精品解析：黑龙江哈尔滨市旭东中学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试题满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项方程含有两个未知数，不符合题意； B选项方程只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合题意； C选项方程分母含未知数，不是整式方程，不符合题意； D选项方程未限定，当时不是二次方程，不符合题意． 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5 B. 3，5 C. ， D. ，5 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程移项化为一元二次方程的一般形式，再确定一次项系数和常数项. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得，. 4. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程的两个核心条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此联立求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元二次方程， ∴ . 由，得或， 解得或； 由，得； ∴ ． 5. 四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 6. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，结合各选项图形的性质判断. 【详解】解：选项A：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴两个矩形不一定相似，A不符合要求； 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，对应角一定相等，且对应边一定成比例， ∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合要求； 选项C：∵的角，可能是等腰三角形的顶角（此时底角为），也可能是底角（此时顶角为），两个三角形对应角不一定相等， ∴两个三角形不一定相似，C不符合要求； 选项D： ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，D不符合要求. 7. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 8. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 9. 某地区发现1例传染病，经过两轮传染后共有81人患病，设每人每轮平均传染个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵初始有1人患病，每人每轮平均传染个人． ∴第一轮传染后总患病人数为． ∵第二轮传染的传染源为第一轮后的所有患者，每人传染人． ∴第二轮新增患病人数为． ∴两轮后总患病人数为． ∵两轮后共有81人患病． ∴可列方程． 10. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可判定，根据相似三角形对应边成比例可得，同时由可得其他比例关系，从而判断各选项． 【详解】解：∵， ， ∴，故D选项正确，C选项错误； ∵， ∴， ∴， ∴，，故A、B选项都错误 ． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，将代入方程即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 解得. 12. 方程的根是_______． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：对方程两边直接开平方，得， 当时，解得； 当时，解得； 故原方程的根为，. 13. 用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为的形式，得到和的值，再计算即可 【详解】解：，移项得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得，即，对比，得，， 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得 15. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到两根，分情况讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系验证，计算得到周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得， 所以 ，， 情况1：当腰长为，底边长为时， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴该情况不成立，舍去； 情况2：当腰长为，底边长为时， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 16. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线， 所以DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC ∴ ∵S△ADE=2， ∴S△ABC=8 故答案为：8． 【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握． 17. 如图，在中，，，，，则________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出对应角相等，证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 18. 某班同学毕业时互赠纪念卡，每名同学都向班上其他每名同学各赠送一张纪念卡，全班共送出纪念卡930张，则全班共有_______名同学． 【答案】31 【解析】 【分析】设全班共名同学，根据互赠规则得到总卡片数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设全班共有名同学， 每名同学不赠送给自己，每名同学要给其余每名同学各赠1张， 每名同学送出张纪念卡，根据总卡片数为930， 列方程得：， 解得，（舍去）， 即全班共有31名同学． 19. 如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 【答案】1或6 【解析】 【分析】设，则，根据“两角对应相等的三角形相似”易得，从而，列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ， ，， ， ， ，即， ，解得，， 则当1或6时，与相似． 20. 如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于，过作于，连接，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，得到，推出得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，连接， ，， ， 矩形， ，， ，， 是的中点 是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（21题12分，22、23每题6分，24、25每题8分，26、27每题10分，共60分） 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． （3）利用因式分解法求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵, ∴， ∴， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：， ， ， ， 解得． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根，求方程的另一个根以及的值． 【答案】（1）证明：∵ 方程是一元二次方程 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 这个方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式求解即可； （2）把代入原方程，解方程求得m的值，利用直接开平方法，求方程的另一个根． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：把代入原方程，得， 解得； 故原方程变形为， 解得， 故． 23. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程）． 【答案】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示． 【解析】 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，平分交于点D，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴即， ∴， ∴． 25. 如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． （1）若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）若围成的面积为，实验田的长和宽分别为16米，10米； （2）不能达到200m2， 理由：根据题意列方程得， ， 整理得； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的实验田面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得或； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为16米，10米； 【小问2详解】 略 26. 如图，四边形是矩形，、是方程的两个根，并且． （1）直接写出__________，__________． （2）如图1，点是上一点，，过点作轴的垂线分别交、于点、，连接、，求的面积与的关系． （3）如图2，在（2）的条件下，、交于点，过点作，交延长线于点，交轴于点，若，连接、，是射线上一点，连接，．求经过点、的直线解析式． 【答案】（1）2；4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，即可求解； （3）过点E作于点G，在的上方作，则，，根据，可得，从而得到，进而得到，在中，利用勾股定理可得，，再证明，可得，可求出点E的坐标，再由，可得，从而得到，进而得到，过点Q作于点H，连接，则，可得，从而得到，根据勾股定理可得，从而得到点F的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵、是方程的两个根，并且， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点E作于点G，在的上方作，则，， 由（1）得：点， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， 如图，过点Q作于点H，连接，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设过点、的直线解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴过点、的直线解析式为． 27. 在四边形中，连接，平分交于点，点在上，是以为底边的等腰三角形． （1）如图1，若四边形为正方形，，则的长为________． （2）如图2，若四边形为矩形，，，求四边形的面积． （3）如图3，点与点重合，点和点分别在和上，，点和点分别为和的中点，延长至点，，，求的长． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，，可得，从而得到，即可求解； （2）过点P作于点M，证明，可得， 在中，利用勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解； （3）取的中点N，连接，设，则，，，再由三角形中位线定理可得，，从而得到，进而得到，可证明，可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点P作于点M， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴矩形的面积为； 【小问3详解】 解：如图3，取的中点N，连接， ∵是以为底边的等腰三角形，点Q与点B重合， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵点和点N分别为和的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试题满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5 B. 3，5 C. ， D. ，5 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 4. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或3 5. 四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 7. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 9. 某地区发现1例传染病，经过两轮传染后共有81人患病，设每人每轮平均传染个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_______． 12. 方程的根是_______． 13. 用配方法解一元二次方程，得，则的值为_______． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______． 15. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_______． 16. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____． 17. 如图，在中，，，，，则________． 18. 某班同学毕业时互赠纪念卡，每名同学都向班上其他每名同学各赠送一张纪念卡，全班共送出纪念卡930张，则全班共有_______名同学． 19. 如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 20. 如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 三、解答题（21题12分，22、23每题6分，24、25每题8分，26、27每题10分，共60分） 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根，求方程的另一个根以及的值． 23. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程）． 24. 如图，在中，平分交于点D，． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． （1）若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 26. 如图，四边形是矩形，、是方程的两个根，并且． （1）直接写出__________，__________． （2）如图1，点是上一点，，过点作轴的垂线分别交、于点、，连接、，求的面积与的关系． （3）如图2，在（2）的条件下，、交于点，过点作，交延长线于点，交轴于点，若，连接、，是射线上一点，连接，．求经过点、的直线解析式． 27. 在四边形中，连接，平分交于点，点在上，是以为底边的等腰三角形． （1）如图1，若四边形为正方形，，则的长为________． （2）如图2，若四边形为矩形，，，求四边形的面积． （3）如图3，点与点重合，点和点分别在和上，，点和点分别为和的中点，延长至点，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $