25.2.3 因式分解法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.2.3 因式分解法 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.2.3 因式分解法 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 因式分解法解一元二次方程的核心思想：**降次**。 原理：若 \(A\cdot B=0\)，则 \(A=0\) 或 \(B=0\)。 解题步骤： 1. 移项，把方程整理成**右边为0**的形式； 2. 将方程左边因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）； 3. 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 4. 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 > 易错提醒：不能随便两边同时除以含有未知数的代数式，会丢失根；方程必须先化为右边等于0，再分解。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 方程 \((x-3)(x+2)=0\) 的根是（） A. \(x=3\) B. \(x=-2\) C. \(x_1=3,x_2=-2\) D. \(x_1=-3,x_2=2\) 2. 解方程 \(x^2-4x=0\)，因式分解正确的是（） A. \(x(x-4)=0\) B. \((x-2)^2=0\) C. \((x+2)(x-2)=0\) D. \(x(x+4)=0\) 3. 方程 \(x^2=2x\) 的根是（） A. \(x=2\) B. \(x=0\) C. \(x_1=0,x_2=2\) D. \(x=0,x=2\)（只有一个根） 4. 用因式分解法解方程 \((2x-1)^2-(x+2)^2=0\)，适合用的公式是（） A. 完全平方公式 B. 平方差公式 C. 提公因式 D. 十字相乘 5. 若 \((x+a)(x+b)=0\) 的两根为 \(x_1=2,x_2=-5\)，则方程是（） A. \((x-2)(x+5)=0\) B. \((x+2)(x-5)=0\) C. \((x-2)(x-5)=0\) D. \((x+2)(x+5)=0\) ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 方程 \(x(x+5)=0\) 的根为____________。 7. 因式分解：\(x^2-9=\)____________；方程 \(x^2-9=0\) 的根是________。 8. 方程 \((x-1)^2=0\) 的根是____________（两个相等实数根）。 9. 方程 \(3x^2-6x=0\)，提取公因式后为____________，根为________。 10. 解方程 \((x+2)^2=3(x+2)\)，移项得 \((x+2)^2-3(x+2)=0\)，因式分解为____________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）用因式分解法解下列方程： ① \(x^2-7x=0\)　② \(x^2-25=0\) 12.（16分）用因式分解法解方程： ① \((x-4)^2=0\)　② \((x+1)(x-2)=4\) 13.（16分）用因式分解法解方程： ① \((2x-3)^2=x^2\)　② \(x^2-6x+9=0\) 14.（16分）已知一元二次方程 \(x^2-(k+3)x+3k=0\)。 （1）用因式分解法求方程的根； （2）若方程一根为2，求\(k\)的值。 --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：\(x-3=0\)或\(x+2=0\)，\(x_1=3,x_2=-2\)。 2. A 解析：提公因式\(x\)，得\(x(x-4)=0\)。 3. C 解析：移项：\(x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\)，\(x_1=0,x_2=2\)；不能直接两边除以\(x\)，会丢掉\(x=0\)这个根。 4. B 解析：平方差：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。 5. A 解析：根为2和-5，则因式为\((x-2)\)、\((x+5)\)。 ### 填空题 6. \(x_1=0，x_2=-5\) 7. \((x+3)(x-3)\)；\(x_1=3,x_2=-3\) 8. \(x_1=x_2=1\) 9. \(3x(x-2)=0\)；\(x_1=0,x_2=2\) 10. \((x+2)(x+2-3)=0\)，即\((x+2)(x-1)=0\) ### 解答题 11. ① \(x^2-7x=0\) 提公因式：\(x(x-7)=0\) \(x=0\)或\(x-7=0\) \(\boldsymbol{x_1=0，x_2=7}\) ② \(x^2-25=0\) 平方差分解：\((x+5)(x-5)=0\) \(x+5=0\)或\(x-5=0\) \(\boldsymbol{x_1=-5，x_2=5}\) 12. ① \((x-4)^2=0\Rightarrow(x-4)(x-4)=0\) \(x-4=0\)，\(\boldsymbol{x_1=x_2=4}\) ② \((x+1)(x-2)=4\) 先展开整理右边化为0：\(x^2-x-2=4\Rightarrow x^2-x-6=0\) 因式分解：\((x-3)(x+2)=0\) \(x_1=3，x_2=-2\) 13. ① \((2x-3)^2=x^2\) 移项：\((2x-3)^2-x^2=0\)，平方差：\((2x-3+x)(2x-3-x)=0\) \((3x-3)(x-3)=0\) \(3x-3=0\)或\(x-3=0\) \(\boldsymbol{x_1=1，x_2=3}\) ② \(x^2-6x+9=0\) 完全平方：\((x-3)^2=0\) \(\boldsymbol{x_1=x_2=3}\) 14. 解：（1）因式分解： \(x^2-(k+3)x+3k=0\Rightarrow(x-3)(x-k)=0\) \(x-3=0\)或\(x-k=0\) ∴\(\boldsymbol{x_1=3，x_2=k}\) （2）把\(x=2\)代入根\(x_2=k\)，得\(\boldsymbol{k=2}\)。 > 本节小结：因式分解法解方程，**一定要移项，等号右侧等于0**；常见分解方法：提公因式、平方差、完全平方。遇到方程两边都有含\(x\)的因式，不要直接约去，防止丢根。 下一节：**一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，需要继续写专项练习吗？也可以单独导出纯题目版。 1 2 3 掌握因式分解法解一元二次方程的理论依据和基本步骤；能用提公因式法、平方差公式法解一元二次方程. 理解 “降次” 思想的本质；避免解方程过程中出现丢根、漏解的错误；根据方程特征灵活选择解法. 通过自主探究、合作交流，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力. 素养目标 思考 在上一节课中，我们学习了用公式法解方程，你还记得这个过程中比较关键的求根公式和根的判别式吗？ 请尝试用配方法或公式法分别解方程 有没有发现这两种方法的步骤都比较繁琐？ 那么有没有简便的方法呢？今天我们学习第三种解一元二次方程的方法 —— 因式分解法. 根的判别式： 求根公式： 情境导入 3 复习回顾 思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 1.直接开平方法： x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) 2.配方法： (x+n)2=p(p≥0) 3.公式法： x = （b2–4ac≥0） 思考2：因式分解的方法有哪些？ 1.提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) 2.公式法： a2–b2=(a+b)(a–b) a2±2ab+b2=(a±b)2 3.十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 探索新知 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10x–5x2=0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 配方法解方程 10x–5x2=0. 公式法解方程 10x–5x2=0. 解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0. 配方，得 x2–2x+12=12， (x–1)2=1. 由此可得 x–1=±1， x1= 0，x2= 2. 解：因为a= – 5，b=10，c=0， Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = ， 即x1= 0，x2= 2. 除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 10x–5x2=0. 因式分解 5x(2–x)=0. 降次，化为两个一次方程 x=0或2–x=0. 解方程 x1=0，x2=2. 如果 ab=0. 那么a=0，或b=0. 知识要点 通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移 方程的右边=0 方程的左边因式分解 二分 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 1. 返回 由方程x(x－1)＝0可以得到的方程是(　　) A．x＝0或x－1＝0 B．x＝0 C．x－1＝0 D．x＋1＝0 A 举一反三 10 返回 2. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．x1＝－3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 D 举一反三 返回 3. 用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是____________，所以一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是_______________． x－1－2＝0 x1＝－1，x2＝3 举一反三 直接说出下列方程的根： 牛刀小试 （1）(3x+6)(2x–4) = 0； （2）(x+2)(x–3) = 0； （3）(x+5)(x–1) = 0； （4）x(x–2)= 0； （5）x2 = x. x1= –2，x2= 2. x1= –2，x2= 3. x1= –5，x2= 1. x1= 0，x2= 2. x1= 0，x2= 1. 例4 解下列方程： （1）x(x–2)+x–2 = 0； （2）5x2 –2x – = x2 –2x + . 解：左边分解因式，得 (x–2)(x+1)=0. 于是 x – 2=0，或 x+1=0， 即 x1=2，x2= – 1. 解：移项、合并同类项，得 4x2–1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x–1)=0. 于是 2x+1=0，或2x–1=0， 即 x1= – ，x2= . 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 配方法 配方 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可以优先用此法 公式法 求根公式 所有的一元二次方程 确定a，b，c的值，代入求根公式 计算量大，易出现符号错误 因式分解法 若 ab=0. 则 a=0，或 b=0. 能化为一边为0，另一边为两个一次式的乘积的方程 因式分解 适用范围较小，对缺少一次项ax2+c=0或缺少常数项ax2+bx=0的一元二次方程求解 选择适当的方法解下列方程： 牛刀小试 （1）4(x–1)2–9=0； （2）x2 +6x = 1； 解：方程变形，得(x–1)2=. 直接开平方，得x–1=±， 所以 x1= ，x2= – . 解：配方，得x2+6x+32=1+32， (x+3)2=10. 由此可得x+3=±， 即x1= –3–，x2= – 3+. （3）3x2– 4x = 5； （4）(2x+1)2 – 4x – 2 = 0. 解：方程化为 3x2– 4x –5 = 0， 此时a=3，b= – 4，c= – 5. 所以 Δ=b2–4ac=(–4)2– 4×3× (–5)=76>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2=. 解：方程变形，得 (2x+1)2–2(2x+1)=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x+1–2)=0， 即(2x+1)(2x–1)=0. 于是 2x+1=0，或 2x–1=0， 即 x1= – ，x2= . 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 解一元二次方程的基本思路：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 随堂练习 1.解下列方程： 【选自教材第14页 练习 第1题】 （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； 解：左边分解因式，得 x(x+1)=0. 于是 x=0，或 x+1=0， 即 x1=0，x2= – 1. 解：左边分解因式，得 x(x–2)=0. 于是 x=0，或 x–2=0， 即 x1=0，x2= 2. （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； 解：方程变形，得 3(x2–2x+1)=0. 左边分解因式，得 3(x–1)2=0. 于是 x–1=0，即 x1=x2=1. 解：左边分解因式，得 (2x+9)(2x–9)=0. 于是 2x+9=0，或 2x–9=0， 即 x1= – ，x2= . （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . 解：方程变形，得 6x2–x–2=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(3x–2)=0. 于是2x+1=0，或 3x–2=0， 即 x1= – ，x2= . 解：左边分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0， (1–x)(3x–9)=0. 于是1–x=0，或 3x–9=0， 即 x1=1，x2=3. 新知巩固 选用合适的方法解一元二次方程 已知一元二次方程的两个实数根为，则________． 【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解； 解法二：利用根与系数的关系求解． 【详解】解法一：， 解法二：在方程中， 由根与系数的关系可得 ． 解得 当堂检测 22 巩固训练1 非标准形式方程，先整理再因式分解 一元二次方程的解为_________________________． 【分析】通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． ， 当堂检测 23 巩固训练1 非标准形式方程，先整理再因式分解 变式题 解方程：． 解：整理，得， ， 则或， 解得． 提示 这类方程的分解要用到十字相乘法. 当堂检测 24 巩固训练2 因式分解法解含括号的方程 一元二次方程的解是_______________． 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. ，. 当堂检测 25 返回 4. 用因式分解法解下列方程： (1)3x2＋2x＝0; 解：因式分解，得x(3x＋2)＝0， 于是得x＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝0，x2＝－ 举一反三 返回 (3)2x2－12x＝－18; 解：整理得x2－6x＋9＝0. 因式分解，得(x－3)2＝0，解得x1＝x2＝3. 举一反三 返回 (4)4x2－49＝0； 解：因式分解，得(2x＋7)(2x－7)＝0， 于是得2x＋7＝0或2x－7＝0， (5)(2x－5)2－9＝0; 解：因式分解，得(2x－5＋3)(2x－5－3)＝0， 于是得2x－2＝0或2x－8＝0，解得x1＝1，x2＝4. 举一反三 返回 (6)(x＋3)2＝(1－2x)2. 解：移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0. 因式分解，得(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0， 即(－x＋4)(3x＋2)＝0， 于是得－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝ 举一反三 [邯郸期中]解方程(x＋1)2＝3(x＋1)的最佳方法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 返回 5. D 举一反三 在下列各题的横线上填写适当的解法． (1)解方程2x2－5x＋1＝0，用________法较适宜； (2)解方程x(x＋4)＝2(x＋4)，用__________法较适宜． 返回 6. 公式 因式分解 举一反三 返回 7. 用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2＝8; 解：整理，得(x－1)2＝4. 开平方，得x－1＝±2. 解得x1＝3，x2＝－1. 举一反三 返回 (2)x2＋2x－4＝0； 解：移项，得x2＋2x＝4. 配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5. 举一反三 返回 (3)2x2－3x＋1＝0; 解：∵a＝2，b＝－3，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， 举一反三 返回 (4)(x－4)2＝x(4－x)． 解：整理，得(x－4)2＋x(x－4)＝0， 因式分解，得(x－4)(2x－4)＝0， 于是得x－4＝0或2x－4＝0， 解得x1＝4，x2＝2. 举一反三 返回 8. [张家口期中]某节数学课上，甲、乙两名同学都在黑板上解方程x(x＋2)＝2(x＋2)，解答过程如下表所示，其中完全正确的是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 B 甲 两边同时除以(x＋2)，得x＝2. 乙 移项，得x(x＋2)－2(x＋2)＝0. 因式分解，得(x－2)(x＋2)＝0， 即x－2＝0或x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝－2. 举一反三 课堂小结 因式分解法 解一元二次方程 概念 将方程左边因式分解，右边=0. 依据 如果ab=0，那么a=0，或b=0. 步骤 一移，二分，三化，四解. 谢谢观看 THANKS . (2)x2＋5 x＝0； 解：因式分解，得x(x＋5 )＝0， 于是得x＝0或x＋5 ＝0， 解得x1＝0，x2＝－5 . 解得x1＝－，x2＝. －. 开平方，得x＋1＝±， 解得x1＝－1＋，x2＝－1－. ∴x＝＝＝， ∴x1＝1，x2＝. $