25.2.1 第2课时 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.2.1 第2课时 配方法 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.2.1 第2课时 配方法 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 配方法解一元二次方程，核心思想依旧是**降次**，把方程转化为 \((x+n)^2=p\ (p\ge0)\) 的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解 \(ax^2+bx+c=0(a eq0)\) 的一般步骤： 1. **移项**：把常数项移到等号右侧； 2. **化1**：二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数 \(a\)； 3. **配方**：方程两边同时加上**一次项系数一半的平方**；左边写成完全平方式，右边合并常数； 4. **开方**：若右边常数≥0，直接开平方转化为两个一元一次方程；若右边＜0，方程无实数根； 5. **求解**：解一元一次方程，写出方程的根。 > 易错提醒：①只有二次项系数为1时，才能两边加一次项系数一半的平方；②配方时，等号两边必须同时加同一个数，不能只加左边。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 将 \(x^2+6x\) 配方，需要加上的常数是（） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 2. 用配方法把方程 \(x^2-4x-1=0\) 化成 \((x+m)^2=n\) 的形式，正确的是（） A. \((x-2)^2=1\) B. \((x-2)^2=5\) C. \((x+2)^2=5\) D. \((x-4)^2=17\) 3. 一元二次方程 \(2x^2-4x-6=0\)，配方第一步是（） A. 两边同时除以2 B. 两边同时加6 C. 两边同时加4 D. 直接写成完全平方 4. 对 \(x^2-5x\) 进行配方，加上的常数项为（） A. 5 B. \(\dfrac{25}{4}\) C. \(\dfrac{5}{2}\) D. 25 5. 用配方法解方程 \(x^2+2x+5=0\)，配方后右边为负数，则方程（） A. 两个相等实根 B. 两个不等实根 C. 无实数根 D. 一个实数根 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. \(x^2+8x+\underline{\quad}=(x+\underline{\quad})^2\) 7. 方程 \(x^2-6x=7\) 配方后得 \((x-3)^2=\underline{\quad}\)。 8. 把 \(2x^2-8x=2\) 二次项系数化为1，得____________。 9. 若 \(x^2-10x+m=(x-5)^2\)，则 \(m=\)________。 10. 方程 \(x^2+4x=-5\) 配方后为 \((x+2)^2=\underline{\quad}\)，方程实数根情况：________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）用配方法解下列方程： ① \(x^2-2x-8=0\)　② \(x^2+4x-5=0\) 12.（16分）用配方法解方程： ① \(x^2-6x+7=0\)　② \(x^2+3x-1=0\) 13.（16分）二次项系数不为1，用配方法解方程： ① \(2x^2-4x-6=0\)　② \(3x^2+6x-9=0\) 14.（16分）求证：代数式 \(x^2-4x+5\) 的值恒大于0。 --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：一次项系数6，一半是3，平方为9，所以加9。 2. B 解析：移项：\(x^2-4x=1\)，两边加4：\(x^2-4x+4=1+4\)，即 \((x-2)^2=5\)。 3. A 解析：二次项系数不为1，配方先把二次项系数化为1。 4. B 解析：一次项系数-5，一半\(-\dfrac52\)，平方\(\dfrac{25}{4}\)。 5. C 解析：配方得\((x+1)^2=-4\)，平方不能为负数，无实数根。 ### 填空题 6. \(16；4\) 7. \(16\) 8. \(x^2-4x=1\) 9. \(25\) 10. \(-1\)；无实数根 ### 解答题 11. ① \(x^2-2x-8=0\) 移项：\(x^2-2x=8\)，配方两边+1：\(x^2-2x+1=8+1\) \((x-1)^2=9\)，开方：\(x-1=\pm3\) \(x_1=4，x_2=-2\) ② \(x^2+4x-5=0\) 移项：\(x^2+4x=5\)，两边+4：\((x+2)^2=9\) 开方：\(x+2=\pm3\)，\(x_1=1，x_2=-5\) 12. ① \(x^2-6x+7=0\) 移项：\(x^2-6x=-7\)，两边+9：\((x-3)^2=2\) \(x-3=\pm\sqrt2\)，\(\boldsymbol{x_1=3+\sqrt2，x_2=3-\sqrt2}\) ② \(x^2+3x-1=0\) 移项：\(x^2+3x=1\)，两边加\(\dfrac94\)：\(\left(x+\dfrac32\right)^2=\dfrac{13}{4}\) 开方：\(x+\dfrac32=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}\) \(\boldsymbol{x_1=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}，x_2=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}}\) 13. ① \(2x^2-4x-6=0\) 两边÷2：\(x^2-2x-3=0\)，移项：\(x^2-2x=3\) 配方+1：\((x-1)^2=4\)，开方：\(x-1=\pm2\) \(\boldsymbol{x_1=3，x_2=-1}\) ② \(3x^2+6x-9=0\) 两边÷3：\(x^2+2x-3=0\)，移项：\(x^2+2x=3\) 配方+1：\((x+1)^2=4\)，开方：\(x+1=\pm2\) \(\boldsymbol{x_1=1，x_2=-3}\) 14. 证明： \[ \begin{align*} x^2-4x+5&=(x^2-4x)+5\\ &=(x^2-4x+4)-4+5\\ &=(x-2)^2+1 \end{align*} \] \(\because (x-2)^2\ge0\)，\(\therefore (x-2)^2+1\ge1>0\)。 因此代数式 \(x^2-4x+5\) 的值恒大于0。 > 本节小结：配方法关键步骤是**化二次项系数为1，两边同加一次项系数一半的平方**；除了解方程，配方还可以用来求代数式最值、证明代数式正负。 要不要我继续做下一节：**25.2.2 公式法**专项练习？也可以帮你把这份配方法练习单独导出【纯题目无答案版】方便打印。 1 2 3 理解配方法的定义，掌握配方法解一元二次方程的核心步骤. 能熟练运用配方法解二次项系数为 1 和不为 1 的一元二次方程. 经历 直接开平方法→配方法的转化过程，体会降次转化的数学核心思想. 素养目标 思考 上节课我们学习了直接开平方法解一元二次方程，什么样的方程能用直接开平方法解？ 形如 的方程才能用直接开平方法解. 结合上节课所学知识，快速解出方程 ，并说出解题步骤. 开平方得 解得 对于方程 ，它的左边不是完全平方式，还能用直接开平方法解吗？今天我们我们就来学习一种新的方法解决这类问题 —— 配方法. 情境导入 3 复习回顾 完全平方公式： a2 + 2ab + b2 = ( ______ )2 a2 – 2ab + b2 = ( ______ )2 a + b a – b 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 填空： 【选自教材第9页 练习 第1题】 （1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2； （2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2； （3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2； （4）x2 – x + ___ = ( x – ___ )2. 25 5 36 6 观察这几个式子，你发现了什么规律？ x2±2mx+(m)2=(x±m)2 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 探索新知 怎样解方程 x2+6x+4=0？ 问题1：怎样把方程变成 (x+n)2=p 的形式呢？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 问题2：为什么在方程 x2+6x= – 4 的两边加9？加其他数行吗？ 不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 探索新知 怎样解方程 x2+6x+4=0？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 x+3=± 降次 x1= – 3+， x2= – 3 – x+3=，或x+3= – 解一次方程 知识要点 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 1. 返回 [教材P9练习T1变式]用适当的数填空： (1)x2＋2x＋1＝(x＋________)2； (2)x2－10x＋________＝(x－________)2； (3)x2＋7x＋________＝(x＋________)2； (4)x2－ x＋______＝(x－______)2. 1 25 5 举一反三 9 返回 2. 将多项式x2－6x＋3配方成(x－h)2＋k的形式为____________． (x－3)2－6 举一反三 返回 3. [邯郸峰峰矿区期中]用配方法解方程x2－8x＝－10时，左、右两边需同时加上(　　) A．4 B．8 C．16 D．64 C 举一反三 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 由此可得 x – 4 = ±， x1=4+，x2=4 – . 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（2）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 二次项系数化为1，得 x2 – x = – . 配方，得 x2 – x + ()2 = – + ()2 ， (x – )2 = . 由此可得 x – = ±，x1=1，x2= . 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（3）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 二次项系数化为1，得 x2 – 2x = – . 配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ， (x – 1)2 = – . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 巩固训练 用配方法解下列方程： (1)； (2). 【分析】（1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得 配方，得， 即 . （2）解：移项，得. 二次项系数化为 1，得. 配方，得 即. 原方程无实数根. 当堂检测 15 变式题 解方程：． 解：， 整理，得， ， 配方得， 开方，得， 解得． 当堂检测 16 【分析】利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 已知为全体实数，则的最大值为______． 解： ， ∵， ∴； ∴的最大值为． 当堂检测 17 巩固训练3用配方法求二次多项式的最值 变式题 1.代数式的最小值是____，当取得最小值时，的值是______． 1 2.已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【详解】解： ， ， 故选：A． 7 当堂检测 18 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. 归纳总结 （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 返回 4. 用配方法解一元二次方程x2＋6x－10＝0时，下列变形正确的是(　　) A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1 C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19 C 举一反三 用配方法解方程：x2－5x－1＝0. 解：移项，得x2－5x＝1. 两边同时加上________， 得x2－5x＋________＝1＋________， 即(x－______)2＝_____．开平方，得______________， 解得x1＝________，x2＝________． 返回 5. 举一反三 解下列方程： (1)[徐州中考]x2＋2x－1＝0； 返回 6. (2)x2＋3x－4＝0; (1)解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋1＝1＋1， 举一反三 返回 举一反三 返回 7. 把方程2x2＋4x＋3＝0的二次项系数化为1，可得(　　) A．x2＋2x＋3＝0 B．x2＋2x－3＝0 C 举一反三 返回 8. 用配方法解方程3x2＋4x＋1＝0时，可以将方程化为(　　) A 举一反三 返回 9. 下列用配方法解方程 x2－x－2＝0的四个步骤中，出现错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ D 举一反三 26 课堂小结 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 谢谢观看 THANKS 2 2 x－＝± 2 即(x＋1)2＝2，开平方，得x＋1＝±， 解得x1＝－1，x2＝－－1. (2) 解：移项，得x2＋3x＝4. 配方，得x2＋3x＋＝4＋，即＝. 开平方，得x＋＝±，解得x1＝1，x2＝－4. (3)x2－x＋＝0. 解：移项，得x2－x＝－. 配方，得x2－x＋2＝－＋2， 即＝－. ∵－＜0，∴原方程无实数根． C．x2＋2x＋＝0 D．x2＋2x－＝0 A．＝ B．(x＋2)2＝3 C．＝ D．＝ $