全等三角形培优：手拉手模型、一线三等角模型专项训练2026-2027学年人教版八年级数学上册

全等三角形培优：手拉手模型、一线三等角模型专项训练 全等三角形培优：手拉手模型、一线三等角模型专项训练 考点目录 手拉手模型 一线三等角模型 考点一 手拉手模型 例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； (2)类比探究 如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 如图3，点是等边外一点，若，求线段的长． 【答案】(1)． (2)解：． 理由如下： 和都是等腰直角三角形， ， 在和中， 由， (3)65． 【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质证明出，即可得出，再根据角的关系即可证明；（2）仍是通过已知条件证明，则，根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半得，则可求出；（3）延续前两问的思路，先构造等边三角形，再构造等腰直角三角形，从而证明，则． 【详解】（1）解：记与的交点为， 由题可知， ， 在和中， 由， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图4，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则，，， ， ， ， ，在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 均为等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题的通用思路都是由“手拉手”模型构造全等三角形，在此基础上得到边和角的关系，最后一问是通过做辅助线，构造两个等边三角形“手拉手”，再利用勾股定理求解． 例2．（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________； (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值． 【答案】(1) 证明：和均是顶角为的等腰三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线等知识，掌握“手拉手”图形的解题思路是解题关键． （1）结合等腰三角形的性质，证明，即可得到结论； （2）结合等边三角形的性质，同（1）理证明，得到，，进而得到，即可求出的度数； （3）同（1）理证明，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，从而得出，即可得出a的值和b的值． 【详解】（1）略 （2）解：和均为等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ； （3）解：同（1）理可证，， ， 为等腰直角三角形，为中边上的高， ， ， 等式成立， ，． 例3．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题 (1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ． (2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数； (3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______； (4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长． 【答案】(1)，； (2) (3)；直线与直线的夹角为 (4)2 【分析】（1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． （4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）解：延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； （4）解：延长到使，连接． ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：①和都是等腰三角形， ，， ，， ， 在和中 ， ， ； ②数量关系：，理由如下： 由（1）得， ， ，是等腰三角形，G为中点， ，，即， 和都是等腰直角三角形， ， ， ； (2) 【分析】（1）①利用“”，证明即可；②由（1）易得，再证，根据线段之间的关系和等量代换，即可求解； （2）延长相交于点M，过点C作，垂足为N，先利用“”证，利用“”证，再证，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长相交于点M，过点C作，垂足为N， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设为x，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得（负值舍去）， ， 在中，由勾股定理得，, ∵ 的值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识点，掌握相关知识和“手拉手模型”是解题的关键． 变式2．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）等边中，点为上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，以为边向逆时针方向作等边，点为上一点，，过点作交于点，当点共线时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内，得到对应线段，连接，若点为的中点，点在边上运动的过程中，当点到直线的距离取最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由等腰三角形的两底角相等求出，由此即可得出； （2）先证明，进而可得，从而可得，进而证明，由此可得； （3）根据点到直线的距离垂线段最短，可得当与重合时，，点到直线的距离取最大值，最大值为，过点作，垂足为，设，根据对称可知，再利用和直角三角形性质求出，，进而求出，，再利用等高三角形的面积比等于底边之比求得，，由此求出比值． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：结论为， 理由：如图，设与交于点， ∵和是等边三角形， ∴，，， 又∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：由折叠可知：，， 过点作，垂足为，如解图， ∵， ∴当与重合时，，取最大值，最大值为，如解图， ∴， ∴， 过点作，垂足为， 设， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是利用全等三角形转化角和相等关系，添加恰当辅助线构造直角三角形求线段长． 变式3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点运动过程中． ①求，与之间的数量关系； ②是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； (2) (3)①； ②是为定值． 证明：如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）①在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论； ②在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ， ∵， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）解：①如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． 考点二 一线三等角模型 例1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 例3．（25-26七年级下·四川达州·期末）综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)①， 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ，即， ∵， ∴， 在和中： ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②64 【分析】（1）由，，，通过等量代换得．结合，证，得，，由得． （2）得．由三角形外角性质得，又，且，故．结合，证，得，．由得． （3）①在上取点使，连接．由，且，结合证，得，．由，得，故．于是，代入得． ②由且得．由得，作，则为等腰直角三角形，．又，也为等腰直角三角形，，故，进而计算的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 在和中： ， ， ， 又， ． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 在和中： ， ， ∴，，， ． （3）①略； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ， 的面积为． 变式1．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 变式2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】 （1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 变式3．（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】 （1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形培优：手拉手模型、一线三等角模型专项训练 全等三角形培优：手拉手模型、一线三等角模型专项训练 考点目录 手拉手模型 一线三等角模型 考点一 手拉手模型 例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； (2)类比探究 如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 如图3，点是等边外一点，若，求线段的长． 例2．（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________； (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值． 例3．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题 (1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ． (2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数； (3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______； (4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 变式2．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）等边中，点为上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，以为边向逆时针方向作等边，点为上一点，，过点作交于点，当点共线时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内，得到对应线段，连接，若点为的中点，点在边上运动的过程中，当点到直线的距离取最大值时，请直接写出的值． 变式3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点运动过程中． ①求，与之间的数量关系； ②是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由． 考点二 一线三等角模型 例1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 例2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 例3．（25-26七年级下·四川达州·期末）综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 变式1．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 变式2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 变式3．（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $