精品解析：天津市第五十五中学2026-2027学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

2026-2027学年高一数学上学期第一次质量检测 一、选择题（4分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 4. 已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（    ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 5. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 4 7. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 8. 设正实数满足，则（    ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 9. 若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（4分） 10. 已知命题，则为_________________ 11. 设，，，，则、的大小关系为______． 12. 已知，求的最大值______． 13. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 14. 已知集合，若，则实数的取值范围为______． 15. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 三、解答题 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 解下列关于的不等式． （1）； （2）； 18. 已知命题 ： ， 为假命题． （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次质量检测 一、选择题（4分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】因为，所以， 对不等式两边同乘正数，则， 即，所以由可以推出，必要性成立， 若，取，，则，， 所以且，，但是不满足， 所以由不能推出，充分性不成立， 综上所述：是的必要不充分条件. 3. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 4. 已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（    ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素个数分类讨论即可求解. 【详解】由⫋有： 当集合中有3个元素时，可以为，共3个 当集合中有4个元素时，可以为，共3个， 当集合中有5个元素时，为，共1个， 所以满足条件的集合A的个数为个， 故选：D. 5. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 6. 函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 7. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 8. 设正实数满足，则（    ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 9. 若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，不等式的解集为空集，不符合题意， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为，对比选项只有不在范围内. 故选：C. 二、填空题（4分） 10. 已知命题，则为_________________ 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 11. 设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 12. 已知，求的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】先配凑，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 13. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知集合，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】解二次方程求得，由，可得或或或，分别求解后取并集即可得答案. 【详解】因为， 又因为，所以或或或， 当时，则有，解得； 当时，则有或， 解得或，所以； 当时，则有或， 解得或，所以； 当时， 所以，解得； 综上，实数的取值范围为：. 15. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由求根公式求得对应一元二次方程两根即可求解； （2），由在必须有相同零点，且在相同区间上同号，即可求解. 【详解】（1）当时， 由，可得：， 所以的解集为； （2）由（1）知，当时，不符合题意； 当时，设， 令得， 令， 得， 因为，舍去， 若，不等式恒成立， 则在必须有相同零点，且在相同区间上同号， 则， 解得：， 当时， 在有， 在有， 当时，， 符合，不等式恒成立， 所以的取值集合为， 故答案为：； 三、解答题 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得，再由集合交、并、补的运算可得； （2）根据，分和，再结合包含关系可得参数范围. 【小问1详解】 由，，解得，所以； 当时，，或； 所以，. 【小问2详解】 因为，分两种情况： ①当时，满足，此时，则； ②当时，，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 17. 解下列关于的不等式． （1）； （2）； 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）原不等式进行等价转化，再根据二次不等式的解法求解； （2）分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解. 【小问1详解】 原不等式等价于 ，得 ， 整理得，即， 故 或 ，即不等式的解集为或. 【小问2详解】 由，得 ，通分得， 所以， 得， 由数轴标根法得或，故不等式的解集为 或. 18. 已知命题 ： ， 为假命题． （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【小问1详解】 命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. 【小问2详解】 由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式化为，分和结合两根大小讨论求解； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，即可得出范围. 【小问1详解】 当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； 当，即时，由不等式的解集为， 则，即，解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即， 当，即时，原不等式化为，解得； 当，即时，方程， 即的两根为，， 若，则，，所以原不等式的解集为， 若，则，，所以原不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式即，对恒成立， 即，因为， 所以，对恒成立， 令， 令，则， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故即可. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $