18.5 第1课时 分式方程的解法（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十八章 分式 18.5 第1课时 分式方程的解法 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版八年级下册18.5第1课时《分式方程的解法》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 ### 1. 分式方程定义 **分母里含有未知数**的方程叫做分式方程。 > 整式方程：分母不含未知数。 ### 2. 解分式方程的基本思路 **去分母**，把分式方程转化为整式方程求解。 ### 3. 解题步骤（一化、二解、三检验、四写解） 1. **化**：找最简公分母，方程两边同乘最简公分母，去掉分母，变成整式方程； 2. **解**：解这个整式方程； 3. **检验（最重要！）**：把整式方程的根代入**最简公分母** - 若最简公分母$\boldsymbol{ eq0}$，是原分式方程的根； - 若最简公分母$\boldsymbol{\(\boldsymbol{=0}\)}$，这个根是**增根**，原方程无解； 4. **写解**：写出方程的解，或说明无解。 ### 4. 增根 去分母后得到的整式方程的根，使得原分式分母为0，让原分式无意义，叫增根。增根不是原分式方程的解。 易错提醒 1. 去分母时，**不含分母的常数项也要乘最简公分母**，很容易漏乘； 2. 分子是多项式，去掉分母后，分子要加括号； 3. **分式方程必须检验**，不检验会扣分； 4. 增根≠方程有解，出现增根则原分式方程无解。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 下列是分式方程的是（） A.$\dfrac{x}{2}+1\(\boldsymbol{=0}\)$ B.$\dfrac{1}{x}=2$ C.$\(2x+3y=1\)$ D.$x^2-1\(\boldsymbol{=0}\)$ 2. 解分式方程$\dfrac{1}{x-2}=3$，去分母后得到整式方程是（） A.$1=3(x-2)$ B.$1=3x-2$ C.$x-2=3$ D.$1=3(2-x)$ 3. 解方程$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$，结果为（） A.$\(\(x=\)1\)$ B.$x\(\boldsymbol{=0}\)$ C.无解 D.$\(x=\)-1$ 4. 解分式方程，必不可少的一步是（） A.去括号 B.检验 C.移项 D.合并同类项 5. 方程$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{x+1}$的解是（） A.$\(\(x=\)1\)$ B.$\(x=\)-1$ C.$\(\(x=\)2\)$ D.$\(x=\)-2$ 6. 若分式方程去分母后求得的根使最简公分母为0，则这个根是（） A.方程的解 B.增根 C.整式方程无解 D.以上都不对 7. 解方程$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{4}{x}$，去分母，两边同乘（） A.$x-1$ B.$x$ C.$x(x-1)$ D.$3x$ 8. 方程$\dfrac{x-3}{x-2}+1=\dfrac{3}{2-x}$去分母正确的是（） A.$x-3+(x-2)=-3$ B.$x-3+x-2=3$ C.$x-3+(x-2)=3$ D.$x-3+1=-3$ 9. 关于分式方程增根说法正确的是（） A.增根是原方程的解 B.增根是去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0 C.增根就是负数根 D.有增根说明整式方程无解 10. 方程$\dfrac{1}{x+2}\(\boldsymbol{=0}\)$解的情况（） A.$\(x=\)-2$ B.$\(\(x=\)2\)$ C.无解 D.$x\(\boldsymbol{=0}\)$ ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 分母中含有________的方程叫分式方程。 12. 解分式方程的基本思路：把分式方程转化为________方程。 13. 解方程$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{3}$，$\(x=\)$________。 14. 分式方程检验，把根代入________，看是否等于0。 15. 方程$\dfrac{x}{x-3}-2=\dfrac{3}{x-3}$的解的情况：________。 16. 若分式方程$\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{a}{x-4}$有增根，则增根是$\(x=\)$________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）解分式方程： （1）$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$； （2）$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$ 18.（12分）解分式方程： （1）$\dfrac{x}{x-2}-1=\dfrac{1}{x-2}$； （2）$\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{3}{x}$ 19.（12分）解分式方程： $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$ ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C **填空题**： 11.未知数；12.整式；13.$6$；14.最简公分母；15.无解；16.$4$ 17.解： （1）$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$ 两边同乘$\(x(x+1)\)$ $$\begin{align*} 2(x+1)&=3x\\ 2x+2&=3x\\ x&=2 \end{align*}$$ 检验：$\(\(x=\)2\)$时，$\(x(x+1)\) eq0$ ∴原方程解：$\boldsymbol{\(\(x=\)2\)}$ （2）$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$ 两边同乘$x(x-1)$ $$\begin{align*} x&=2(x-1)\\ x&=2x-2\\ x&=2 \end{align*}$$ 检验：$\(\(x=\)2\)$时，$x(x-1) eq0$ ∴原方程解：$\boldsymbol{\(\(x=\)2\)}$ 18.解： （1）$\dfrac{x}{x-2}-1=\dfrac{1}{x-2}$ 两边同乘$(x-2)$ $$\begin{align*} x-(x-2)&=1\\ x-x+2&=1\\ 2&=1 \end{align*}$$ 等式不成立，整式方程无解，∴**原分式方程无解** （2）$\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{3}{x}$ 两边同乘$x(x-3)$ $$\begin{align*} 2x&=3(x-3)\\ 2x&=3x-9\\ x&=9 \end{align*}$$ 检验：$\(x=\)9$时，$x(x-3) eq0$ ∴原方程解：$\boldsymbol{\(x=\)9}$ 19.解： $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$ 两边同乘$(x+1)(x-1)$ $$\begin{align*} (x+1)^2-4&=(x+1)(x-1)\\ x^2+2x+1-4&=x^2-1\\ 2x-3&=-1\\ 2x&=2\\ x&=1 \end{align*}$$ 检验：$\(\(x=\)1\)$，代入最简公分母$(x+1)(x-1)\(\boldsymbol{=0}\)$ ∴$\(\(x=\)1\)$是增根，**原方程无解** 本节核心：去分母化整式方程；**必须检验**，公分母为0就是增根，方程无解。高频易错：常数项漏乘公分母；不检验；去分母时多项式分子不加括号。 下一节：**18.5 第2课时 分式方程的实际应用**，同样1412字专项练习吗？ 复习引入 问题 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ① 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 . 它与我们以前学习的方程有何不同？ 方程①的分母中含有未知数. 合作探究 思考 如何解分式方程①呢？ 追问1 解整式方程的步骤有哪些？ 答：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 追问2 能否将分式方程化为整式方程呢？ 答：通过 “去分母”将分式方程化为整式方程. 合作探究 思考 如何解分式方程①呢？ 在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ 这样做的依据是什么？ 两边同时乘以(30+v)(30−v) 解得 v=6． 总结 (1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了． (2)利用等式的性质2，在方程两边都乘以各分母的最简公分母． 解：方程两边乘(30+v)(30−v)，得 解得 v=6. 检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，所以，原分式方程的解为v=6． 合作探究 由此可知，江水的流速为6 km/h. 合作探究 探究 运用上述 “去分母化为整式方程”的方法解分式方程 ， ② 你发现了什么问题？ 合作探究 解：方程两边乘(x+5)(x−5)，得 解得 x=5. 检验：当x=5时，x−5=0，x2−25=0，相应的分式无意义． 所以，原分式方程无解． x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程②的解. x=5是分式方程②的增根. 合作探究 思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 两边同时乘以(30+v)(30−v) 两边同时乘以(x+5)(x−5) 当v=6时，(30+v)(30−v)≠0 当x=5时，(x+5)(x−5)=0 去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解. 合作探究 解 分 式 方 程 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 典例分析 例1 解方程 解: 方程两边乘x(x−3)，得 2x=3x−9． 解得 x=9． 检验：当x=9时，x(x−3)≠0． 所以，原分式方程的解为x=9． 知识点1 分式方程的定义 1.下列关于x的式子：①＝1；②＝1＋；③＋＝1；④－3＝a＋4；⑤，是分式方程的有(　　) A.1个 B.2个　　 C.3个 D.4个 A 返回 基础提优题 【点拨】①＝1分母中含有未知数，是分式方程；②＝1＋，分母中不含有未知数，不是分式方程；③关于x的方程＋＝1，分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；④关于x的方程－3＝a＋4，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，且分母中π是常数，不是分式方程.综上所述，是分式方程的有1个.故选A. 返回 基础提优题 2. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的.小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用 水价格为x元/m3，则可列分式方程为　 　　　　. －＝3 返回 基础提优题 典例分析 例2 解方程 解: 方程两边乘(x−1)(x+2)，得 x(x+2)−(x−1)(x+2)=3． 解得 x=1． 检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 3.解分式方程＝2＋的步骤：①方程两边同时乘最简公分母(x－3)；②得整式方程x－1＝2(x－3)＋2；③解得x＝3；④故原方程的解为x＝3.其中有误的一步为(　　) A.①　　 B.②　　 C.③　　 D.④ D 【点拨】其中有误的一步为④，应将求得的根代入原分式方程检验，发现分母x－3的值为0，分式无意义，故原分式方程无解.故选D. 返回 基础提优题 4.已知关于x的方程＝的解是x＝1，则a的值为(　　) A.2　　 B.1　　 C.－1　　 D.－2 C 返回 基础提优题 5.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　　. －1 返回 基础提优题 6. 解分式方程： (1)＝； 【解】方程两边同时乘(x－1)(2x＋1)， 得2(2x＋1)＝3(x－1)，解得x＝－5. 经检验，x＝－5是原分式方程的根. 基础提优题 (2)＋＝1； 【解】方程两边同时乘(2x＋5)(5x－2)，得2x(5x－2)＋5(2x＋5)＝(2x＋5)(5x－2)，解得x＝. 经检验，x＝是原分式方程的根. 基础提优题 (3)－1＝. 【解】方程两边同时乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根. 所以原分式方程无解. 返回 基础提优题 归纳总结 分式方程 定义 的方程叫作分式方程 . 解 分 式 方 程 解分式方程的关键是将分式方程化为 ，具体做法是 ，即方程两边乘 ．得到整式方程的解后，要对其进行检验． 分母中含未知数 整式方程 “去分母” 最简公分母 谢谢观看 THANKS $