2.7 有理数的混合运算（第1课时 简单的有理数混合运算） 教学设计 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

2.7 有理数的混合运算（第1课时 简单的有理数混合运算） 教学设计 教材版本 苏科版（2024） 年级 七年级上册 章节 第2章 有理数 → 2.7 有理数的混合运算 课时 第1课时 课型 新授课（运算课） 授课对象 七年级学生 授课时长 45分钟 设计者 ___________ 一、教材分析 本节课是苏科版（2024）数学七年级上册第2章“有理数”中2.7节“有理数的混合运算”的第1课时，主要内容是掌握有理数混合运算的运算顺序，能正确进行简单的有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算。 在此之前，学生已经分别学习了有理数的加法、减法、乘法、除法和乘方五种基本运算，以及相应的运算律。本节课是将这五种运算综合运用，形成完整的有理数混合运算能力，是本章的重点内容之一，也是后续学习整式运算、方程、不等式等知识的重要基础。 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节课应达到“掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算”的学业要求，重点发展学生的运算能力和推理能力，落实“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养目标。 二、学情分析 （一）知识基础 学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种基本运算，掌握了各自的运算法则和运算律，能够进行单一运算的计算。小学阶段也学过四则混合运算的顺序，但仅限于正数范围。学生对“先乘除后加减”“有括号先算括号里的”已有初步认识，但对乘方作为第三级运算以及负数参与运算的符号处理还不够熟练。 （二）认知特点 七年级学生刚进入初中，运算的准确性和规范性还不够，容易出现符号错误、运算顺序错误。他们好奇心强，但注意力容易分散，需要通过分层练习和错例辨析来强化运算习惯。 （三）可能困难 1. 运算顺序混淆，尤其是乘方与乘除的优先级； 2. 负数参与乘方运算时，底数判断错误（如 −2² 与 (−2)² 的区别）； 3. 同级运算中，从左到右的顺序执行不到位，容易先凑整而忽略顺序； 4. 括号的处理不规范，去括号时符号出错。 三、教学目标 （一）教学目标 1. 能准确说出有理数混合运算的运算顺序，理解三级运算的优先级关系； 2. 能正确进行含加、减、乘、除、乘方的简单有理数混合运算，运算准确率达到85%以上； 3. 能规范书写混合运算的解题步骤，做到步步有据。 （二）核心素养目标 1. 运算能力：在有理数混合运算过程中，理解每一步的算理，掌握运算顺序，提高运算的准确性和合理性，养成规范书写的习惯； 2. 推理能力：通过类比小学四则混合运算顺序，归纳有理数混合运算顺序，经历由特殊到一般的推理过程，能有条理地表达运算思路； 3. 抽象能力：从实际问题中抽象出有理数混合运算的数学模型，体会运算顺序的合理性； 4. 模型观念：能用有理数混合运算解决简单的实际问题，感受数学与生活的联系。 四、教学重难点 教学重点：有理数混合运算的运算顺序，正确进行简单的有理数混合运算。 教学难点：乘方运算与符号的处理；运算顺序的准确执行； (−a)ⁿ 与 −aⁿ 的区别。 五、教学方法与教学准备 （一）教学方法 教法：启发引导法、讲练结合法、类比教学法、错例辨析法。 学法：自主探究、合作交流、练习巩固、归纳总结。 （二）教学准备 教师：多媒体课件、教案、板书设计。 学生：课本、练习本、草稿本。 六、教学过程 环节一：复习回顾，导入新课（约5分钟） 1. 复习提问 问题1：我们已经学习了有理数的哪些运算？（加、减、乘、除、乘方） 问题2：小学学过的四则混合运算顺序是什么？（先乘除，后加减；有括号先算括号里的；同级运算从左到右） 教师追问：在有理数范围里，又多了乘方运算，混合运算的顺序应该怎样呢？这就是我们今天要学习的内容。 2. 情境导入 教师出示问题： 某商场举行促销活动，一种商品原价为 a 元，先涨价 20%，再打 8 折出售。如果 a = 100，那么打折后的价格是多少？ 引导学生列出算式： 100 × (1 + 20%) × 0.8 = 100 × 1.2 × 0.8 = 96（元） 教师追问：如果算式中既有乘方、乘除，又有加减和括号，应该按什么顺序计算呢？ 环节二：探究新知，归纳法则（约15分钟） 1. 认识三级运算 教师讲解：有理数的五种运算可以分为三级： 第一级运算：加法和减法； 第二级运算：乘法和除法； 第三级运算：乘方。 2. 归纳运算顺序 教师引导学生类比小学四则混合运算，归纳有理数混合运算顺序： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 教师强调：运算顺序可以概括为——“从高到低，从左到右，括号优先”。 3. 例题讲解 【例1】 计算：9 + 5 × (−3) − (−2)² ÷ 4 分析：算式中有加、减、乘、除、乘方五种运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减。 解：原式 = 9 + 5 × (−3) − 4 ÷ 4 （先算乘方：(−2)² = 4） = 9 + (−15) − 1 （再算乘除：5×(−3)=−15，4÷4=1） = 9 − 15 − 1 （最后算加减） = −7 注意：同级运算从左到右依次计算；每一步只算同级中的一部分，不跳步。 【例2】 计算：(−5)³ × [2 − (−6)] − 300 ÷ 5 分析：算式中有小括号和中括号，先算小括号里的，再算中括号里的；先乘方，再乘除，最后加减。 解：原式 = (−125) × [2 + 6] − 300 ÷ 5 （先算乘方和小括号） = (−125) × 8 − 60 （再算中括号和乘除） = −1000 − 60 （最后算减法） = −1060 注意：有多层括号时，从内到外依次计算；中括号 [ ] 与小括号 ( ) 作用相同。 环节三：例题精讲，深化理解（约10分钟） 1. 易错点辨析 【辨析题】 下列计算是否正确？若错误，请改正。 (1) −2³ = (−2)³ = −8 (2) 3 − 6 ÷ 3 = 3 − 2 = 1 (3) 8 ÷ (2 + 2) = 8 ÷ 2 + 8 ÷ 2 = 4 + 4 = 8 解：(1) 错误。−2³ 表示 2³ 的相反数，即 −(2×2×2) = −8； 而 (−2)³ 表示 (−2)×(−2)×(−2) = −8。 本题结果恰好相同，但意义不同，要注意区分底数。 (2) 正确。先算除法 6÷3=2，再算减法 3−2=1。 (3) 错误。除法没有分配律。 正确解法：8 ÷ (2 + 2) = 8 ÷ 4 = 2。 2. 方法总结 教师引导学生归纳有理数混合运算的步骤： 一看：看清算式中有哪些运算，有没有括号； 二定：确定运算顺序（先乘方→再乘除→后加减，括号优先）； 三算：按顺序逐步计算，每步只算同级运算； 四查：检查符号和结果是否正确。 环节四：巩固练习，反馈矫正（约10分钟） 1. 基础练习（全体学生完成） 练习1：计算： （1）(−3) × 4 + (−2)²； （2）8 − 2 × 3²。 【练习1参考答案】 （1）(−3) × 4 + (−2)² = −12 + 4 = −8 （2）8 − 2 × 3² = 8 − 2 × 9 = 8 − 18 = −10 2. 提升练习（中等以上学生完成） 练习2：计算： （1）(−1)³ − (1 − 0.5) × 1/3 × [2 − (−3)²]； （2）−1⁴ − 1/6 × [2 − (−3)²]。 【练习2参考答案】 （1）(−1)³ − (1 − 0.5) × 1/3 × [2 − (−3)²] = −1 − 0.5 × 1/3 × [2 − 9] = −1 − 1/6 × (−7) = −1 + 7/6 = 1/6 （2）−1⁴ − 1/6 × [2 − (−3)²] = −1 − 1/6 × [2 − 9] = −1 − 1/6 × (−7) = −1 + 7/6 = 1/6 3. 拓展练习（学有余力学生完成） 练习3：现定义一种新运算“⊕”：a ⊕ b = a² − b，求 (1 ⊕ 2) ⊕ 3 的值。 【练习3参考答案】 解：先算括号内的 1 ⊕ 2： 1 ⊕ 2 = 1² − 2 = 1 − 2 = −1 再算 (−1) ⊕ 3： (−1) ⊕ 3 = (−1)² − 3 = 1 − 3 = −2 所以 (1 ⊕ 2) ⊕ 3 = −2 学生独立完成后，教师巡视指导，选取学生答案展示点评，强调运算顺序和符号处理。 环节五：课堂小结，梳理提升（约3分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容： 1. 有理数混合运算的顺序是什么？（先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；有括号先算括号里的） 2. 三级运算分别是什么？（加减一级，乘除二级，乘方三级） 3. 运算时要注意什么？（符号、顺序、不跳步、检查） 教师总结：有理数混合运算是有理数运算的综合运用，运算顺序是保证计算正确的关键。希望同学们在今后的练习中，严格按照顺序计算，养成步步有据、认真检查的好习惯。 环节六：布置作业，巩固延伸（约2分钟） 必做题 课本第XX页习题2.7 第1、2、3题。 选做题 观察下列各式：1³ = 1²，1³ + 2³ = 3²，1³ + 2³ + 3³ = 6²，…… 猜想：1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = ? 并计算 1³ + 2³ + … + 10³ 的值。 【选做题参考答案】 解：观察规律可得： 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)² = [n(n+1)/2]² 当 n = 10 时： 1³ + 2³ + … + 10³ = (1 + 2 + … + 10)² = 55² = 3025 七、板书设计 主板书 2.7 有理数的混合运算（第1课时） ——简单的有理数混合运算 一、三级运算 一级：加、减 二级：乘、除 三级：乘方 二、运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 后加减 同级从左到右，括号优先 三、例题示范 例1：…… 解：…… 副板书（练习区） 学生板演： 易错提醒： ▶ −aⁿ 与 (−a)ⁿ 的区别 ▶ 除法没有分配律 ▶ 同级运算从左到右 八、教学反思 本节课是有理数混合运算的第一课时，教学中应注意以下几点： 1. 注重运算顺序的理解。有理数混合运算的顺序不是凭空规定的，而是保证运算结果唯一、合理的需要。教学中要引导学生理解“为什么要先乘方、再乘除、后加减”，而不是死记硬背。 2. 强化符号意识。有理数运算中符号是学生最容易出错的地方，尤其是乘方运算中的底数判断（−2² 与 (−2)²）。教学中要通过对比练习、错例辨析等方式，帮助学生理清符号规则。 3. 规范书写格式。混合运算步骤多，容易混乱。教学中要强调“一步一算、步步有据”的书写规范，不跳步、不心算，养成良好的运算习惯。 4. 体现核心素养导向。本节课不仅要让学生掌握运算技能，更要让学生理解运算的道理，发展运算能力和推理能力，落实核心素养的培养目标。 5. 实施分层教学。根据学生的不同水平，设计不同层次的练习，让每个学生都能在原有基础上获得发展，体验成功的喜悦。 学科网（北京）股份有限公司 $