广西壮族自治区柳州市柳江中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.若(1+i)z=2,则1=归 A.1 B.√2 C.2 D.-1 2.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+5x+6=0},B={x∈N‖x-11},则 (CuA)∩(CuB)= A.{-1,0} B.{0,1,2} C.←1} D.{O} 3.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+6x+6y+2=0的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，则“S,>S。”是“a,>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校 学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有 A.60种 B.70种 C.100种 D.120种 6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°，a+b=3c,且△ABC 的内切圆半径为√3，则△ABC的周长为 A.20 B.21 C.22 D.23 7.双曲线C的两个焦点分别为F,F3,过F的直线分别交双曲线的两支于M,N两点， 若△F,MN是等边三角形，则C的离心率为 A.5 B.5 c.6 D.√万 8.已知sinacosB=3' cosasinB=号，则cos2a-cos2p= 2 A. B.5 D._1 3 18 18 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正四面体P-ABC的棱长为2，则 A.正四面体的体积为2√2 B.PA和BC的距离为√2 C.正四面体的外接球表面积为6π D.二面角P-AB-C的正切值为√2 10.已知函数fx)=x3-ar2-x+a,设x和x,为函数的两个极值点，则 A.存在a使得(L,fI)为曲线y=∫(x)的对称中心 B.不存在a使得fx)只有一个零点 C.若a<0,则当-1<x<0时，f(x)<0 D.若a=0,则：，f》与(2，f2》两点间的距离最小 11.设M(0,1)和N(L,0)为单位圆上两点，且曲线y=e交单位圆于M,P两点，曲线y=lnx 交单位圆于N,Q两点，则 A.△MWg的面积大于△MPQ的面积 B.△MNQ和aMPQ的面积之和小于2 C.△MNQ的三边所在的直线的斜率之和小于-1 D.△MPQ的三边所在的直线的斜率之和小于-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量a,b满足|2a-b1=|b,则a·(b-a)= 13.函数fw)=sin2xsin4x的最小正周期为，最大值为 14.在人工神经网络中，单个人工神经元输入与输出的关系可以称为激活函数，逻辑函数 o是一种常用的搬活函数.定义a)=十。若o2)=写则a( 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记Sn为数列{an}的前n项和，己知数列{bn}是等差数列，an+Sn=2,b+b。=4h=20 (1)求{an}和{b,}的通项公式： (2)记Tn为数列{a,b,}的前n项和，证明：T,<3Sn 16.(15分) 生物多样性是衡量生态系统稳定性的重要指标香农-威尔指数常用于评估生态系统的 生物多样性，其公式为D=-之P,nP,其中n为第i种生物所占比例，n为物种数目.D值 越高代表生物多样性越高为研究形响生物多样性的因素，某实验小组构建了A、B、C三 个微型生态系统，各微型生态系统的物种构成如下： 物种1 物种2 物种3 物种4 A 12 72 60 36 B 45 45 45 45 60 60 60 (1)从三个微型生态系统中各取一生物个体，若取出的三个个体是同一物种，求取出 的个体属于物种3的概率： (2)计算微型生态系统A、B各物种个体数的均值和方差，并由此说明数据分布特征： (3)比较三个微型生态系统生物多样性的大小，并分析彩响生物多样性的因素， 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面ABB,A是菱形，AB⊥BC,BC⊥CC· (1)证明：AC⊥AB,: C (2)若AB=BC,∠ABB=120°，求二面角A-AC-B,的 B 正弦值， 18.(17分) 已知函数f(x)=e2r-2ae-4a2xr. (1)若曲线y=fx)在点(0，f(0)》处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为1，求a: (2)证明：f(x)在定义域上单调的充要条件是a=0: (3)若fx)有两个符号不同的零点，求a的取值范围. 19.(17分) 已知抛物线C:y=2P0>0)的焦点F与椭圆E:学+苦=1的-个焦点重合。 (1)求C的方程： (2)P在直线y=x+2上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，H,I,M 在直线AB上，FH,FM分别是△FAB中AB边上的中线和高线，FI是∠AFB的角平分线： (i)证明：P,F,I三点共线： (i)若P的横坐标xp>2,证明：2IM>x,IIH|. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。（13题第一空2分，第二空3分) 12.0 13.x, 43 9 4子 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) （1)根据已知条件an+Sn=2,有an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-)=an-1-an（n之2)， 即a,=2（n22),所以数列{o,}是公比为)的等比数列.(2分) 当n=1时，有a,+S,=2a1=2,解得a=1.(3分) 所以数列a,}的通项公式为a,=(兮).(4分) 设数列{b,}的公差为d,那么 b+b=(a1+4d)+(a,+5d)=20,b=a,+2d=5,解得a1=1,d=2.(5分) 所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.(6分) (2)根据(1)中求出的通项公式，a,=2”二 2-1Γ 132m-32m-2=∴++2m-32n 7,=20+2++ 2-2+ 2-1 2-3 2m-2 ，两式作差得 2+2 1 =6-2n+3 (10分) 1 2-1 20 再根据已知条件a,+3,=2,S,=2-0,=2- 2时.(11分) 所以7-38=6-3-30-)=是<0，即7<38.B分 16.(15分) (1)从三个微型生态系统中各取一生物个体，记“取出的三个个体是同一物种”为事 件M,“取出的个体属于物种3”N.(1分) 11121111111 P(M)=, 543343*5×0三52分 11x1=1.(3分) PMM=3×4*336 所以所求条件概率为PwM)=PMN_36_ .(4分) P(M)11 15 (2)根据平均数和方差的公式，平均数x= 5,方差=之-.(6分) 4台 代入数据计算得： 微型生态系统A各物种个体数的均值为45，方差为531： 微型生态系统B各物种个体数的均值为45，方差为0.(7分) 数据分布特征：对于微型生态系统A,数据均分布在平均值两侧，方差大，分布离散（分 散)：对于微型生态系统B,数据聚集分布在平均值上，方差小，分布集中.(9分) (使用“离散”“集中”等描述数据分布的词汇阐述结论，即可得到2分，意思对即可) (3)根据香农-威尔公式D=-∑p,np,可以计算三个微型生态系统的多样性指数： 微型生态系统A:D,=-(n+n+n+n3-n5+2n3-h2: 21 1515'553355 3 5 5 微型生态系统B:D。=-4(ln)=2ln2: 4 微型生态系统c:D。=-3(n)=n3.(11分) 2 2n3 2n2 化较A和B:D,-D,=n5+2n3-13 In2=- 2n516 218 5 15 15 6<0: 15 .510 55 比较A和c:D,-0.-子n5-2n3-n2=h交 In- 2 之、31o2621025232n1<5 =1944>0: 5 15 15 15 15 所以生物多样性：B>A>C.(13分) (比较B和C也可以，只要以合理方式分析并得到最终结论即可得到2分) 影响生物多样性因素：物种数目（比较B和C),物种均匀度（比较A和B),(15分） (通过比较得出相关结论，即可得到2分，整体意思对即可) 17.(15分) (1)因为BC⊥CC,所以BC⊥BB,.(1分) 又因为AB⊥BC,AB∩BB,=B,所以BC⊥面ABBA.(2分) 因为AB在面内，所以BC⊥AB.(3分) 又因为侧面ABB,A是菱形，所以AB⊥AB.(4分) 又因为AB∩BC=B,所以AB,⊥面ABC.(5分) 因为AC在面内，所以AC⊥AB,(6分) (2)不妨以B为原点，BC、BA、垂直于平面ABC向上 112 C 的方向分别为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐 标系，设AB=BC=2,那么B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0), 三二 40,15),B,0,-1,5).(8分) 所以A4=(0,-1,V3),B4=(0,2,0),4C=(2,-1,-3).(9分) 设面A4C和面B,4C的一个法向量分别为元=(：，片，二)，元=(x,y22).(10分) 不妨取元=(5，V5,1),m,=(5,0,2).（12分) 设二面角4-4C-8的大小为a,那么osd-:及5 %lz万x- .(14分) 所以sina=V-cosa -(3=26 即二面角A-4C-B,的正弦值为2y6 7 (15分) 18.(17分) (1)因为fx)=e2x-2ae-4a2x,所以f'(x)=2e2r-2ae*-4a2=2(e+a)(e-2a). 所以f(0)=1-2a,f(0)=21+a)1-2a).（2分) 所以曲线y=fx)在点(0，∫(0)处的切线方程为y-(1-2a)=2(1+a)1-2a)x.(3分) 令y=0,得x=2+2 ,其中a≠-1，否则无法构成三角形. 所以三角形前面积为5=-2三中2方片1，解精8=-玫a=多 2 2 (5分) (2)先证明必要性：∫x)在定义域上单调推出a=0. (i)a<0,fx)在(-o,ln(-a)上递减，在n(-a),+o)上递增： (i)a>0,∫(x)在(-o,ln(2a)上递减，在(n(2a),+oo)上递增： (i)a=0,∫(x)>0,fx)在定义域上递增， 因此若∫x)在定义域上单调，必有a=0.(8分) 再证明充分性：a=0推出fx)在定义域上单调，即()，(9分) 综上所述，fx)在定义域上单调的充要条件是a=0.(10分) (注意充分性与必要性的论证逻辑，逻辑混乱或相反的不得分) (3)首先，a=0一定不满足条件，因为此时函数单调.(11分) (i)a<0,fx)在(-o,n(-a)上递减，在(n(-a),+o)上递增， 若有两个零点，至少有m(-a》=ag-4n(-a》<0,a<-e, 但此时极值点1n-d>3>0,了0)=1-2a>0,了0/0m(-》<0, 这说明较小的零点落在区间(0，ln(-a)内，大于0，因此较大的零点也大于0， 两个零点同号，不合题意，舍去.(14分) (i)a>0,fx)在(-o,ln(2a》上递减，在(n(2a),+o)上递增， 若有两个零点，至少有fm(2a》=-4ah(2a)<0,a>2 此时极值点ln(2a)>0,f(0)=1-2a<0,说明两个零点异号.(16分) 综上所述，a的取值范围为a>号(17分) (注：部分地区高考要求取点证明零点存在性，评分标准可能有差别) 19.(17分) (1)根据椭圆的参数关系，c2=a2-b2=1,从而焦点为F1,0)（负舍).(2分) 根据焦点重合，一定有=1，从而p=2,所以C的方程为y2=4x.(4分) (2)已知FI是∠AFB的角平分线，即∠IFA=∠IFB,若要证明P,F,I三点共线， 只需证明∠PFA=∠PFB.(5分) 设Pu+2,4学W,琴 由此，直线PA和PB的方程分别为 x-等=0-w-0-W,x-车=0-w-20-）. 4 代入P的坐标得 1-=+2-W,1-鉴=2+2-. 4 4 2 由于A,B满足同一方程，因此直线AB的方程为 1-苦=1-=0+2-列=0+2-0+2)-2x,即2x-0+2y+2=0.7分) 联立曲线C和直线AB得y2-21+2y+41=0,从而+2=2(1+2)，y2=41.(8分) 根据弦长公式，1P+41y-⅓，1PB卡4+4-. 根据抛物线的定义，1FM作+1=兰+1,1FB非+1=兰+1. 4 又因为FP-++2可-V2业-+（车4y-+40+, 4 所以PA=FP!=IFA-+4 PBIFBI1FPI√+4 因此△PFA-△BFP,从而∠PFA=∠PFB,故命题得证.(10分) (采用其他证明方法得到结论也可得满分) (3)由于xp>2,1>2,无需考虑三点重合的情况 根据(2)，+业=1+2，代入直线AB的方程2x-口+2y+21=0得 2 中线与AB的交点坐标为M(兮2+1+21+2).(11分) 高线与直线AB垂直且过点F,，因此可写作(U+2)x+2y-1-2=0. 与量载C联立得离提与B的交点坐标为H产在g2华).1旧分 角平分线与PF共线，因此可写作直线P℉，即(1+2)x-1)-(1-1y=0 与曲线C联立得角平分线与AB的交点坐标为1+21+4,2+11+2).（15分) t2+21+6'2+21+6 IMI_X-X= 2+1+2-30+21+4 +1+2-3+61+18 2 -2+21+6> 2 IH X1-XH 312+21+4t2+4 2+21+6=0+21-2): 312+61+18 6 2+21+612+41+8 t2+21+6 (16分) 所以->0+a-201--0-20+0. 因此2M卜x,IH|.(17分)（采用其他放缩方法进行证明得到结论也可得满分）