江苏苏州市2026-2027学年九年级数学上册第一次月考模拟卷

苏州市2026-2027九年级数学第一次月考模拟卷 一、选择题 1．抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，1） 2．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则下列结论正确的是（　　） A．k＝6 B．图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．点（﹣2，3）不在该图象上 3．y关于x的函数y（n＞0，m＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 5．已知点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）在反比例函数的图象上，若m＞0，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 6．一定电压（单位：V）下电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）值的变化而变化的一组数据如表格所示． R（Ω） … 2 3 4 6 12 … I（A） … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（　　） A．表中a＝8 B．这个蓄电池的电压值是48V C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 7．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）是勾股二次函数，且其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．下列结论： ①OC2＝OA•OB，②ac＝﹣1，③若OB＝4OA，则， ④若该函数图象的对称轴为直线x＝1，则bc＝2． 其中正确的是（　　 A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝8，则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 二、填空题 9．若关于x的函数是二次函数，则m＝_______ ． 10．反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是_________ ． 11．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm．若要使像高为6cm，则小孔到物体的距离为_______ cm． 12．已知关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣2＜x＜2时，函数y的取值范围为___________ ． 13．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为 _____ 分． 14．如图为二次函数y＝ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．下列说法正确的是________ （写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线x＝﹣1；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③4a2﹣4ac＞0；④8a+c＝0． 15．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是 _____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y＝2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF，则△AEF的面积为_____________． 三、解答题 17．某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A 60≤x＜70 6 B 70≤x＜80 12 C 80≤x＜90 a D 90≤x＜100 24 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了_______ 名参赛学生的成绩，表中a＝_______ ； （2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为_______ °； （3）请估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？ 18．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 19．如图，一次函数y＝ax+2（a＞0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数（x＞0，k≠0）的图象交于点C，且点C的横坐标为1，S△AOB＝1． （1）求a，k的值； （2）已知点P在反比例函数的图象上，连接OC，OP，BP，若S△POB＝2S△AOC，求点P的坐标． 20．若y＝y1+y2，且y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝5； （1）求y与x的函数关系式； （2）x＝﹣2时，函数的值为多少？ 21．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过 B、C两点． （1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； （2）点P在线段BC上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PMMN时，求点P点坐标． 22．如图，一次函数y＝mx﹣2m+4（m≠0）与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，连接OA，AC，OA与BC交于点D． （1）求k的值； （2）求△ACD面积的最大值，并求出此时m的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠POC＝45°时，求出点P的坐标； （3）设△PBC的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 24．在如图所示的平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA＝4，OC＝3，D是AB的中点，过点D的反比例函数的图象与BC边交于点E，连接AE，DE，直线DE交x轴于点F． （1）求k值和直线DE的函数表达式； （2）P为y轴上一点，△PDE的面积与△ADE的面积相等，请求出点P的坐标． 25．反比例函数（m＞0）和正比例函数y2＝nx（n＞0）相交于A、B两点，点C在上，点A、C均在第一象限，且点C在点A的左上方，直线AC、BC与y轴分别交于点F、G． （1）如图1，已知点A（3，1），点C（1，3）， 直接写出：①点B的坐标是____________ ；②CG与CF的数量关系是_______ ； （2）若（1）中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断（1）中的“CG与CF的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； （3）如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D，经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与FG的乘积只与m的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积． 26．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线上经过C、D两点． （1）a＝_______ ，b＝_______ ； （2）求D点的坐标； （3）点P在双曲线，点Q在y轴上（如图2），若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标 ____________________ ； （4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 27．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式，并根据图象判断x满足什么值时，y＜0？ （2）点P（m，n）是直线AC上方的抛物线上一动点，设△ACP的面积为S，求S与m的函数解析式，并求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案与解析 1．抛物线 的顶点坐标是（　　） A．（1，2）　　　B．（−1，2）　　　C．（−3，2）　　　D．（−3，1） 【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为（−1，2）， 故选：B． 2．已知反比例函数 的图象经过点（2，−3），则下列结论正确的是（　　） A．k=6 B．图象在第一、三象限 C．当 时， 随 的增大而增大 D．点（−2，3）不在该图象上 【分析】首先利用待定系数法求得 的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点（2，−3）， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图象在二、四象限，在每个象限内 随 增大而增大 当 时，，即点（−2，3）在该函数图象上， 选项 C 正确，符合题意． 故选：C． 3． 关于 的函数 （，）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质，可得图象位于一，三象限，根据函数图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：由 ，得 位于一三象限， ，得 的图象向右平移 ||，即， 故选：A． 4．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8，9　　　B．9，9　　　C．9，8　　　D．11，9 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将数据从小到大排列后，第3个数据为9． 【解答】解：∵9出现次数最多， ∴众数为9． ∵将数据从小到大排列后，第3个数据为9，∴中位数为9． 故选：B． 5．已知点 ），），）在反比例函数 的图象上，若 ，则 ，， 的大小关系为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【分析】先求出 ，，，再根据 比较大小即可． 【解答】解：由条件可得：，，． ∵，∴ 即 ． 故选：B． 6．一定电压（单位：V）下电流 I（A）和电阻 R（Ω）之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流 I（A）随着电阻 R（Ω）值的变化而变化的一组数据如 表格所示． R（Ω） … 2 3 4 6 12 … I（A） … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（　　） A．表中 a=8 B．这个蓄电池的电压值是 48V C．图2中图象可以表示电流 I 和电阻 R 之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 【分析】根据电压＝电流×电阻，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；将 代入函数关系式后求得电流的值即可． 【解答】解：A、根据电压＝电流×电阻， ∴蓄电池的电流 （I），故不符合题意． B、根据电压＝电流×电阻， ∴蓄电池的电压值是 24×2=48（V），故不符合题意； C、设 ， 将点（4，12）代入得 ， ∴，∴； ∴图2中图象可以表示电流 I 和电阻 R 之间的函数关系，故不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是 （A），故符合题意； 故选：D． 7．定义：若二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数 （）是勾股二次函数，且其图象与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 轴交于点 C．下列结论： ①， ②ac=−1， ③若 ，则 ， ④若该函数图象的对称轴为直线 ，则 ． 其中正确的是（　　） A．①②　　　B．①③④　　　C．②③④　　　D．①②③④ 【分析】连接 AC、BC，如图，利用新定义得到 ，先证明 Rt△ACO∽Rt△CBO，则利用相似三角形的性质得到 ，从而可对①进行判断；设 A（m，0），B（n，0），则 OA=−m，OB=n，利用根与系数的关系得到 ，由于 OC=c，，所以 ，即 ，所以 ac=−1，于是可对②进行判断；当 OB=4OA，则 n=−4m，利用根与系数的关系得到 ，，然后消去 m、n 得到 ，则利用 ac=−1 可对③进行判断；若该函数图象的对称轴为直线 ，根据对称轴方程得到 b=−2a，所以 bc=−2ac，则利用 ac=−1 可对④进行判断． 【解答】解：连接 AC、BC，如图， ∵二次函数 （）是勾股二次函数， ∴， ∵，， ∴∠ACO=∠CBO， ∴Rt△ACO∽Rt△CBO， ∴OC：OB=OA：OC， ∴，所以①正确； 设 A（m，0），B（n，0），则 OA=−m，OB=n， ∵、 为关于 的一元二次方程 的两根， ∴， 当 时，， ∴C（0，c）， ∴OC=c， ∵， ∴c²=−mn， ∴， ∴ac=−1，所以②正确； 当 OB=4OA，则 n=−4m， ∵，， ∴，， 解得 ， ∴−4×， ∴， 而 ac=−1， ∴，所以③正确； 若该函数图象的对称轴为直线 x=1， ∴， ∴b=−2a， ∴bc=−2ac， ∵ac=−1， ∴bc=2，所以④正确． 故选：D． 8．如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点 O，底边 BC∥x 轴，双曲线 过 A，B 两点，过点 C 作 CD∥y 轴交双曲线于点 D．若 =8，则 k 的值是（　　） A．3　　　B．−3　　　C．6　　　D．−6 【分析】过点 A 作 AE∥y 轴，交 BC 与点 E，设点 A（a，）则 B（−a，−），可表示出 BC 和 DC 的长度，又 ，即可求出 k 的值． 【解答】解：过点 A 作 AE∥y 轴，交 BC 与点 E，设点 A（a，）则 B（−a，−）， ∴BE=−2a， ∵△ABC 是等腰三角形，底边 BC∥x 轴，CD∥y 轴， ∴BC=−4a， ∴点 D 的横坐标为 3a， ∴点 D 的纵坐标为 ， ∴， ∵， ∴， ∴k=−3， 故选：B． 9．若关于 的函数 是二次函数，则 ． 【分析】一般地，形如 （a、b、c 是常数，）的函数，叫做二次函数，据此列得方程并解得 m 的值即可． 【解答】解：∵关于 的函数 是二次函数， ∴ 且 ， 解得：， 故答案为：． 10．反比例函数，当时，随的增大而增大，那么的取值范围是． 【分析】根据反比例函数的性质可得到，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ． 故答案为． 11．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高cm与小孔到物体的距离cm成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm．若要使像高为6cm，则小孔到物体的距离为 30 cm． 【分析】先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【解答】解：∵像高cm与小孔到物体的距离cm成反比例函数关系， 设的反比例函数解析式为， 当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm， ， 解得， 反比例函数解析式为， ， 解得， 即小孔到物体的距离为30cm． 故答案为：30． 12．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为 ． 【分析】将解析式配成顶点式得到当时，有最小值﹣4，再计算自变量为﹣2和2对应的函数值，然后写出的取值范围． 【解答】解：∵， ，有最小值3， ，；当时，， ，的取值范围是， 故答案为：． 13．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为 9 分． 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【解答】解：由题意可得， （分）， 答：他期末操行得分为9分． 故答案为：9． 14．如图为二次函数的图象，该图象与轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．下列说法正确的是 ①③④ （写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ； ． 【分析】根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 【解答】解：对于说法①：∵二次函数， 对称轴为直线， ； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ，随的增大而减小；当，随的增大而增大， ； 对于说法③：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ， ， ， 即， ； 对于说法④：∵该二次函数图象与轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B， A（﹣4，0）与点B关于对称轴对称， 的对称轴为直线， B（2，0）， 将点B（2，0）代入二次函数中，得：， 即， ． 综上，说法正确的是：①③④， 故答案为：①③④． 15．如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与轴平行，BD与轴平行，，， ．若反比例函数的图象经过A、D两点，则的值是 6 ． 【分析】根据三角形面积公式求得，易证得，得出，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出，设A（），则D（），根据反比例函数的定义得出关于的方程，解方程求得，即可求得． 【解答】解：作轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与轴的交点为N， ， ， ， 轴， ， ， CD与轴平行，BD与轴平行， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设A（），则D（）， 的图象经过A、D两点， ， 解得：， ． 故答案为：6． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C分别在轴、轴的正半轴上，函数的图象与CB交于点D，函数的图象经过点D，与AB交于点E，与函数的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF，则△AEF的面积为． 【分析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标，过点F作，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求，，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积． 【解答】解：∵正方形OABC的边长为2， ， 将代入，得， （1，2）， 的图象经过点D， ， 解得， ， E（2，1），F（﹣1，﹣2）； 过点F作，与BA的延长线交于点G， E（2，1），F（﹣1，﹣2）， ， ， ， 故答案为． 17．某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A 60≤x＜70 6 B 70≤x＜80 12 C 80≤x＜90 a D 90≤x＜100 24 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 60 名参赛学生的成绩，表中 18 ； （2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 72 ； （3）请估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？ 各组人数的扇形统计图 【分析】（1）用D组的频数乘以D组所占的百分比可求出抽取的学生人数，用抽取的学生人数减去其它组的人数可求的值；（2）用360°乘以B组所占的百分比即可求解；（3）用总人数乘以八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数所占的百分比即可求解． 【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生数为：（人）， ， 故答案为：60，18； （2）B组对应的圆心角的度数为：， 故答案为：72； （3）估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为： （人）． 答：估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为560人． 18．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【解答】解：（1）列表如下： 2 3 4 2 2+2＝4 2+3＝5 2+4＝6 3 3+2＝5 3+3＝6 3+4＝7 4 4+2＝6 4+3＝7 4+4＝8 由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种， 则这两数和为6的概率； （2）这个游戏规则对双方不公平． 理由：因为（和为奇数），（和为偶数），而， 所以这个游戏规则对双方是不公平的． 19．如图，一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，与反比例函数（，）的图象交于点，且点的横坐标为1，． （1）求，的值； （2）已知点在反比例函数的图象上，连接，，，若，求点的坐标． 【分析】（1）先求解（0，2），结合，可得，求解一次函数的表达式是；再求解（1，4），进一步可得答案； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知（0，2）， ∵， ， ∴， ∴（−1，0）， ∴−+2＝0， 解得：， ∴一次函数的表达式是； ∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1， ∴， ∴（1，4）， ∴反比例函数表达式为． （2）由条件可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（4，1）． 20．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； （1）求与的函数关系式； （2）时，函数的值为多少？ 【分析】（1）设，，则，将时，；时，分别代入解析式即可得到，的值； （2）将代入即可解答． 【解答】解：（1）设，， 则 当时，；当时，， 可知， 解得， 故函数解析式为． （2）当时，． 21．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为（3，0），点的坐标为（0，3），直线经过、两点． （1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； （2）点在线段上运动（不与、重合），过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点点坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设（），则（），（），则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【解答】解：（1）将点（3，0），（0，3）代入， ∴， 解得 ∴， ∵， ∴顶点坐标（1，4）； （2）设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设（），则（），（）， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或（舍去）或， ∴点坐标（）或（）． 22．如图，一次函数与反比例函数（ 且）的图象交于，两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，，与交于点． （1）求的值； （2）求面积的最大值，并求出此时的值． 【分析】（1）由一次函数的解析式求得（2，4），然后利用待定系数法即可求得的值； （2）解析式联立，求得的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，进一步求得（−，−），则，利用二次函数的性质即可求得面积的最大值，并求得此时的值． 【解答】解：（1）∵一次函数， ∴一次函数的图象过点（2，4）， ∵一次函数（）与反比例函数（ 且）的图象交于，两点，点的横坐标为2， ∴（2，4）， ∴； （2）由（1）可知反比例函数为， 解，得或， ∴（−，−）， ∵过点作轴的平行线，交轴于点， ∴（0，−）， ∴， ∵（2，4）， ∴直线为， 当时，则， ∴（−，−）， ∴， ∴当时，面积有最大值为1． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴交于（−1，0），（4，0）两点，与轴的交点为点，点是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求出点的坐标； （3）设的面积为，试求的最大值以及此时点的坐标． 【分析】（1）把（−1，0），（4，0）代入列方程组，解方程组求出、的值即可； （2）作轴于点，则是等腰直角三角形，设点的坐标为（），根据且点在第四象限列方程求出的值，再求出点的坐标即可； （3）设点的坐标为（）（），作轴于点，交线段于点，求出点的坐标及直线的函数表达式，用含的代数式表示点的坐标以及的长，再求出关于的函数关系式，根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标即可． 【解答】解：（1）把（−1，0），（4，0）代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）如图1，作轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为（），则（0，）， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴（1+，−1−）， ∴点的坐标为（1+，−1−）． （3）如图2，设点的坐标为（）（）， 作轴于点，交线段于点， 当时，则， ∴（0，−4）， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴当时，， ∴的最大值为，此时点的坐标为（，）. 24．在如图所示的平面直角坐标系中，矩形的边，，是的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，直线交轴于点． （1）求值和直线的函数表达式； （2）为轴上一点，△的面积与△的面积相等，请求出点的坐标． 【分析】（1）先根据矩形边长确定点坐标，代入反比例函数求；再求点坐标，最后用两点式求直线的表达式； （2）先算出△的面积，再利用点在轴上的条件，通过面积公式列方程求解的坐标． 【解答】解：（1）已知矩形，，，则： （4，0），（4，3），（0，3）， 是中点， ∴， 将代入反比例函数， ， ， ∴反比例函数， 在上，的纵坐标为3，令，代入： ， ， ∴（2，3），   解得：，， ∴直线的表达式为． （2）先求△的面积： （4，0），，， （2，3）到直线的水平距离为4-2=2， ， 设，直线与轴交点为，则， △的面积可表示为： ，得： ， 解得： 或 ， ∴点的坐标为（0，6）或（0，3）. 25．反比例函数和正比例函数相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． （1）如图1，已知点（3，1），点（1，3）， 直接写出：①点的坐标是 （﹣3，﹣1） ；②与的数量关系是 相等 ； （2）若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； （3）如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【分析】（1）由反比例函数的性质可得（﹣3，﹣1），分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为：直线的解析式为：，进一步求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣3，﹣1）， 设直线为，而点（1，3）， ∵， 解得：， ∴直线为， ∴（0，2）， ∵（3，1），（1，3）， 同理可得直线为， ∴（0，4）， ∴，， ∴． 故答案为：（﹣3，﹣1），相等； （2）成立，理由如下： 反比例函数过（3，1），点， ∴，即， 设，设直线为， ∵（﹣3，﹣1）， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵（3，1），， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴． （3）设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点（a+t，0）， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点（t-a，0）， ∴，， 与的乘积=． 26．如图1，已知点（a，0），（0，b），且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点． （1） -2 ， -4 ； （2）求点的坐标； （3）点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 （0，12）或（0，-12）或（0，4） ； （4）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，⊥，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变， 请求出其值，并给出你的证明． 【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，故可得出、两点的坐标； （2）设（2，），由，，可知（4，t-4），再根据反比例函数的性质求出的值即可； （3）确定反比例函数的解析式为，由点在双曲线上，点在轴上，设（0，），，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标； （4）连接、、，证明，得∠=∠=∠，∠=∠=90°，，可得结论． 【解答】解：（1）∵，且，， ∴， 解得：， 故答案为：-2；-4； （2）由（1）知：，， ∴（﹣2，0），（0，﹣4）， ∵为中点， ∴（表示点的横坐标）， 设（2，）， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， 即线段向右平移2个单位再向下平移4个单位得到，则点是点的对应点，点是点的对应点， ∴（4，t-4）， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴（2，8）； （3）点的坐标为（0，12）或（0，-12）或（0，4）；理由如下： 由（2）知：（2，8）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， 设Q（0，y），P（x，）， ①如图2.1，当AB为边且点Q在点B的上方时，若四边形ABPQ为平行四边形， 又∵A（-2，0），B（0，-4）， ∴， 解得：x＝2， 此时P（2，8）， ∴， 解得：y＝12， ∴Q（0，12）； 如图2.2，当AB为边且点Q在点B的下方时，若四边形ABQP为平行四边形， 又∵A（-2，0），B（0，-4）， ∴， 解得：x＝-2， 此时P（-2，-8）， ∴， 解得：y＝-12， ∴Q（0，-12）； ②如图2.3，当AB为对角线时，若四边形APBQ为平行四边形， 则AP＝BQ，且AP∥BQ， ∵A（-2，0），B（0，-4）， ∴， 解得：x＝-2， 此时P（-2，-8）， ∴， 解得：y＝4， ∴Q（0，4）； 综上所述，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（0，12）或（0，-12）或（0，4）， 故答案为：（0，12）或（0，-12）或（0，4）； （4）的值不变，为．理由如下： 连接NH、NT、NF，如图3， ∵M是HT的中点，MN⊥HT， ∴MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT＝NH， ∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF＝∠ABH，∠FAH＝∠AFB＝∠AHB＝90°，BF＝BH， 在△BFN与△BHN中， ， ∴△BFN≌△BHN（SAS）， ∴NF＝NH＝NT，∠BFN＝∠BHN， ∴∠NTF＝∠NFT＝90°-∠BFN＝90°-∠BHN＝∠AHN， 即∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 在四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， ∴∠ATN+∠AHN＝180°， ∴∠TNH＝360°-（∠ATN+∠AHN）-∠TAH＝360°-180°-90°＝90°， ∴， ∴， ∴当T在AF上运动时，的值不发生改变，其值为． 27．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式，并根据图象判断x满足什么值时，y＜0？ （2）点P（m，n）是直线AC上方的抛物线上一动点，设△ACP的面积为S，求S与m的函数解析式，并求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法构建方程组求解即可． （2）由题意得：S＝-m²-3m，利用配方法求得二次函数的最值，此题得解； （3）①当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴为直线x＝-1对称，AQ＝MC＝2，即可求解； ②当AC∥MQ且AC＝MQ时，点M到x轴的距离为3，设M（m，-m²-2m+2），则m²+2m-6＝0，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线过点A（-3，0），B（1，0）， ∴， 解得：． ∴二次函数的解析式为． 根据图象可知：当x＜-3或x＞1时，y＜0； （2）设P（m，）（-3＜m＜0）， 如图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， 则PN＝-m，， 当x＝0时，y＝2， ∴OC＝2， ∴S＝S△APO+S△PCO-S△ACO＝． ∵，且（-3＜m＜0）， ∴当时，△APC的面积S取得最大值为． 此时P（）； （3）①如图2， 当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴为直线x＝-1对称， ∴AQ＝MC＝2， ∴（-1，0），（-5，0）， ②如图3， 当AC∥MQ且AC＝MQ时， 因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为2． 设M（m，）， ∴， ∴， ∴， ∵OA＝3， ∴（2+，0），（2-，0）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（-5，0），（-1，0），（2+，0），（2-，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $