2.5有理数乘法与除法（第2课时） 教学设计 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2.5 有理数的乘法与除法（第2课时） 有理数乘法运算律 精品教学设计 课题 2.5 有理数的乘法与除法（第2课时：乘法运算律） 学科 数学 年级 七年级 教材版本 苏科版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课（运算律与简便计算课） 授课对象 七年级学生 授课时间 45分钟 设计者 XXX 授课班级 七年级（X）班 一、教材分析 本节是苏科版（2024）七年级上册第二章《有理数》中「2.5 有理数的乘法与除法」的第2课时，是在学生已经学习了有理数乘法法则的基础上，进一步学习有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并运用运算律进行简便计算。 从知识体系看，乘法运算律是有理数运算的重要组成部分。学生在小学阶段已经学过乘法交换律、结合律和分配律，但那是在正数范围内。引入负数之后，运算律是否仍然成立？这是本节课要解决的核心问题。同时，乘法运算律也是后续学习有理数除法、乘方运算以及整式乘法的重要基础。 从内容编排看，教材遵循「复习引入—猜想验证—归纳运算律—简便计算应用」的认知路径，先通过具体的计算例子，让学生发现交换两个因数的位置，积不变；改变乘法的运算顺序，积不变；一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数再相加；然后归纳出有理数乘法的三个运算律；最后学习如何运用运算律进行简便计算。这种编排体现了「从特殊到一般」的归纳思想。 二、学情分析 （一）已有基础 七年级学生已经学习了有理数的乘法法则，能够正确进行有理数的乘法运算。同时，学生在小学阶段已经熟悉了乘法交换律、结合律和分配律，知道在正数范围内，交换因数的位置、改变运算顺序、用分配律展开，结果都不变。这些都是学习本节课的直接基础。 （二）认知困难预判 1. 学生可能会想当然地认为「小学学过的运算律肯定还成立」，不去验证，缺乏严谨的数学态度； 2. 在运用乘法分配律时，学生容易漏乘项，特别是括号前面是负数的时候； 3. 运用运算律进行简便计算时，学生不知道哪些数应该结合在一起，特别是有分数和小数混合的时候； 4. 分配律逆用的时候（提公因数），学生不容易看出来，不知道怎么提。 （三）教学对策 针对上述困难，本节课采用「猜想—验证—归纳—应用」的策略，先让学生猜想小学学过的乘法运算律在有理数范围内是否仍然成立，然后通过具体例子验证；通过例题示范，教给学生简便计算的常用技巧；通过对比练习，强化分配律的正用和逆用；通过错例辨析，纠正「漏乘项」「符号错」等常见错误。 三、教学目标（核心素养导向） 目标维度 具体目标 归纳推理 与符号意识 通过具体计算验证有理数乘法交换律、结合律、分配律的合理性，理解并掌握三个运算律；在验证过程中发展归纳推理能力。 数学运算 与简便意识 能运用乘法运算律进行有理数乘法的简便计算；在运算过程中优化算法，提高运算能力和简便计算意识。 应用意识 与学习迁移 能运用乘法运算律解决简单的实际问题；体会运算律的应用价值，感受数学的简洁美和统一美。 四、教学重难点 教学重点：有理数乘法交换律、结合律、分配律的理解和运用；运用运算律进行简便计算。 教学难点：乘法分配律的正用和逆用；灵活选择合适的运算律进行简便计算。 五、教学方法与教学准备 教学方法：猜想验证法、讲练结合法、范例教学法、错例辨析法。 教学准备：多媒体课件（PPT）、学习任务单、彩色粉笔。 六、教学过程 教学环节 （时间） 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 复习回顾 提出猜想 （约5分钟） 【复习回顾】 1. 有理数乘法法则是什么？ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘都得0。 2. 小学学过哪些乘法运算律？ 乘法交换律：a × b = b × a 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 【提出猜想】 提问：我们现在学习了有理数，小学学过的乘法运算律，在有理数范围内还成立吗？ 引导：我们来算几个例子验证一下。 引出课题：今天我们就来研究有理数的乘法运算律。 1. 回顾有理数乘法法则； 2. 回忆小学学过的乘法运算律； 3. 思考：引入负数后，运算律还成立吗？ 4. 明确本节课学习内容。 1. 复习乘法法则，为新课做铺垫； 2. 从小学学过的运算律引入，让学生有亲切感； 3. 提出猜想——运算律在有理数范围内还成立吗？激发探究欲望； 4. 培养学生的猜想意识和严谨态度。 环节二 验证猜想 归纳运算律 （约12分钟） 【验证一：乘法交换律】 计算并比较： (1) (−6) × (−7) 和 (−7) × (−6) (−6) × (−7) = 42 (−7) × (−6) = 42 所以：(−6) × (−7) = (−7) × (−6) (2) 5 × (−6) 和 (−6) × 5 5 × (−6) = −30 (−6) × 5 = −30 所以：5 × (−6) = (−6) × 5 归纳：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 即：a × b = b × a （乘法交换律） 【验证二：乘法结合律】 计算并比较： (1) [(−3) × (−5)] × 2 和 (−3) × [(−5) × 2] [(−3) × (−5)] × 2 = 15 × 2 = 30 (−3) × [(−5) × 2] = (−3) × (−10) = 30 所以：[(−3) × (−5)] × 2 = (−3) × [(−5) × 2] 归纳：有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：(a × b) × c = a × (b × c) （乘法结合律） 【验证三：乘法分配律】 计算并比较： (1) 6 × [3 + (−2)] 和 6 × 3 + 6 × (−2) 6 × [3 + (−2)] = 6 × 1 = 6 6 × 3 + 6 × (−2) = 18 + (−12) = 6 所以：6 × [3 + (−2)] = 6 × 3 + 6 × (−2) 归纳：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即：a × (b + c) = a × b + a × c （乘法分配律） 强调：小学学过的乘法运算律，在有理数范围内仍然成立！ 1. 计算两组算式，比较结果是否相等； 2. 从具体例子中发现交换律成立； 3. 计算并验证结合律和分配律； 4. 归纳出有理数乘法的三个运算律。 1. 通过具体计算验证猜想，让学生经历「猜想—验证—归纳」的完整过程； 2. 每个运算律都用具体例子验证，体现归纳推理的严谨性； 3. 从特殊到一般，归纳出三个运算律，培养归纳能力； 4. 强调运算律在有理数范围内仍然成立，实现知识的迁移和扩展。 环节三 例题精析 简便计算 （约13分钟） 【例1：用运算律简便计算】 (1) (−8) × (−12) × (−0.125) × (− ) × (−0.1) 观察：−8和−0.125相乘得1！ 解：原式 = [(−8) × (−0.125)] × [(−12) × ] × (−0.1) = 1 × (−4) × (−0.1) = 0.4 讲解：互为倒数的先乘！−8和−0.125相乘得1，计算最简便！ (2) (2) (− + − ) × (−12) 观察：用分配律展开，−12和每个分母都能约分！ 解：原式 = (− ) × (−12) + × (−12) − × (−12) = 2 + (−9) − (−6) = 2 − 9 + 6 = −1 讲解：分配律展开后，每一项都能约分，不用通分，计算最简便！ 注意：分配律要乘遍括号里的每一项，不要漏乘！ 【例2：分配律逆用】 计算：(−5) × 计算：(−5) × + 7 × (−) − × (−1) 观察：每一项都有公因数 观察：每一项都有公因数 ，可以提出来！ 解：原式 = × [(−5) + 7 × (−1) − (−1)] = × (−5 − 7 + 1) = × (−11) = − 讲解：分配律逆用——提公因数，把复杂的乘法变成简单的乘法！ 【简便计算的常用技巧】 ① 互为倒数的先乘（得1） ② 能凑整的先乘 ③ 分配律正用：展开后能约分的 ④ 分配律逆用：提公因数 1. 观察算式特点，思考怎么算更简便； 2. 跟随教师板演，学习简便计算的方法； 3. 学习分配律的正用和逆用； 4. 总结简便计算的常用技巧。 1. 例1三道题分别对应三种简便技巧：倒数结合、分配律正用、分配律逆用，覆盖主要类型； 2. 每道题先让学生观察特点，再讲怎么算，培养观察能力和简便意识； 3. 分配律正用和逆用都讲到，全面掌握运算律； 4. 总结四种常用技巧，让学生有方法可循。 环节四 错例辨析 巩固练习 （约8分钟） 【错例辨析】 出示下列计算，判断对错并改正： (1) (−4) × 8 × (−0.25) = (−4) × (−0.25) × 8 = 1 × 8 = 8 （√） (2) (2) ( − ) × 6 = × 6 − = 3 − = （×！漏乘了！应该是 × 6 − × 6 = 3 − 2 = 1） (3) 3 × (−5 + 2) = 3 × (−5) + 2 = −15 + 2 = −13 （×！分配律要乘遍每一项，正确：3 × (−5) + 3 × 2 = −15 + 6 = −9） 【课堂小练习】 学生独立完成，用简便方法计算： (1) (−8) × (−12) × (−0.125) (2) (− + − ) × (−12) 学生板演，教师点评。 1. 判断错例中的错误并改正； 2. 特别关注分配律是否漏乘项； 3. 独立完成课堂小练习； 4. 板演展示，互相检查。 1. 错例辨析针对学生最容易犯的错误——分配律漏乘项； 2. 课堂小练习涵盖整数、分数两种类型，全面巩固简便计算； 3. 学生板演暴露问题，及时纠正； 4. 即时练习，检验学习效果。 环节五 实际应用 课堂小结 （约7分钟） 【实际应用】 例：某商店购进8箱苹果，每箱标准质量是25千克。现称得每箱的误差如下（超过记为正，不足记为负，单位：千克）： +0.2， −0.3， +0.1， −0.15， +0.25， −0.2， +0.05， −0.1 问：这8箱苹果的总质量是多少千克？ 解：先算误差之和： (+0.2) + (−0.3) + (+0.1) + (−0.15) + (+0.25) + (−0.2) + (+0.05) + (−0.1) = (0.2 + 0.1 + 0.25 + 0.05) + (−0.3 − 0.15 − 0.2 − 0.1) = 0.6 + (−0.75) = −0.15（千克） 总质量 = 25 × 8 + (−0.15) = 200 − 0.15 = 199.85（千克） 答：这8箱苹果的总质量是199.85千克。 【知识梳理】 教师引导学生围绕三个问题回顾： 1. 有理数乘法有哪些运算律？ 2. 运用运算律进行简便计算有哪些常用技巧？ 3. 分配律使用时要注意什么？ 师生共同梳理： 交换律：a × b = b × a 结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 简便技巧：倒数结合、凑整结合、分配律正用、分配律逆用 注意：分配律要乘遍每一项，不要漏乘！ 【分层作业】 ◆ 必做题（基础层）： 教材PXX 练习第1、2题；习题2.5 第3、4题 ◆ 选做题（提升层）： 计算：(− ◆ 选做题（提升层）： 计算：(− + − + ) × (−12) ◆ 拓展题（挑战层）： 用简便方法计算：99 ◆ 拓展题（挑战层）： 用简便方法计算：99 × (−9) 1. 思考苹果总质量问题，学习用运算律解决实际问题； 2. 围绕三个问题自主梳理知识脉络； 3. 记录分层作业要求，明确各层任务。 1. 用苹果质量这个实际问题，让学生感受乘法运算律的应用价值； 2. 问题串回收课堂主线，强化运算律和简便技巧； 3. 分层作业兼顾不同水平学生：必做题巩固基础，选做题训练分配律，拓展题探索巧算技巧。 七、板书设计 2.5 有理数乘法运算律 一、乘法交换律 a × b = b × a 二、乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) 三、乘法分配律 a × (b + c) = a × b + a × c 四、简便计算技巧 ① 倒数结合（得1） ② 凑整结合 ③ 分配律正用（展开约分） ④ 分配律逆用（提公因数） ★ 分配律要乘遍每一项！ 例题板演区 八、教学反思预设 （一）预期成效 本节课从复习小学学过的乘法运算律引入，通过具体计算验证猜想，让学生经历「猜想—验证—归纳—应用」的完整过程，自主发现有理数乘法的三个运算律。通过例题示范和错例辨析，学生应该能够掌握简便计算的常用技巧，并注意分配律不要漏乘项。 （二）可能存在的问题 1. 部分学生可能会想当然地认为运算律肯定成立，不去验证，缺乏严谨的数学态度； 2. 在运用分配律时，学生容易漏乘项，特别是括号前面是负数的时候； 3. 简便计算时，学生不知道哪些数应该结合在一起，观察能力不足； 4. 分配律逆用的时候（提公因数），学生不容易看出来。 （三）改进预案 1. 强调「猜想需要验证」的科学态度，每一个结论都要有例子支撑； 2. 分配律使用时，要求学生一项一项乘，写完一项划掉一项，防止漏乘； 3. 教给学生观察的方法——先看有没有倒数，再看有没有能凑整的，最后看分配律； 4. 多做一些分配律逆用的练习，让学生熟悉提公因数的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $