之积$\(k=3\)\times1=3$。 答：另一根为1\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$\(k=3\)$。 13. 解：设小路宽$x\ \text{m}$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)平移小路\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)种植区域长$(40-x)$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)宽$(26-x)$ $$ \begin{align*} (40-x)(26-x)&=864\\ x^2-66x+176&=0\\ (x-2)(x-64)&=0 \end{align*} $$ $x_1=2\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)x_2=64$（大于40\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)舍去） 答：小路宽2m。 14. 解：设月平均增长率为$x$ $$ \begin{align*} 50(1+x)^2&=72\\ (1+x)^2&=1.44\\ 1+x&=1.2 \end{align*} $$ $x_1=0.2=20\%$\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)$x_2=-2.2$舍去。 答：月平均增长率20%。 15. 解：设参加聚会$n$人\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)握手为单循环 $$ \begin{align*} \dfrac{n(n-1)}{2}&=66\\ n^2-n-132&=0\\ (n-12)(n+11)&=0 \end{align*} $$ $n_1=12\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)n_2=-11$舍去。 答：参加聚会共12人。 > 章末小结：本章重点是一元二次方程的四种解法\(6\(-8、-6\)8\)判别式\(6\(-8、-6\)8\)韦达定理\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)以及五大类应用题。做题时\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(x_1=2\(n_1=12，n_2=-11\)x_2=64\)x_2=5}\)x_2=-3\)先观察方程特点选择简便解法；应用题一定要检验解是否符合实际。 你想要**纯题目无答案版本**（直接打印）吗？或者需要再做一套同难度的单元检测卷（带分值和答题卡格式）？ Δ＝b2－4ac 情境导入 复习目标 1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. 2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. 3.列一元二次方程解决实际问题． 4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用. 本章知识结构图 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x = 实际问题的答案 设未知数，列方程 解方程 降 次 配方法 公式法 因式分解法 复习回顾 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一般形式： ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 知识点2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 知识点3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 知识点5 一元二次方程的应用 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 一元二次方程几种常见问题： 知识点5 一元二次方程的应用 一元二次方程几种常见问题： 1.数字问题 2.几何图形问题 3.传播问题 4.平均变化率问题 5.循环问题 6.销售问题 1.解下列方程： （1）64x2–1=0； （2）4x2+12x+9=81； 解：移项，得 64x2=1. 直接开平方，得 8x=±1. 所以 x1= ，x2= – . 解：移项，二次项系数化为1，得 x2+3x–18=0. 左边分解因式，得(x+6)(x–3)=0. 于是 x+6=0，或 x–3=0， x1= –6 ，x2= 3. 当堂检测 （3）x2–7x–1=0； （4）2x2+3x=3； 解：因为 a=1，b= – 7，c= – 1. 所以 Δ=b2– 4ac=(–7)2– 4×1× (–1)=53>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 解：原方程可化为 2x2+3x–3=0， 此时a=2，b=3，c= – 3. 所以 Δ=b2– 4ac=32– 4×2×(–3)= 33>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 当堂检测 （5）x2–2x+1=25； （6）x(2x–5)=4x–10； 解：移项，得 x2–2x–24=0. 左边分解因式，得(x–6)(x+4)=0. 于是 x–6=0，或 x+4=0， 所以 x1= 6 ，x2= – 4. 解：原方程可化为 (2x–5)(x–2)=0. 于是 2x–5=0，或 x–2=0， 所以 x1= ，x2= 2. 当堂检测 （7）x2+5x+7=3x+11； （6）1–4x+16x2=2–8x . 解：原方程可化为 x2+2x – 4=0. 因为 a=1，b=2，c= – 4. 所以 Δ=b2– 4ac=22– 4×1×(–4) =20>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = = – 1±， 即 x1= –1+，x2= –1 – . 解：原方程可化为 16x2+4x–1=0， 此时a=16，b=4，c= –1. 所以 Δ=b2– 4ac=42– 4×16×(–1)= 80>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= . 当堂检测 2. 解决第2页的问题1. 当堂检测 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 (100−2x)(50−2x)=3600. 整理并化简，得x2−75x+350=0，因式分解，得(x–5)(x–70)=0. 于是x−5=0，或 x–70=0，所以 x1=5，x2=70（舍去）. 答：矩形铁皮各角应切去边长为 5 cm 的正方形铁皮. 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm 当堂检测 3.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数. 解：设其中一个数为 x，则另一个数为 8−x. 根据题意，得x(8−x)=9.75， 整理，得 x2−8x+9.75=0， 解得 x1=6.5，x2=1.5. 当 x=6.5 时，8− x = 1.5； 当 x=1.5 时，8− x = 6.5. 答：这两个数分别是 6.5 和 1.5 . 当堂检测 4.一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为4，求两条对角线的长. 解：设菱形的两条对角线的长分别为 x，x+2， 由菱形的性质，可知 x(x+2)=4. 解方程，得 x1=2，x2= −4（不合题意，舍去）. 答：菱形的两条对角线的长分别为 2，4. 当堂检测 5.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–5x–10=0； （2）2x2+7x+1=0； 解：（1）x1+x2 = – (–5) = 5，x1x2 = – 10. （3）3x2–1=2x+5； （4）x(x–1)=3x+7. （2）x1+x2 = – ，x1x2 = . （3）方程化为 3x2–2x–6=0，所以 x1+x2= – =，x1x2 = = –2. （4）方程化为 x2–4x–7=0，所以 x1+x2=4，x1x2 = –7. 当堂检测 6.已知关于 x 的方程 2x2–(4k+1)x+2k2–1=0，当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？ 综合运用 解：由题可知，a=2，b= – (4k+1)，c=2k2–1. 由根的判别式，得Δ=b2–4ac=(4k+1)2–4×2×(2k2–1)=8k+9. 所以，当 8k+9>0，即 k > – 时，方程有两个不相等的实数根； 当 8k+9=0，即 k= – 时，方程有两个相等的实数根； 当 8k+9<0，即 k < – 时，方程没有实数根. 当堂检测 7.一个直角梯形的下底比上底长 2cm，高比上底短 1cm，面积是 8cm2.画出这个梯形. 解：设梯形的上底长为 x cm， 则其下底长为(x+2)cm，高为(x–1)cm. 根据题意，得 [x+(x+2)](x–1)=8， 整理，得 x2=9. 解得x1=3，x2= –3（不合题意，舍去）. 所以 x=3，x+2=5，x–1=2. 画出这个直角梯形如图所示. 当堂检测 8.一个长方体的长与宽的比为 5∶2，高为 5cm，表面积为40cm2.画出这个长方体的展开图. 解：设这个长方体的长为 5x cm，则宽为 2x cm. 根据题意，得2(5x·5+2x·5+5x·2x)=40，整理，得2x2+7x–4=0， 解得 x1= ，x2= –4. 因为长方体的边长不能为负数， 所以 x = –4不合题意，舍去，所以 x = . 所以这个长方体的长为 5x=2.5（cm），宽为 2x=1（cm）. 当堂检测 所以这个长方体的展开图如图所示. （注意：长方体的侧面展开图不唯一，可由题意自行画出） 当堂检测 9.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 个球队参加比赛. 由题意，可知 x(x–1)=15，x2–x–30=0， 解得 x1=6，x2= –5（不合题意，舍去）. 所以 x = 6. 答：应邀请6个球队参加比赛. 当堂检测 10.如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用 20m 长的篱笆围成一个面积为 48 m2 的矩形菜园？ 解：设与墙垂直的篱笆长为 x m，则与墙平行的篱笆长为 (20–2x) m. 根据题意，得 x(20–2x)=48， 整理，得 x2–10x+24=0， 解得 x1=6，x2=4，所以 20–2x=8或12. 答：用 20m 长的篱笆围成一个长为 8m，宽为 6m 的矩形或长为 12m，宽为 4m. 当堂检测 11. 某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由1.75% 降至 1.50%.平均每次降息的百分率是多少（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）？ 解：设平均每次降息的百分率为 x. 根据题意，得 1.75%(1–x)2=1.50%. 整理，得 (1–x)2= ，解得 x1≈0.0742，x2≈1.9258. 因为降息的百分率不能大于1，所以 x≈1.9258不合题意，舍去. 所以 x≈0.0742=7.42%. 答：平均每次降息的百分率约是7.42%. 当堂检测 12. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）. 解：设人均收入的年平均增长率为 x. 由题意，可知 18000(1+x)2=21000，解得x=± –1， 所以 x1≈0.0801，x2≈ – 2.1. 又因为 x= – 2.1 不合题意，舍去， 所以 x=8.01%. 答：人均收入的年平均增长率为8.01%. 当堂检测 拓广探索 13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？ （1）你能解决这个问题吗？ 解：由题意，得第1行共有1束；前2行共有1+2=3束；前3行共有1+2+3=6束；⋯ 所以前n行共有1+2+3+⋯+(n–2)+(n–1)+n=n(n+1)束. 当n=8时，n(n+1)=36束. 当堂检测 （2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第 n 行有 n 束……你能发现从上往下前行的数的和是 300 吗？（提 示：1+2+3+ ⋯ +(n–2)+(n–1)+n=n(n+1).） 解：当 n(n+1)=300时，解得x1=24，x2= –25（不合题意，舍去）. 所以，从上往下数，前24行的束数的和是300. 当堂检测 14. 一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动. （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动 5m 用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ （提示：匀速直线运动中，每个时间段内的平均速度 =（初速度与末速度的算术平均数）与路程 l ，时间 t 的关系为 l=vt.） 当堂检测 解：（1）5÷4=1.25（m/s）. 答：小球的滚动速度平均每秒减少 1.25 m/s. （2）设小球滚动 5 m 用了t s， 则可列方程 ·t =5，解得 t=4±2. 因为 t<4，所以 t=4–2≈1.2. 答：小球滚动 5 m 约用了1.2 s. 当堂检测 1. 返回 下列方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B． ＋x－1＝0 C．2x2－9＝0 D．x2＝(x－1)(x－2) C 考点1　一元二次方程及相关概念 考试考法 32 返回 2. 若关于x的一元二次方程(k－3)x2－5x＋k2－9＝0的一个解为x＝0，则k＝________． －3 考试考法 返回 3. 【新考法 逆向思维法】已知方程x2－6x＋4＝□，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x－p)2＝7的形式，则印刷不清楚的数字是(　　) A．6 B．9 C．2 D．－2 C 考点2　一元二次方程的解法 考试考法 返回 4. 如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为(　　) C 考试考法 解下列方程： (1)(2x－1)2＝49； 返回 5. 解：直接开平方，得2x－1＝±7. ∴x1＝4，x2＝－3. (2)x2＋2x－1＝0； 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2. 考试考法 返回 考试考法 (4)3x(x－1)＝2－2x. 返回 解：移项，得3x(x－1)＋2x－2＝0. 因式分解，得(x－1)(3x＋2)＝0， ∴x－1＝0或3x＋2＝0， ∴x1＝1，x2＝ 考试考法 [北京中考]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 返回 6. C 考点3　一元二次方程根的判别式 考试考法 返回 7. [广州中考]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 考试考法 返回 8. 【新视角 条件开放题】[南通中考]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________________. 0(答案不唯一) 考试考法 返回 9. 【新视角 新定义题】[保定高碑店期中]若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称该方程为“归一方程”．例如：x2－4x＋3＝0就是“归一方程”． (1)一元二次方程2x2＋x－3＝0________“归一方程”；(填“是”或“不是”) 是 考试考法 42 (2)若关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求a和c的值． 返回 解：∵ax2－4x＋c＝0为“归一方程”， ∴ax2－4x＋c＝0有一个实数根为1， ∴a－4＋c＝0，∴c＝4－a. ∵方程ax2－4x＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4ac＝(－4)2－4a(4－a)＝0，整理， 得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2，∴c＝4－2＝2. 考试考法 返回 10. [乐山中考]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 C 考点4　一元二次方程的根与系数的关系 考试考法 44 返回 11. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) C 考试考法 45 返回 12. 若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则(1)a＋b的值为________； 4 1 考试考法 46 13. 毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A．40 B．30 C．29 D．39 B 返回 考点5　一元二次方程的实际应用 考试考法 14. [威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm. 返回 考试考法 15. 某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 返回 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意，得125(1－x)2＝80， 解得x＝0.2＝20%或x＝1.8(舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 考试考法 返回 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件， 由题意，得(125－25×2)m＋80(100－m)≤7 800， ∴75m＋8 000－80m≤7 800， 解得m≥40. 答：最少购进40件甲种商品． (2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 考试考法 谢谢观看 THANKS － ②x＝(b2－4ac≥0)　 A．＋1 B．－＋1 C．＋1或－＋1 D．无法确定 开平方，得x＋1＝±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)x2－x－＝0； 解：∵a＝1，b＝－，c＝－， ∴Δ＝(－)2－4×1×＝4>0， ∴x＝，即x1＝，x2＝. －. A. B．2 C． D．2 (2)＋的值为________． $