精品解析：湖南长沙市浏阳市青草初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年下期九年级第一次阶段性测练数学科目 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数且未知数的最高次数为1，是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、由原方程整理，得x＝-1，属于一元一次方程，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把x=1代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可． 【详解】解：将代入原方程可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想． 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 4. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键． 根据、当时，可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的判断C选项，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D选项． 【详解】解：A、当时，，图象经过，故在抛物线上，选项A说法正确，不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，选项B说法正确，不符合题意； C、二次函数中，，图象开口向下，选项C说法正确，不符合题意， D、二次函数图象开口向下，有最大值，选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 5. 用配方法解方程时，方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到等号右侧，配方凑完全平方式即可． 【详解】解：移项，得， 两边同时加，得， 即． 6. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 9. 下列图象中，有可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解． 【详解】解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意； 若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方； 故选：A 10. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即， ∴ 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程整理后，利用平方根的定义直接开方求解即可． 【详解】解：移项，得 对等式两边同时开平方，得 ∴方程的根为，． 12. 已知关于x的方程的两根为-3和-1，则p=_________；q=_________． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3. 故答案为4，3. 考点：一元二次方程的根与系数的关系 13. 若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到的次数为，由开口向上得到二次项系数大于，联立方程和不等式解答即可求解． 【详解】解：∵是二次函数，且开口向上， ∴， 解方程，得， ∴或， 解不等式，得， ∴不符合题意，舍去， ∴． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可； 【详解】解：根据题意可知， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别，根据题意列出不等式组是解题的关键． 16. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴． ∴ ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴ ∴， ∵， ； ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 即或， ∴，． 18. 二次函数的图象如图所示． （1）求的取值范围； （2）若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1） （2）A 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的开口向上得到，然后解不等式即可； （2）由抛物线的对称轴为y轴，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵该二次函数的图象开口向上， ∴，解得； 【小问2详解】 解：由二次函数可知，图象的对称轴为y轴，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 抛物线上的三个点，，中，， ∴． 19. 学校科学社团的成员制作了一个发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射小球．已知发射的小球离地面的高度为，其中（单位：）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的初速度．现用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面以初速度竖直向上发射． （1）小球从发射到落回地面需要多少秒？ （2）小球的高度能否达到？若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）小球从发射到落回地面需要2秒 （2）解：小球的高度不能达到，理由如下： 令，即， ∵这个方程根的判别式为， ∴这个方程没有实数根， ∴小球的高度不能达到． 【解析】 【分析】（1）根据小球落回地面时高度为0列方程，解方程即可； （2）令，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：小球从发射到落回地面需要2秒． 【小问2详解】 略． 20. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】 （1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 22. 综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： （1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）新停车场的长为，宽为 （2） 不可以，理由如下：设． 根据题意，得． 整理，得 解得（不符合题意，舍去）． 当时，．（不符合题意，舍去） 当时，新停车场的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设设将停车场的长、宽各增加，根据得到一个面积为的新停车场列方程求解即可； （2）假设新停车场的面积可以为，设，根据新停车场的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其正值代入验证即可． 【小问1详解】 解：设将停车场的长、宽各增加．根据题意，得 ． 整理，得． 解得（不符合题意，舍去）． ∴． 答：新停车场的长为，宽为． 【小问2详解】 略 23. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 24. 阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． （2）求方程的解． （3）若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 【答案】（1），，6或 （2）， （3）9 【解析】 【分析】（1）观察方程可得，则，利用因式分解法解方程即可； （2）结合（1）的结论，可得两个关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先利用换元法求出的值，再结合三角形的三边关系求解即可． 【小问1详解】 解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或． 【小问2详解】 解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或， 当时，则，解得，； 当时，则，即， 这个方程根的判别式，没有实数根； 综上，原方程的解为，． 【小问3详解】 解：令，则， 整理得：， 解得或， ∵的斜边， ∴当时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 当时，，满足三角形的三边关系，则此时的周长为； 综上，的周长为9． 25. 如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 （1）是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． （3）是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，再根据当时，，由勾股定理得，即，求解即可； （2）根据，代入化简即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， 由题意，得，， 则，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 当时，， ∴ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴存在，当时，使得． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴； 当时，则， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，存在，当或时，使得 是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，三角形的面积，矩形的面积，求函数关系式，解一元二次方程，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期九年级第一次阶段性测练数学科目 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 5. 用配方法解方程时，方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 9. 下列图象中，有可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根是_______． 12. 已知关于x的方程的两根为-3和-1，则p=_________；q=_________． 13. 若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是______． 16. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 二次函数的图象如图所示． （1）求的取值范围； （2）若抛物线上有，，三个点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 19. 学校科学社团的成员制作了一个发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射小球．已知发射的小球离地面的高度为，其中（单位：）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的初速度．现用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面以初速度竖直向上发射． （1）小球从发射到落回地面需要多少秒？ （2）小球的高度能否达到？若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 22. 综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： （1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 23. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 24. 阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． （2）求方程的解． （3）若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 25. 如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 （1）是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． （3）是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $