25.2.1 第1课时 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.2.1 第1课时 直接开平方法 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.2.1 第1课时 直接开平方法 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 1. 直接开平方法原理：如果 \(x^2=p(p\ge0)\)，那么 \(x=\pm\sqrt{p}\)。 若 \((mx+n)^2=p(p\ge0)\)，则 \(mx+n=\pm\sqrt{p}\)，再解一次方程。当 \(p<0\) 时，方程没有实数根。 2. 适用方程形式：方程左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数。 3. 核心思想：**降次**，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 > 易错提醒：开平方不要漏掉负号；只有右边≥0才有实数根。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 方程 \(x^2=16\) 的根是（） A. \(x=4\) B. \(x=-4\) C. \(x=\pm4\) D. \(x=8\) 2. 用直接开平方法解方程 \((x-2)^2=9\)，正确的是（） A. \(x-2=3\)，\(x=5\) B. \(x-2=-3\)，\(x=-1\) C. \(x-2=\pm3\)，\(x_1=5,x_2=-1\) D. \((x-2)^2=\pm3\) 3. 方程 \((2x+1)^2=-4\) 的实数根情况是（） A. 有两个相等实数根 B. 两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 若方程 \((x+a)^2=25\) 的一个根是 \(x=2\)，则 \(a\) 的值为（） A. 3 B. -7 C. 3或-7 D. 7或-3 5. 解方程 \(3x^2-27=0\)，第一步应该（） A. 直接开平方 B. 移项，化为 \(3x^2=27\)，再化简 C. 配方 D. 化为一般式 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 方程 \(x^2=5\) 的根是________。 7. \((x+1)^2=0\) 的根为________（两个相等实数根）。 8. 方程 \(4x^2=9\)，变形得 \(x^2=\dfrac94\)，则 \(x=\)________。 9. 若 \((x-3)^2=16\)，则 \(x-3=\)________，解得 \(x_1=\)____，\(x_2=\)____。 10. 方程 \((x-5)^2=m\) 有实数根，则 \(m\) 的取值范围是________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）用直接开平方法解下列方程： ① \(x^2-121=0\) ② \(2x^2=8\) 12.（16分）解方程： ① \((x+3)^2=16\) ② \((2x-1)^2=25\) 13.（16分）解方程： ① \(3(x-2)^2=27\) ② \((x+1)^2-4=0\) 14.（16分）已知一元二次方程 \((x-m)^2=n\) 的两个根为 \(x_1=3,x_2=7\)，求 \(m、n\) 的值。 --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：\(x^2=16\)，\(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\)，开平方要正负两个根。 2. C 解析：\((x-2)^2=9\)，\(x-2=\pm3\)；\(x-2=3\Rightarrow x_1=5\)；\(x-2=-3\Rightarrow x_2=-1\)。 3. C 解析：任何实数平方≥0，左边≥0，右边=-4，不可能相等，无实数根。 4. C 解析：把 \(x=2\) 代入得 \((2+a)^2=25\)，\(2+a=\pm5\)。\(2+a=5\Rightarrow a=3\)；\(2+a=-5\Rightarrow a=-7\)。 5. B 解析：先移项，把常数移到右边，再把二次项系数化为1，再开平方。 ### 填空题 6. \(x_1=\sqrt5,x_2=-\sqrt5\) 7. \(x_1=x_2=-1\) 8. \(\pm\dfrac32\) 9. \(\pm4\)；7；-1 10. \(m\ge0\) ### 解答题 11. ① \(x^2-121=0\Rightarrow x^2=121\)，\(x=\pm11\)，\(\boldsymbol{x_1=11,x_2=-11}\) ② \(2x^2=8\Rightarrow x^2=4\)，\(x=\pm2\)，\(\boldsymbol{x_1=2,x_2=-2}\) 12. ① \((x+3)^2=16\Rightarrow x+3=\pm4\) \(x+3=4\Rightarrow x_1=1\)；\(x+3=-4\Rightarrow x_2=-7\) ② \((2x-1)^2=25\Rightarrow 2x-1=\pm5\) \(2x-1=5\Rightarrow2x=6\Rightarrow x_1=3\) \(2x-1=-5\Rightarrow2x=-4\Rightarrow x_2=-2\) 13. ① \(3(x-2)^2=27\Rightarrow (x-2)^2=9\Rightarrow x-2=\pm3\) \(x_1=5,x_2=-1\) ② \((x+1)^2-4=0\Rightarrow(x+1)^2=4\Rightarrow x+1=\pm2\) \(x_1=1,x_2=-3\) 14. 解：方程 \((x-m)^2=n\) 的两根是 \(x=m\pm\sqrt{n}\)。两根3和7， 两根的平均数就是 \(m\)，\(m=\dfrac{3+7}{2}=5\)。 根到对称轴距离：\(7-5=2\)，所以 \(\sqrt{n}=2\Rightarrow n=4\)。 答：\(\boldsymbol{m=5，n=4}\)。 > 本节小结：直接开平方法核心是**降次**，形式为平方=非负数；切记不要丢负号，负数不能开平方，方程无实根。 如果你需要，我可以把这份练习**调整到指定字数（比如1400字左右）**，或者单独生成只有题目版（不带答案，用来打印做题）。 1 2 3 理解“降次”是解一元二次方程的核心思想，掌握直接开方法的基本原理. 能熟练运用直接开方法解形如和 ()的一元二次方程. 经历从解到解的探究过程，体会“转化”和“整体”的数学思想. 素养目标 复习回顾 1.如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________. 平方根 2.如果 x2=a(a≥0)，则 x =________. ± 3.如果 x2=16，则 x =________. ±4 4.你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 思考：一元二次方程如何解？ 探索新知 试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法 x2=4 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方 x2=0 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方 x2= – 4 无实数根 负数没有平方根 知识要点 一般地，对于方程 x2=p， （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 牛刀小试 用直接开平方法解下列方程： （1）x2 = 81； （2）x2 – 900 = 0. 解：直接开平方，得 x =±9， 即x1=9，x2= – 9. 解：移项，得 x2=900， 直接开平方，得 x =±30， 即x1=30，x2= – 30. 巩固训练1 解形如的一元二次方程 【分析】运用直接开平方法解方程，先移项再系数化1，最后开方，即可作答． 1.用直接开方法解下列方程： (1) (2) 解：（1）由 得 两边直接开平方，得． 原方程的解是，． （2） 解： 移项得 化系数为1得 ，． 当堂检测 7 巩固训练1解形如的一元二次方程 变式题 用直接开方法解下列方程： (1) (2) 解： (1)系数化 1： 开方： 解得：， (2) 移项： 系数化 1： 开方： 解得：， 当堂检测 8 巩固训练 巩固训练2解形如的方程 【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解. 方程的解是________________. 【详解】解： 解得： 故答案为： 当堂检测 9 1. 返回 一元二次方程x2－4＝0的解是(　　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝x2＝－2 D．x1＝x2＝4 B 举一反三 10 返回 2. 一元二次方程25x2－1＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5 C．x1＝ ，x2＝－ D．x1＝x2＝ C 举一反三 返回 3. 若一元二次方程4x2－9＝0的根分别是a，b，且a＜b，则a的值为________． 举一反三 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5？ 解：(x+3)2=5 直接开平方，得 x+3=±， 移项，得 x=± – 3， 所以 x1= – 3，x2= – – 3. 一元二次方程 一元一次方程 知识要点 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 一元二次方程 降次 直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 例1 解下列方程： （1）4x2 – 3 = 0； （2）(x+2)2 – 9 = 0. 解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x =±. 即 x1 = ， x2 = – . 例1 解下列方程： （1）4x2 – 3 = 0； （2）(x+2)2 – 9 = 0. 解：（2）移项，得 (x+2)2 = 9. 由此可得 x+2=±3，x+2=3，或 x+2= – 3， 即 x1 =1， x2 = – 5 . 方法小结 利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤为： ①移项，将方程转化为 x2=n 或 (mx+n)2=p (p≥0) 的形式 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程 ③解这两个一元一次方程 ④写出一元二次方程的两个解 返回 4. 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－25＝0； 解：移项、合并同类项，得3x2＝27，即x2＝9. 两边直接开平方，得x1＝3，x2＝－3. (2)3x2－1＝26； 举一反三 (3)49x2－7＝1. 返回 举一反三 一元二次方程(x＋6)2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋6＝3，则另一个一元一次方程为(　　) A．x－6＝3 B．x＋6＝－9 C．x＋6＝9 D．x＋6＝－3 返回 5. D 举一反三 如果关于x的方程(x－3)2＝m＋7可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－7 D．m≥－7 返回 6. D 举一反三 返回 7. 用直接开平方法解一元二次方程 (x－1)2＝9的步骤如下： ①(x－1)2＝36，②x－1＝6，③x＝7. 其中开始出错的步骤是________．(填序号) ② 举一反三 返回 8. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)[无锡中考](x－2)2－4＝0； (1)解：移项，得(x－2)2＝4. 两边直接开平方，得x－2＝2或x－2＝－2， 解得x1＝4，x2＝0. (2)2(x＋3)2－10＝0； 举一反三 (3)(2x－1)2＝49； (4)x2－6x＋9＝3. 返回 解：两边直接开平方，得2x－1＝－7或2x－1＝7， 解得x1＝－3，x2＝4. 举一反三 课堂小结 直接开平方法解一元二次方程 原理 利用平方根的意义 思想 通过“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程 谢谢观看 THANKS － 解：移项，得9x2＝25，即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. 解：移项、合并同类项，得49x2＝8， 即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. (2)解：移项，得2(x＋3)2＝10，即(x＋3)2＝5. 两边直接开平方，得x＋3＝或x＋3＝－，解得x1＝－3，x2＝－－3. 解：整理，得(x－3)2＝3. 两边直接开平方，得x－3＝±， 解得x1＝3－，x2＝3＋. $