第5讲 相似三角形的性质 讲义 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第5讲 相似三角形的性质 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比 · 掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 会用相似三角形性质求线段长和图形面积 · 能综合相似判定与性质解决复杂几何问题 · 运用相似三角形解决实际测量问题（小孔成像、影长等） 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的对应线段 相似三角形对应角相等、对应边成比例 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 周长比等于相似比k 面积比等于相似比的平方k2 概念辨析例题：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，若△ABC中对应高为4，则△A'B'C'中对应高为多少？ 解析：对应高的比等于相似比，4：h=2：3，解得h=6 ☆ 2.相似三角形面积比 面积比=相似比的平方，即=k2 由面积比反推相似比时要开平方 两个相似三角形对应边上的高、中线之比均等于k 周长比=k，注意与面积比的平方关系区分 概念辨析例题：两个相似三角形面积比为4：9，周长和为20cm，求较小三角形周长 解析：面积比4：9→相似比2：3→周长比2：3；按比例分配，较小周长=20×=8cm ☆ 3.判定与性质综合 先由平行、两角相等、两边成比例夹角等判定相似 判定出相似后用性质求边、角、面积 常见模型：A字型、X型、母子型、斜A型 公共角+等角→相似；两边成比例+夹角等→相似 概念辨析例题：△ABC中D在AB上，∠ACD=∠B，求证AC2=AD·AB 解析：由∠A公共+∠ACD=∠B，得△ACD∽△ABC，对应边成比例AC：AB=AD：AC，即AC2=AD·AB ☆ 4.相似三角形实际应用 影长测高：同一时刻物高与影长成比例 小孔成像、凸透镜成像：利用相似三角形比例 标杆测高：利用两个相似直角三角形 方案设计：把实际问题抽象为相似模型列比例 概念辨析例题：用标杆DA=3m测楼高，影长CA=4m，AB=16m，求楼高EB 解析：由△CDA∽△CEB，DA：EB=CA：CB，3：EB=4：20，解得EB=12m 📋 知识总结表 性质 公式/结论 注意 对应边 ===k k为相似比 对应高/中线/角平分线 比=k 高、中线、角平分线均如此 周长比 周长比=k 各边同比例 面积比 面积比=k2 平方关系 对应角 ∠A=∠A'，∠B=∠B'… 对应顶点对准 影长测高 物高：影长=常数 同一时刻 ⚠️ 核心考点 【考点1】由相似三角形性质求线段长（第1-5题） · 先判定相似，再列对应边比例式 · 对应高、中线、角平分线之比=相似比 · 公共边作中间量，设未知数列方程 · 注意对应顶点顺序写比例 1．（2025秋•深圳校级月考）下列说法正确的是（　　） A．两个三角形的面积比是4：9，则这两个三角形对应中线的比也是4：9 B．对角线平分一组对角的矩形是正方形 C．若一个四边形的中点四边形是菱形，则这个四边形必是矩形 D．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是x＝4 【分析】选项A根据三角形面积比是相似比的平方，对应中线比等于相似比即可判定；选项B根据矩形内角等于90°，结合矩形对角线平分一组对角时，矩形邻边相等，由此判定四边形为正方形；选项C根据中点四边形是菱形仅要求原四边形对角线相等，但原四边形不一定是矩形（如等腰梯形）即可判定；选项D解方程即可判定． 【解答】解：A：∵三角形面积比等于相似比的平方，∴面积比为4：9时，相似比为2：3，对应中线比等于相似比2：3≠4：9，故A错误，不符合题意． B：∵矩形对角线相等且互相平分，若对角线平分一组对角，则每个内角被平分， ∵矩形内角为90°， ∴对角线把矩形分成的两个三角形为等腰直角三角形，故为正方形， ∴B正确，符合题意． C：∵中点四边形是菱形时，原四边形对角线相等，但原四边形不一定为矩形（如等腰梯形对角线相等），故C错误，不符合题意． D：∵方程x2﹣4x＝0可化为x（x﹣4）＝0， ∴解为x＝0或x＝4，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质、特殊四边形的判定、一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，△ABC的周长为9， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2， ∴△DEF的周长为9×2＝18． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 3．（2024秋•东坡区期末）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6、12、15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为 　11　 ． 【分析】先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2， ∴两个三角形的最短边为6，2， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝6：2＝3：1， ∵△ABC的周长＝6+12+15＝33， ∴△DEF的周长， 故答案为：11． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长比等于相似比”是解题的关键． 4．（2023秋•沈丘县期末）△ABC的三边长为4、5、6，△A'B'C'与△ABC相似且△A'B'C'的最长边是24，则△A'B'C'的周长为 　60　 ，两三角形的相似比是 　4：1　 ． 【分析】由相似三角形最长的边是对应边，即可求出两个相似三角形的相似比，由相似三角形周长的比等于相似比，即可求出△A′B′C′的周长． 【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC相似且△A'B'C'的最长边是24，△ABC的最长边是6， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比是4：1， ∴， ∵△ABC的周长＝4+5+6＝15， ∴△A′B′C′的周长＝60． 故答案为：60，4：1． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 5．（2023秋•中原区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，连接AC． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AC的垂直平分线，使其分别与AD，AC，BC交于点E，O，F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明想用九年级三角形相似或三角函数的知识求线段EF的长，请你帮他完成求解过程． 【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线EF即可； （2）△COF∽△CBA，利用相似三角形的性质即可解答． 【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC10（cm）， ∵EF⊥AC，AO＝CO， ∴CO＝5， ∴∠COF＝∠CBA＝90°， ∵∠OCF＝∠BCA， ∴△COF∽△CBA， ∴， 即， 解得OF， ∴EF． 【点评】本题考查尺规作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点2】由相似三角形性质求图形面积（第6-10题） · 面积比=相似比的平方 · 由面积比反求相似比要开方 · 同高三角形面积比=底之比 · 用面积比反推线段比 6．（2025秋•醴陵市期末）已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝85°，则∠C1＝　45°　 ．（填写角的度数） 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由相似三角形对应角相等可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝85°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣85°＝45°， ∵△ABC∽△A1B1C1， ∴∠C1＝∠C＝45°（相似三角形对应角相等）， 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 7．（2025秋•硚口区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是　2或　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，利用等腰三角形的性质，勾股定理求得AD，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△AEF∽△BDF时，利用旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和相似三角形的判定与性质得到BF，相似比为1的相似三角形为全等三角形得到AE＝BD＝2；②当△AEF∽△DBF时，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图， ∵BD＝2，CD＝4， ∴BC＝6， ∵AB＝AC＝5，AE⊥BC， ∴BE＝CEBC＝3， ∴DE＝1，AE4， ∴AD． ∵将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F， ∴DE＝AD． ①当△AEF∽△BDF时，如图， 则∠E＝∠BDF， ∴AE∥BD， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∴∠ADC＝∠FDB， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴△ADC∽△FDB， ∴， ∴BFAC＝2.5， ∴BF＝AF， ∴△AEF≌△BDF， ∴AE＝BD＝2． ②当△AEF∽△DBF时，如图， 则∠E＝∠B， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∵∠C＝∠B， ∴∠E＝∠B＝∠C＝∠DAE， ∴△DAE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE． 综上，AE的值是2或． 故答案为：2或． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 8．（2025春•同步）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8cm，A'B'＝16cm，△ABC的周长为20cm，△A'B'C'的面积为64cm2．求： （1）△A'B'C'的周长； （2）△ABC的面积． 【分析】（1）由相似三角形周长的比等于相似比，即可求解； （2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′， ∴， ∵△ABC的周长为20cm， ∴△A'B'C'的周长为40cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′， ∴， ∵△A'B'C'的面积为64cm2， ∴△ABC的面积为16cm2． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质． 9．（2023春•单元）在Rt△ABC中．∠C＝90°，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值，余弦值和正切值有变化吗？说明理由． 【分析】Rt△ABC中，如果边长都扩大2倍，则所得三角形与原来的三角形相似，因而∠A的大小不变，则∠A的正弦值和余弦值不变． 【解答】解：没有变化． 理由：Rt△ABC中，如果边长都扩大2倍，则所得三角形与原来的三角形相似，因而∠A的大小不变，则∠A的正弦值和余弦值不变． ∴锐角A的正弦值和余弦值没有变化． 【点评】此题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第11-24题） · 识别A字型、X型、母子型等基本模型 · 先用等角或平行判定相似，再用性质求边 · 复杂图形中拆分出相似三角形 · 乘积式→比例式→相似三角形 10．（2024•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是边AB，CD上的点，EF⊥AC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FG∥BC交AB于点G，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【解答】解：分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FG∥BC交AB于点G，则FG＝BC＝6，FH＝EC， ∵AB＝8，BC＝6， ∴， ∵∠AOE＝∠FGE＝90°，∠BAC＝90°﹣∠AEO＝∠GFE， ∵∠ABC＝∠FGE＝90°， ∴△FGE∽△ABC， ∴， 即， 解得， ∵四边形ECHF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∵AC⊥EF， ∴∠ACH＝90°， 在Rt△ACH中，由勾股定理得： ， ∴EC+FA的最小值为， 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2026春•温州期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，连接EG、EF，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2．若A、E、G三点共线，AG＝8，＝，，则阴影部分的面积是（　　） A．6 B．8 C．12 D．20 【分析】先给图形标记点，连结GF，FH，HE．利用“四个三角形全等、ABCD是正方形”的条件，证明中间的四边形EHFG是正方形，且EG＝4．设AE＝x，则DG＝x，用x表示出S1＝，S2＝8+2x．根据题目给出的面积比＝，列方程8+2x＝12×，解得x＝4/3（负根舍去）．阴影部分是4个和S1全等的三角形，所以S阴影＝4S1＝4×(8/9)＝32/9． 【解答】解：如图所示标，记点H，连结GF，FH，HE． 由题意，得AE＝BH，AH＝BF，∠DAE＝∠ABH，∠BAH＝∠CBF． 因为四边形ABCD为正方形， 所以∠DAB＝∠ABC＝90°， 所以∠DAB﹣∠DAE﹣∠BAH＝∠ABC﹣∠ABH﹣∠CBF，即∠EAH＝∠HBF． 在△AEH和△BHF中， ， 所以△AEH≌△BHF（SAS）， 所以HE＝FH． 同理可得△AEH≌△DGE≌△CFG≌△BHF， 所以HE＝EG＝GF＝FH， 所以四边形EHFG为菱形， 所以EG∥HF． 又因为EG∥CF， 所以C，F，H三点共线， 所以∠HBC+∠BCH＝∠HBC+∠ABH＝∠ABC＝90°， 所以∠BHC＝90°， 所以∠EHF＝90°， 所以菱形EHFG为正方形， 所以EG＝GF＝FH＝HE＝4． 同理可得A，E，G三点共线，B，H，E三点共线，D，G，F三点共线． 设AE＝x，则DG＝CF＝x， 所以，S2＝S△EFG+S△GFC． 因为＝， 所以S2＝12S1， 所以8+2x＝12×， 整理，得3x²﹣x﹣4＝0， 解得x₁＝4/3，x₂＝﹣1（不合题意，舍去）， 所以S1＝＝8/9， 所以S阴影＝4S1＝32/9． 故选：无（按题干S₁/S₂＝1/12计算，原选项均不符合，选项系按1/6设置）． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•成华区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点B作AE的垂线，垂足为G，，则△EFC的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】依据题意，由AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9，△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，进而可以判断得解． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴AD＝FD， ∴△ADF是等腰三角形， 同理△ABE是等腰三角形， AD＝DF＝9； ∵AB＝BE＝6， ∴CF＝3． ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得：AG＝2， 又BG⊥AE， ∴AE＝2AG＝4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵▱ABCD， ∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△EFC的周长为8． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比． 13．（2026春•西安校级月考）如图，▱ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　） A．7 B．6 C．9 D．11 【分析】根据题意得到AB∥CD且AB＝CD，证明△DEF∽△BAF，得到，求出S△BAF＝9，进而求出S△DFA＝6，得到S△BCD＝S△ABD＝15，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． 根据平行线的性质，得到∠FDE＝∠FBA（内错角相等）和∠FED＝∠FAB（内错角相等）． ∴△DEF∽△BAF， 已知DE＝2CE． ∵CD＝DE+CE， ∴CD＝2CE+CE＝3CE． 得． 又∵在平行四边形中AB＝CD， ∴， ∴△DEF与△BAF的相似比为． ∴， ∵△DEF的面积为4， ∴S△BAF＝9， ∴， ∴S△ABD＝S△BAF+S△DFA＝9+6＝15， ∴S△BCD＝S△ABD＝15， ∴S四边形CBFE＝S△BCD﹣S△DEF＝15﹣4＝11． 故选：D． 【点评】题目考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 14．（2026春•哈尔滨校级月考）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD，给出以下结论：①△AED≌△BEC；②AF＝2CF；③tan∠EAC；④若DF＝4，则AB＝12．以上结论正确的是　①②③④　 ．（填写序号） 【分析】根据正方形的性质得到AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，再根据中点性质得到DE＝CE，即可证△AED≌△BEC可判断①；证△ECF∽△BAF，得到，即可判断②；过点E作EG⊥AC于点G，设AD＝2x，则DE＝EC＝x，由勾股定理得，由正方形的性质得到∠ECG＝45°，再由勾股定理得，，再由三角函数求得的值，即可判断③；根据正方形的性质证明△CDF≌△CBF（SAS），得到，再由△ECF∽△BAF得到，所以，最后由△AED≌△BEC得到，所以，求得x＝6，即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°． ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE． 在△AED和△BEC中， ， ∴△AED≌△BEC（SAS），故①正确； ∵四边形ABCD是正方形，点E为CD的中点， ∴AB∥CE，AB＝2CE， ∴△ECF∽△BAF， ∴， ∴AF＝2CF，故②正确； 过点E作EG⊥AC于点G， 设AD＝2x，则DE＝EC＝x， ∴． ∵四边形ABCD是正方形ABCD， ∴∠ECG＝45°， ∴EG＝GC． ∵EG2+GC2＝EC2， ∴2EG2＝x2，则． ∴， ∴，故③正确； 在△CDF和△CBF中， ， ∴△CDF≌△CBF（SAS）， ∵， ∴． ∵△ECF∽△BAF， ∴， ∴， ∴． 由①得，， 由③得， ∴， ∴x＝6， ∴AB＝AD＝2x＝2×6＝12，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（2026•门头沟区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出DE长，证明△EFC∽△AFB，则，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝AE＝5，BC＝3， ∴∠D＝∠B＝∠ECF＝90°，AD＝BC＝3，AB＝DC＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴EC＝DC﹣DE＝5﹣4＝1， ∵∠ECF＝∠B＝90°，∠EFC＝∠AFB， ∴△EFC∽△AFB， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连结CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连结OD，则OD长的最大值为　　 ． 【分析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出，即（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【解答】解：如图，∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE＝4，，∠OCP＝∠ECD， ∴∠CPD＝30°， ∴CP＝2CD， ∴， ∴△COP∽△CED， ∴， ∴， ∵点E是定点，DE是定长1， ∴点D在半径为1的⊙E上， ∵， ∴OD的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，含30度角的直角三角形，圆周角定理，点与圆的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 17．（2024秋•郑州期中）如图，正方形ABCD中，点M为AD的中点，连接BM，交AC于点O，过点C作CN⊥BM，垂足为点N，则　　 ． 【分析】设AM＝x，先证明△ABM∽△NCB，得到NB关于x的表达式，再证△MEO∽△MAB，得到，再根据平行线分线段成比例得到，进一步得到ON关于x的表达式，从而得到答案． 【解答】解：在正方形ABCD中，点M为AD的中点，BM交AC于点O，CN⊥BM，垂足为点N，如图，过点O分别作OE⊥AD，OF⊥AB，垂足分别为E、F， ∴AD∥BC，∠MAB＝∠CNB＝90°， ∴∠AMB＝∠NBC， ∴△ABM∽△NCB， ∴， 设AM＝x， 则AB＝BC＝2x， 在直角三角形ABM中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵OE⊥AD，OF⊥AB，∠OAF＝∠EAO＝45°， ∴AE＝AF，OF＝EO， ∴四边形AFOE是正方形， ∴EO＝OF， ∵∠MEO＝∠MAB＝90°，∠EMO＝∠AMB， ∴△MEO∽△MAB， ∴， ∴， ∴， ∵EO∥AB， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 18．（2024•蒲江县校级衔接）梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE＝BE，EF∥BC交CD于F，AD＝15，BC＝21，则EF＝　17　 ． 【分析】过D作DH∥AB构造平行四边形及相似三角形，利用平行四边形及相似三角形的性质可得答案． 【解答】解：过D作DH∥AB交EF于G，交BC于H，如图， ∵AD∥BC，EF∥BC，DH∥AB， ∵四边形AEGD，四边形EBGH，四边形ABHD都为平行四边形， ∴AE＝DG，BE＝HG，AD＝EG＝BH＝15， ∵BC＝21， ∴CH＝BC﹣BH＝6， ∵EF∥BC， ∴△DGF～△DHC， ∴， ∵2AE＝BE， ∴GH＝2DG， ∴， ∴， ∴GFCH＝2， ∴EF＝EG+GF＝15+2＝17． 故答案为：17． 【点评】本题考查等腰梯形中通过作腰的平行线构造平行四边形及相似三角形，考查平行四边形的性质及相似三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 19．（2024春•姑苏区期末）在菱形ABCD中，点E为线段BC延长线上的一点，连接AE，交对角线BD于点F，交边CD于点G，连接CF． （1）求证：AF＝CF； （2）若AF＝6，FG＝4，求GE的长． 【分析】（1）由菱形的性质得到AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，然后结合BF＝BF，即可证明△ABF≌△CBF，进而得到AF＝CF； （2）先由菱形得到∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，从而得到∠DAF＝∠FEC，再结合∠BAF＝∠BCF，得到∠GCF＝∠CEF，证明△CFG∽△EFC得到，代入数据，计算即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF． ∵BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE， ∴∠DAF＝∠FEC， ∵△ABF≌△CBF， ∴∠BAF＝∠BCF，AF＝CF， ∴∠BAD−∠BAF＝∠BCD−∠BCF， ∴∠DAF＝∠DCF， ∴∠GCF＝∠CEF， ∵∠CFG＝∠EFC， ∴△CFG∽△EFC， ∴， ∵AF＝6＝CF，FG＝4， ∴， 解得GE＝5． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 20．（2026春•萨尔图区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，连接AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，∠BCA＝∠ACD，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，AO＝OC，进一步得出，结合∠AOF＝∠DOC即可得出结论； （2）由△AOF∽△DOC，得到∠FAO＝∠CDO，由直角三角形两两个锐角互余得出∠GAC+∠ACG＝90°，结合已知条件以及三角形内角和定理得出∠COD＝90°，即AC⊥BD，再根据菱形的判定即可证明． 【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴OB＝OD，AO＝OC， ∵AO2＝OF•OB， ∴OC2＝OF•OD，即， ∴， 又∵∠AOF＝∠DOC， ∴△AOF∽△DOC； （2）∵△AOF∽△DOC， ∴∠FAO＝∠CDO， ∵AG⊥BC， ∴∠BGF＝90°， ∴∠GAC+∠ACG＝90°， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴∠CDO+∠ACD＝90° ∴∠COD＝90°， 即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形． 【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出△AOF∽△DOC解答． 21．（2026秋•同步）如图，小明将一个边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点E处（不与点A，B重合），折痕FH交AD于点F，交BC于点H，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G． （1）小明判断△AEF∽△BGE，你同意吗？请说明理由； （2）当AE＝2cm时，求△BGE的周长． 【分析】（1）根据折叠的性质可得∠FEQ＝∠D＝90°，EF＝DF，根据角之间的关系通过等量代换可得∠AFE＝∠BEG；结合∠A＝∠B＝90°，利用相似三角形的判定定理即可解答； （2）设AF＝xcm，则DF＝EF＝（6﹣x）cm，由勾股定理求出AF的长；接下来利用相似三角形的性质求出BG和GE的长度，然后利用周长的计算公式计算即可． 【解答】解：（1）同意．理由如下： 根据折叠的性质可得∠FEQ＝∠D＝90°，EF＝DF． ∵∠AEF+∠BEG＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠BEG． ∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF∽△BGE； （2）设AF＝xcm，则DF＝EF＝（6﹣x）cm， ∴22+x2＝（6﹣x）2， ∴， 即，EF． ∵△AEF∽△BGE， ∴， 即， ∴BG＝3cm，GE＝5cm， ∴△BGE的周长为3+4+5＝12（cm）． 【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 22．（2025秋•锦州期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，D为AC的中点，DF⊥BC于点F，E为AB上一点，且EF＝BF，BG⊥BC交DE的延长线于点G，EB平分∠GEF，DE＝2． （1）求证：四边形BFDG是矩形； （2）求CF的长． 【分析】（1）先根据平行线的判定得BG∥DF，再证明∠GEB＝∠EBF，根据内错角相等两直线平行得DG∥BF，即可证明四边形BFDG是平行四边形，再根据∠GBF＝∠DFB＝90°，即可得出结论； （2）证明△ADE∽△ACB得，进而得BC＝4，设CF＝x，则EF＝BF＝4﹣x，，在Rt△EDF中，由勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵BG⊥BC，DF⊥BC， ∴∠GBF＝∠DFB＝90°，BG∥DF， ∵EF＝BF， ∴∠EBF＝∠BEF， ∵EB平分∠GEF， ∴∠BEF＝∠GEB， ∴∠GEB＝∠EBF， ∴DG∥BF， ∴四边形BFDG是平行四边形， 又∵∠GBF＝∠DFB＝90°， ∴四边形BFDG是矩形； （2）解：∵D为AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE＝2， ∴BC＝4， 设CF＝x，则EF＝BF＝4﹣x， ∵DF⊥BC，∠C＝60°， ∴， ∵四边形BFDG是矩形， ∴∠EDF＝90°， 在Rt△EDF中，DE2+DF2＝EF2， ∴， 解得（负值已舍去）， 即CF的长为． 【点评】本题考查了矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点4】相似三角形应用（第25-33题） · 影长测高：物高与影长成比例 · 小孔成像、凸透镜成像用相似比例 · 标杆、镜面反射测高 · 抽象实际问题为相似模型列方程 23．（2025秋•辛集市期末）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　） A．5cm B． C． D．8cm 【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可． 【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm， ∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°， ∴∠CEF＝∠GFI， ∵∠ECF＝∠FIG＝90°， ∴△GIF∽△FCE， ∴， 即， ∴CE＝4FI， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2， 即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202， 解得FI或FI＝0（舍去）， 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键． 24．（2025秋•汾阳市月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示的是中国象棋棋盘的一部分（设各个小正方形的边长均为1），根据“马走日”的规则“马”落在位置（　　）（从①②③④中选择合适的序号填写）处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点连接成的三角形相似． A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：如图，当马落在位置②处时，，， 则， 又∵∠ACB＝∠DFE， ∴△ABC∽△DEF， ∴马落在位置②处时，使“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点连接成的三角形相似． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 25．（2025秋•婺城区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若人偶AH到凸透镜中心O的距离OH＝7.5cm，焦点F1，F2到中心O的距离为3cm，则人像GC到中心点O的距离GO长为 　5　 cm． 【分析】连接AC，如图，根据题意AC经过点O，先证明△CGO∽△AHO得到，再证明△CGF2∽△DOF2得到，则利用AH＝OD得到，即，然后利用比例性质求出OG． 【解答】解：连接AC，如图，根据题意AC经过点O， ∵AH∥CG， ∴△CGO∽△AHO， ∴， ∵AD∥l∥BC， ∴OD＝AH， ∵OD∥CG， ∴△CGF2∽△DOF2， ∴， ∴， 即， 解得OG＝5， 即人像GC到中心点O的距离GO长为5cm． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 26．（2025秋•市北区校级月考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm，DF离地面的离度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝　5.5　 米． 【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答】解：在△DEF和△DBC中，∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即， 解得：BC＝4， ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m， 即树高5.5m． 故答案为：5.5． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键． 27．（2026•滁州模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝12cm，则AC的长度是　36　 cm． 【分析】首先根据题意证明△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度． 【解答】解：由图可知，∠A＝∠B＝90°，且∠COA＝∠DOB， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝12cm， ∴，即， 解得AC＝36cm， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，数学常识，掌握其相关知识点是解题的关键． 28．（2026•卢氏县模拟）一学习小组想要测量路口路灯AB的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（CD）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（CE）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（GH），测得此时小亮的影子（GF）长度为2.4米． （1）路灯AB的高为多少？ （2）学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 【分析】（1）设AB长为x米，BG长为y米，证明△AEB∽△DEC，根据相似的性质可得，再证△AFB∽△HFG，得到，联立即可求解； （2）多次测量取平均值（合理即可）． 【解答】解：（1）设AB长为x米，BG长为y米． ∵∠DEC＝∠AEB，∠DCE＝∠ABE， ∴△AEB∽△DEC． ∴，即． ∵∠HFG＝∠AFB，∠HGF＝∠ABF， ∴△AFB∽△HFG． ∴，即． ∴ 解得 答：路灯AB的高为13.6米． （2）学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，可多次测量取平均值（合理即可）． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2025•惠来县模拟）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图1，AB表示路灯的高度．实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆CD，调整地面上激光仪的位置点E，使从点E处发出的激光束恰好同时经过点D，A（图中各点均在同一竖立平面内），测得CE＝3米，BC＝5.7米． 【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段BC的长，最后不能求得路灯的高度．所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图2，在点E处再直立一根同样高度的标杆EF，调整地面上激光仪的位置点G，使从点G处发出的激光束恰好同时经过点F，A．若GE＝m，请你根据实验小组改进后的方案用含m的代数式表示路灯的高度AB． 【分析】（1）根据AB∥CD可知，根据CE＝3米，BC＝5.7米，CD＝2米，可知，从而可求AB的长度； （2）首先根据据AB∥CD可知，根据CE＝3米，EF＝2米，GE＝m，从而可得，根据AB∥EF可知，根据CE＝3米，EF＝2米，GE＝m，可得，等量代换可得，整理可得． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴△ECD∽△EBA， ∴， ∵CE＝3米，BC＝5.7米，CD＝2米， ∴EB＝EC+BC＝3+5.7＝8.7（米）， ∴， 解得：AB＝5.8米； （2）∵AB∥CD， ∴△ECD∽△EBA， ∴， 又∵CE＝3米，CD＝2米， ∴， 整理得：， ∵AB∥EF， ∴△EFG∽△BAG， ∴， 又∵CE＝3米，EF＝2米，GE＝m， ∴， ∴， 解得：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 30．（2024•迎江区校级开学）小丽看一本书，第1周看了全书的，第2周又看了72页，这时已看的页数和全书页数的比是4：5，这本书共有多少页？ 【分析】根据第1周看了全书的，第2周又看了72页，这时已看的页数和全书页数的比是4：5，列出关系式，解方程即可． 【解答】解：设这本书共有x页，依据“第1周看了全书的，第2周又看了72页，这时已看的页数和全书页数的比是4：5”得： x+72x， 解得：x＝315， 答：这本书共有315页． 【点评】本题考查了比的应用，分数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出关系式是解答本题的关键． 31．（2024•临沂一模）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）筒车的半径为4m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：）． 【分析】（1）连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，利用直径所对的圆周角为直角得∠BAG+∠AGB＝90°，再说明△DAB∽△DCA，得∠DAB＝∠ACB，从而证明结论； （2）当水面到GH时，作OM⊥GH于M，通过导角得出∠AGM＝45°，则OMOG＝2，从而解决问题． 【解答】（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG， ∴∠ACB＝∠AGB， ∵AG是直径， ∴∠ABG＝90°， ∴∠BAG+∠AGB＝90°， ∵AD2＝BD•CD， ∴， ∵∠ADB＝∠CDA， ∴△DAB∽△DCA， ∴∠DAB＝∠ACB， ∴∠DAB＝∠AGB， ∴∠DAB+∠BAG＝90°， ∴AD⊥AO， ∵OA是半径， ∴AD为⊙O的切线； （2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M， ∵CA＝CB，∠C＝30°， ∴∠ABC＝75°， ∵AG是直径， ∴∠ABG＝90°， ∴∠CBG＝15°， ∵BC∥GH， ∴∠BGH＝∠CBG＝15°， ∴∠AGM＝45°， ∴OMOG2， ∴筒车在水面下的最大深度为4﹣21.2（m）． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，得出∠AGM＝45°是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是AB上一点，连接DC，DE⊥DC，E点在直线AB下方且tan∠DEC＝2，连接AE，则△ADE面积的最大值是 　1　 ． 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，先证∠ABC＝∠DFE＝90°，∠DCB＝∠EDF，由此得△DCB和△EDF相似，则DC：ED＝DB：EF，再根据tan∠DEC2得EFDB，设AD＝x，则DB＝AB﹣AD＝4﹣x，则EF，由此得S△ADEAD•EF，据此可得S△ADE的最大值． 【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示： ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴∠ABC＝∠DFE＝90°， ∴∠DCB+∠BDC＝90°， ∵DE⊥DC， ∴∠BDC+∠EDF＝90°， ∴∠DCB＝∠EDF， ∴△DCB∽△EDF， ∴DC：ED＝DB：EF， ∵tan∠DEC2， ∴DB：EF＝2， ∴EFDB， 设AD＝x，则DB＝AB﹣AD＝4﹣x， ∴EFDB， ∴S△ADEAD•EFx（2﹣1/2x） 整理得：S△ADE， ∵， ∴， ∴S△ADE的最大值是1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积，锐角三角函数是解决问题的关键． 【练习 2】（2024秋•铜仁市期末）已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD＝10，CD＝6，cos∠ADC，则AD的长为　18　 ． 【分析】过点B作BE∥AC，过点B作BF⊥AE于点F，可证△ADC∽△EDB，根据相似三角形的性质可知，设AD＝3x，则DE＝5x，因为AD是∠BAC的平分线，可知∠BAD＝∠E，从而可证△AEB是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可知DF＝x，根据、BD＝10可以求出DF＝6，从而可求AD的长度． 【解答】解：过点B作BE∥AC，过点B作BF⊥AE于点F， ∴∠E＝∠CAD， 又∵∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC∽△EDB， ∴， 设AD＝3x，则DE＝5x， ∴AE＝AD+ED＝8x， 由题意可得：∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠E， ∴AB＝EB， ∵BF⊥AE， ∴， ∴DF＝AF﹣AD＝4x﹣3x＝x， ∵∠ADC＝∠EDB， ∴， ∴， ∵BD＝10， ∴FD＝6， ∴x＝6， ∴AD＝3x＝3×6＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 【练习 3】（2025秋•槐荫区期末）如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝3，则AC的长为　12　 ． 【分析】根据相似三角形的判定得出△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝6，AD＝3， ∴AC＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能求出两三角形相似是解此题的关键． 【练习 4】（2025•保康县模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH的面积的13倍，连接BE并延长交AD于M，则的值是 　　 ． 【分析】由面积比和勾股定理可得AF＝2FG，设FG＝x，则 延长CE交AD于N，由sin∠CDE＝sin∠DNE得 由NM∥BC得△MEN∽△BEC，可得 ，，则 ． 【解答】解：FD＝EF+ED＝FE+AF， ∴AD2＝AF+（AF+EF）2， ∵13EF2＝AD2， ∴13EF2＝AF+（AF+EF）2， ∴AF＝2FG， 设FG＝x，则 延长CE交AD于N， 由sin∠CDE＝sin∠DNE得 由NM∥BC得△MEN∽△BEC， 可得 ， ， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 5】（2023秋•新都区期末）如图，在四边形ABCF中，AF∥BC，连接AC，AB⊥AC，点D是线段BC的中点，连接AD，连接BF，BF恰好过线段AD的中点E，并交AC于点G． （1）求证：四边形ADCF为菱形； （2）求证：EG：EB＝1：3． 【分析】（1）利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质得到AF＝BD，利用中点的定义和平行四边形的判定定理得到四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质和菱形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明△AFG∽△CBG和△AEG∽△CFG，由相似三角形的性质定理得到，，设EG＝a，则GF＝2a，通过计算即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD． ∵点D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵AB⊥AC，点D是线段BC的中点， ∴AD为直角三角形斜边上的中线， ∴AD＝CDBC， ∴四边形ADCF为菱形； （2）由（1）知：AF＝BD＝CD， ∴． ∵AF∥BC， ∴△AFG∽△CBG， ∴． ∵四边形ADCF为菱形， ∴AD＝CF， ∵AEAD， ∴AEFC． ∵AD∥CF， ∴△AEG∽△CFG， ∴． 设EG＝a，则GF＝2a， ∴BG＝2GF＝4a， ∴BE＝BE＝EG＝3a， ∴EG：EB＝1：3． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 【练习 6】（2024秋•立山区期中）如图，在Rt△ABC中，D在斜边AB上，过点D作DE⊥AB，交AC的延长线于点E，交BC于点F．求证：AD•DB＝DF•DE． 【分析】先证明∠A＝∠BFD，再证明△ADE∽△FDB，根据相似三角形的性质即可证明结论． 【解答】证明：∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠BDF＝90°， ∴∠B+∠BFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BFD， 在△ADE和△FDB中，∠ADE＝∠BDF＝90°，∠A＝∠BFD， ∴△ADE∽△FDB， ∴， ∴AD•DB＝DF•DE． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•高青县期末）如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目． 求证：（1）△ACD∽△ECA； （2）∠ADB+∠AEB＝45°． 【分析】（1）可证明三个小正方形的边长相等，且B、C、D、E四点在同一条直线上，设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm，则，而∠ACD＝∠ECA，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ECA； （2）由AB＝BC，∠B＝90°，得∠ACB＝∠BAC＝45°，则∠ADB+∠DAC＝45°，由相似三角形的性质得∠DAC＝∠AEB，则∠ADB+∠AEB＝45°． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形， ∴AB＝BC＝CH＝CD＝DG＝DE，∠B＝∠BCH＝∠HCD＝∠CDG＝∠GDE＝90°， ∴∠BCH+∠HCD＝180°，∠CDG+∠GDE＝180°， ∴B、C、D、E四点在同一条直线上， 设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm， ∵，， ∴， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA． （2）∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∵∠ACB＝∠ADB+∠DAC， ∴∠ADB+∠DAC＝45°， ∵△ACD∽△ECA， ∴∠DAC＝∠AEB， ∴∠ADB+∠AEB＝45°． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△ACD∽△ECA是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•历城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，且∠A＝∠BDE． （1）求证：△BDF∽△BCD； （2）如果BD＝3，BC＝9，AB＝4，求DF的长． 【分析】（1）由F是边BC上一点，∠A＝∠BDE，得∠A＝∠BDF，由平行四边形的性质得∠A＝∠C，所以∠BDF＝∠C，而∠FBD＝∠DBC，则△BDF∽△BCD． （2）由BD＝3，BC＝9，CD＝AB＝4，根据相似三角形的性质得，则DFCD． 【解答】（1）证明：∵F是边BC上一点，∠A＝∠BDE， ∴∠A＝∠BDF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴∠BDF＝∠C， ∵∠FBD＝∠DBC， ∴△BDF∽△BCD． （2）解：∵△BDF∽△BCD，BD＝3，BC＝9，CD＝AB＝4， ∴， ∴DFCD4， ∴DF的长是． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠BDF＝∠C，进而证明△BDF∽△BCD是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 相似三角形对应高/中线/角平分线之比都等于相似比 · 周长比=k，面积比=k2，不要混淆 · 由面积比反求相似比要开平方 · 综合题先判定相似，再用性质求边或面积 · 实际测量问题先抽象出相似三角形 【作业 1】（2025秋•榆林校级期末）如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．CA平分∠BCD C． D．AC2＝BC•CD 【分析】根据相似三角形的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DAC， ∴∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠DCB，，， ∴CA平分∠BCD，AC2＝BC•CD， ∴A、B、D正确，C错误． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 【作业 2】（2026春•洛宁县期中）如图，线段AB∥DE，连接AE，BD交于点C，若AB＝6，DE＝2，AE＝8，则线段CE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．6 【分析】易证CDE∽△CBA，可得CE：AE＝1：3，即可得解． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠E，∠B＝∠D， ∴CDE∽△CBA， ∴， ∴CEAC＝2； 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 3】（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若，则　　 ． 【分析】根据题意证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握其性质是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•长宁区期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，联结格点A、B的线段交网格线于M、N两点，那么AM：MN：BN＝　4：5：3　 ． 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理得AB＝5，分别证明△AME∽△ABD和△BFN∽△BDA，可求出AM，BN，MN，从而可求出结论． 【解答】解：如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中， 设小正方形的边长为1，则AD＝3，BD＝4， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∵ME∥BD， ∴△AME∽△ABD， ∴， ∴， 解得：； 同理可得△BFN∽△BDA， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：4：5：3． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 5】（2026•深圳一模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC于点G，则的值为　　 ． 【分析】过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N，设正方形的边长为2，先证明△DMC∽△CBE，求出，再由旋转以及等腰三角形的性质得到，再证明△CFN∽△CEB，求出，再由△GFN∽△GAB求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE于点M，过点F作FN⊥BC于点N， 设正方形的边长为2，即AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∵点E是边AB的中点， ∴BE＝1， ∵正方形ABCD， ∴CD∥AB，∠ABC＝90°， ∴∠DCM＝∠CEB，∠DMC＝∠CBE＝90°，， ∴△DMC∽△CBE， ∴， ∴， ∵旋转， ∴DF＝DA＝DC＝2， ∵DM⊥CE， ∴， ∵FN⊥BC，∠B＝90°， ∴FN∥BE， ∴△CFN∽△CEB， ∴， ∴， ∴， ∵FN∥BE， ∴△GFN∽△GAB， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【作业 6】（2026春•东台市月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P，Q分别从A，C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，则当t＝　2或3　 时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP＝t厘米，CQ＝2t厘米，由AP＝BQ得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP，根据题意，得AP＝x厘米，CQ＝2x厘米，则PD＝（9﹣x）厘米，由CQ＝PD得出方程，解方程即可． 【解答】解：在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P，Q分别从A，C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．则： ①设经过t秒四边形ABQP是平行四边形， 根据题意，得AP＝t厘米，CQ＝2t厘米，则BQ＝（6﹣2t）厘米， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝6﹣2t，解得t＝2， 即经过2秒四边形ABQP为平行四边形； ②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP， 根据题意，得AP＝x厘米，CQ＝2x厘米，则PD＝（9﹣x）厘米， ∵AD∥BC， ∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2x＝9﹣x 解得x＝3． 综上，经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 【作业 7】（2025秋•闵行区月考）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB、AC上．已知AC＝3，AB＝4，BC＝5，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式为 　　 ．（不必写出定义域） 【分析】如图：作AH⊥BC交DG，BC于点P、H，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，进而得到，再证明△ADG∽△ABC可得，进而得到，最后运用矩形的面积公式即可解答． 【解答】解：如图：作AD⊥BC交DG，BC于点P、H， ∵AC＝3，AB＝4，BC＝5， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∵， ∴， 解得：， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴矩形DEFG的面积为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质等知识点，运用相似三角形的判定与性质用x表示出DE是解题的关键． 【作业 8】（2024•盂县三模）如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝　10　 ． 【分析】先证得△EDF∽△ECB，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出，根据已知条件得出，再证AB＝AF，设AB＝x，则AF＝x，FD＝16﹣x，即可求出x的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝16， ∴△EDF∽△ECB， ∴， ∵S△EDF：S四边形FBCD＝9：55， ∴， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF， 设AB＝x，则AF＝x， ∵AD＝16， ∴FD＝AD﹣AF＝16﹣x， ∴， ∴x＝10， 即AB＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【作业 9】（2026•博山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线，CD平分∠ACB，AE与CD相交于点F，已知BC＝5，AB＝3，则线段EF的长为　　 ． 【分析】过E作EG∥CA交CD是延长线于点G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠BCD＝∠ACD＝∠G，根据等角对等边得出EG＝CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出AC＝4，证明△EFG∽△AFC，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过E作EG∥CA交CD是延长线于点G， ∴∠BCD＝∠ACD，∠G＝∠ACD， ∴∠BCD＝∠G， ∴EG＝CE， ∵∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线，BC＝5， ∴， ∴， ∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， ∴AC＝4， ∵EG∥CA， ∴△EFG∽△AFC， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【作业 10】（2025秋•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，AD•AB＝AE•AC，点F是BE与CD的交点． （1）求证：△FDB∽△FEC． （2）如果AB＝15，AC＝18，AD＝6，求EF：DF． 【分析】（1）证明△ABE∽△ACD，得到∠ABE＝∠ACD，即可得出结论； （2）由AD•AB＝AE•AC，AB＝15，AC＝18，AD＝6，求出AE＝5，得到BD＝9，CE＝13，由△FDB∽△FEC，得到． 【解答】（1）证明：∵AD•AB＝AE•AC， ∴， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD， 又∵∠DFB＝∠EFC， ∴△FDB∽△FEC； （2）解：∵AB＝15，AC＝18，AD＝6，AD•AB＝AE•AC， ∴6×15＝AE×18， 解得：AE＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9，CE＝AC﹣AE＝18﹣5＝13， ∵△FDB∽△FEC， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 11】（2026•蓬江区模拟）综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍AB倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍AB在地面上投影为CD．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍AB在地面上的投影为EF． 【问题解决】 （1）如图（1），测得CD＝5米，为验证木棍AB，投影线AC，投影线BD，影长CD组成的四边形ACDB是轴对称图形，请你帮助证明：∠ABD＝∠CDB． （2）如图（2），发现木棍AB，投影线AE，投影线BF，影长EF组成的四边形AEFB也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 【分析】（1）过点A作AG∥CD交BD于点G，证明四边形ACDG为平行四边形可得AB＝AG，即可证明； （2）过点A作AS⊥EF于点S，AR⊥PF于点R，可知四边形ASFR是矩形，由题意可知P，B，F三点在同一直线上，且PF⊥EF，根据轴对称图形得到EF＝BF＝7米，证明△ARP∽△EFP，进而求出，求出PF的长即可． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AG∥CD交BD于点G， 由题意得AC∥BD，又AG∥CD， ∴四边形ACDG是平行四边形，∠2＝∠1， ∴AG＝CD＝5米， ∵AB＝5米， ∴AB＝AG， ∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2， ∴∠ABD＝∠CDB； （2）解：如图，过点A作AS⊥EF于点S，AR⊥PF于点R，则四边形ASFR是矩形， ∵路灯P在点B正上方， ∴P，B，F三点在同一直线上，且PF⊥EF， ∵AB＝5米，AS＝AR＝4米， ∴RF＝AS＝4米，（米）， ∵四边形AEFB是轴对称图形， ∴EF＝BF＝BR+RF＝3+4＝7（米）， ∵∠P＝∠P，∠ARP＝∠EFP＝90°， ∴△ARP∽△EFP， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：路灯P距地面高度为米． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，轴对称图形，中心投影，平行投影， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 相似三角形的性质 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比 · 掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 会用相似三角形性质求线段长和图形面积 · 能综合相似判定与性质解决复杂几何问题 · 运用相似三角形解决实际测量问题（小孔成像、影长等） 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的对应线段 相似三角形对应角相等、对应边成比例 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 周长比等于相似比k 面积比等于相似比的平方k2 概念辨析例题：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，若△ABC中对应高为4，则△A'B'C'中对应高为多少？ 解析：对应高的比等于相似比，4：h=2：3，解得h=6 ☆ 2.相似三角形面积比 面积比=相似比的平方，即=k2 由面积比反推相似比时要开平方 两个相似三角形对应边上的高、中线之比均等于k 周长比=k，注意与面积比的平方关系区分 概念辨析例题：两个相似三角形面积比为4：9，周长和为20cm，求较小三角形周长 解析：面积比4：9→相似比2：3→周长比2：3；按比例分配，较小周长=20×=8cm ☆ 3.判定与性质综合 先由平行、两角相等、两边成比例夹角等判定相似 判定出相似后用性质求边、角、面积 常见模型：A字型、X型、母子型、斜A型 公共角+等角→相似；两边成比例+夹角等→相似 概念辨析例题：△ABC中D在AB上，∠ACD=∠B，求证AC2=AD·AB 解析：由∠A公共+∠ACD=∠B，得△ACD∽△ABC，对应边成比例AC：AB=AD：AC，即AC2=AD·AB ☆ 4.相似三角形实际应用 影长测高：同一时刻物高与影长成比例 小孔成像、凸透镜成像：利用相似三角形比例 标杆测高：利用两个相似直角三角形 方案设计：把实际问题抽象为相似模型列比例 概念辨析例题：用标杆DA=3m测楼高，影长CA=4m，AB=16m，求楼高EB 解析：由△CDA∽△CEB，DA：EB=CA：CB，3：EB=4：20，解得EB=12m 📋 知识总结表 性质 公式/结论 注意 对应边 ===k k为相似比 对应高/中线/角平分线 比=k 高、中线、角平分线均如此 周长比 周长比=k 各边同比例 面积比 面积比=k2 平方关系 对应角 ∠A=∠A'，∠B=∠B'… 对应顶点对准 影长测高 物高：影长=常数 同一时刻 ⚠️ 核心考点 【考点1】由相似三角形性质求线段长（第1-5题） · 先判定相似，再列对应边比例式 · 对应高、中线、角平分线之比=相似比 · 公共边作中间量，设未知数列方程 · 注意对应顶点顺序写比例 1．（2025秋•深圳校级月考）下列说法正确的是（　　） A．两个三角形的面积比是4：9，则这两个三角形对应中线的比也是4：9 B．对角线平分一组对角的矩形是正方形 C．若一个四边形的中点四边形是菱形，则这个四边形必是矩形 D．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是x＝4 2．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 3．（2024秋•东坡区期末）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6、12、15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为 _______ ． 4．（2023秋•沈丘县期末）△ABC的三边长为4、5、6，△A'B'C'与△ABC相似且△A'B'C'的最长边是24，则△A'B'C'的周长为 _______ ，两三角形的相似比是 _____ ． 5．（2023秋•中原区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，连接AC． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AC的垂直平分线，使其分别与AD，AC，BC交于点E，O，F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明想用九年级三角形相似或三角函数的知识求线段EF的长，请你帮他完成求解过程． 【考点2】由相似三角形性质求图形面积（第6-10题） · 面积比=相似比的平方 · 由面积比反求相似比要开方 · 同高三角形面积比=底之比 · 用面积比反推线段比 6．（2025秋•醴陵市期末）已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝85°，则∠C1＝________ ．（填写角的度数） 7．（2025秋•硚口区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是____________________ ． 8．（2025春•同步）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8cm，A'B'＝16cm，△ABC的周长为20cm，△A'B'C'的面积为64cm2．求： （1）△A'B'C'的周长； （2）△ABC的面积． 9．（2023春•单元）在Rt△ABC中．∠C＝90°，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值，余弦值和正切值有变化吗？说明理由． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第11-24题） · 识别A字型、X型、母子型等基本模型 · 先用等角或平行判定相似，再用性质求边 · 复杂图形中拆分出相似三角形 · 乘积式→比例式→相似三角形 10．（2024•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是边AB，CD上的点，EF⊥AC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•温州期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，连接EG、EF，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2．若A、E、G三点共线，AG＝8，＝，，则阴影部分的面积是（　　） A．6 B．8 C．12 D．20 12．（2025秋•成华区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点B作AE的垂线，垂足为G，，则△EFC的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 13．（2026春•西安校级月考）如图，▱ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE＝2CE，△DEF的面积为4，则四边形CBFE的面积为（　　） A．7 B．6 C．9 D．11 14．（2026春•哈尔滨校级月考）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD，给出以下结论：①△AED≌△BEC；②AF＝2CF；③tan∠EAC；④若DF＝4，则AB＝12．以上结论正确的是_________ ．（填写序号） 15．（2026•门头沟区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是__________________ ． 16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连结CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连结OD，则OD长的最大值为__________________ ． 17．（2024秋•郑州期中）如图，正方形ABCD中，点M为AD的中点，连接BM，交AC于点O，过点C作CN⊥BM，垂足为点N，则__________________ ． 18．（2024•蒲江县校级衔接）梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE＝BE，EF∥BC交CD于F，AD＝15，BC＝21，则EF＝_______ ． 19．（2024春•姑苏区期末）在菱形ABCD中，点E为线段BC延长线上的一点，连接AE，交对角线BD于点F，交边CD于点G，连接CF． （1）求证：AF＝CF； （2）若AF＝6，FG＝4，求GE的长． 20．（2026春•萨尔图区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，连接AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，∠BCA＝∠ACD，求证：四边形ABCD是菱形． 21．（2026秋•同步）如图，小明将一个边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点E处（不与点A，B重合），折痕FH交AD于点F，交BC于点H，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G． （1）小明判断△AEF∽△BGE，你同意吗？请说明理由； （2）当AE＝2cm时，求△BGE的周长． 22．（2025秋•锦州期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，D为AC的中点，DF⊥BC于点F，E为AB上一点，且EF＝BF，BG⊥BC交DE的延长线于点G，EB平分∠GEF，DE＝2． （1）求证：四边形BFDG是矩形； （2）求CF的长． 【考点4】相似三角形应用（第25-33题） · 影长测高：物高与影长成比例 · 小孔成像、凸透镜成像用相似比例 · 标杆、镜面反射测高 · 抽象实际问题为相似模型列方程 23．（2025秋•辛集市期末）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　） A．5cm B． C． D．8cm 24．（2025秋•汾阳市月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示的是中国象棋棋盘的一部分（设各个小正方形的边长均为1），根据“马走日”的规则“马”落在位置（　　）（从①②③④中选择合适的序号填写）处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点连接成的三角形相似． A．① B．② C．③ D．④ 25．（2025秋•婺城区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若人偶AH到凸透镜中心O的距离OH＝7.5cm，焦点F1，F2到中心O的距离为3cm，则人像GC到中心点O的距离GO长为 _____ cm． 26．（2025秋•市北区校级月考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm，DF离地面的离度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝________ 米． 27．（2026•滁州模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝12cm，则AC的长度是_______ cm． 28．（2026•卢氏县模拟）一学习小组想要测量路口路灯AB的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（CD）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（CE）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（GH），测得此时小亮的影子（GF）长度为2.4米． （1）路灯AB的高为多少？ （2）学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 29．（2025•惠来县模拟）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图1，AB表示路灯的高度．实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆CD，调整地面上激光仪的位置点E，使从点E处发出的激光束恰好同时经过点D，A（图中各点均在同一竖立平面内），测得CE＝3米，BC＝5.7米． 【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段BC的长，最后不能求得路灯的高度．所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图2，在点E处再直立一根同样高度的标杆EF，调整地面上激光仪的位置点G，使从点G处发出的激光束恰好同时经过点F，A．若GE＝m，请你根据实验小组改进后的方案用含m的代数式表示路灯的高度AB． 30．（2024•迎江区校级开学）小丽看一本书，第1周看了全书的，第2周又看了72页，这时已看的页数和全书页数的比是4：5，这本书共有多少页？ 31．（2024•临沂一模）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）筒车的半径为4m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：）． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是AB上一点，连接DC，DE⊥DC，E点在直线AB下方且tan∠DEC＝2，连接AE，则△ADE面积的最大值是 _____ ． 【练习 2】（2024秋•铜仁市期末）已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD＝10，CD＝6，cos∠ADC，则AD的长为_______ ． 【练习 3】（2025秋•槐荫区期末）如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝3，则AC的长为_______ ． 【练习 4】（2025•保康县模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH的面积的13倍，连接BE并延长交AD于M，则的值是 __________________ ． 【练习 5】（2023秋•新都区期末）如图，在四边形ABCF中，AF∥BC，连接AC，AB⊥AC，点D是线段BC的中点，连接AD，连接BF，BF恰好过线段AD的中点E，并交AC于点G． （1）求证：四边形ADCF为菱形； （2）求证：EG：EB＝1：3． 【练习 6】（2024秋•立山区期中）如图，在Rt△ABC中，D在斜边AB上，过点D作DE⊥AB，交AC的延长线于点E，交BC于点F．求证：AD•DB＝DF•DE． 【练习 7】（2025秋•高青县期末）如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目． 求证：（1）△ACD∽△ECA； （2）∠ADB+∠AEB＝45°． 【练习 8】（2025秋•历城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，且∠A＝∠BDE． （1）求证：△BDF∽△BCD； （2）如果BD＝3，BC＝9，AB＝4，求DF的长． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•榆林校级期末）如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．CA平分∠BCD C． D．AC2＝BC•CD 【作业 2】（2026春•洛宁县期中）如图，线段AB∥DE，连接AE，BD交于点C，若AB＝6，DE＝2，AE＝8，则线段CE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．6 【作业 3】（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若，则__________________ ． 【作业 4】（2025秋•长宁区期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，联结格点A、B的线段交网格线于M、N两点，那么AM：MN：BN＝__________ ． 【作业 5】（2026•深圳一模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A的对应点F恰好落在CE上时，连接AF，延长AF交BC于点G，则的值为__________________ ． 【作业 6】（2026春•东台市月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P，Q分别从A，C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，则当t＝________ 时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【作业 7】（2025秋•闵行区月考）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB、AC上．已知AC＝3，AB＝4，BC＝5，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式为 ____________________ ．（不必写出定义域） 【作业 8】（2024•盂县三模）如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝_______ ． 【作业 9】（2026•博山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线，CD平分∠ACB，AE与CD相交于点F，已知BC＝5，AB＝3，则线段EF的长为____________________ ． 【作业 10】（2025秋•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，AD•AB＝AE•AC，点F是BE与CD的交点． （1）求证：△FDB∽△FEC． （2）如果AB＝15，AC＝18，AD＝6，求EF：DF． 【作业 11】（2026•蓬江区模拟）综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍AB倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍AB在地面上投影为CD．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍AB在地面上的投影为EF． 【问题解决】 （1）如图（1），测得CD＝5米，为验证木棍AB，投影线AC，投影线BD，影长CD组成的四边形ACDB是轴对称图形，请你帮助证明：∠ABD＝∠CDB． （2）如图（2），发现木棍AB，投影线AE，投影线BF，影长EF组成的四边形AEFB也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 复习建议 · 相似三角形对应高/中线/角平分线之比都等于相似比 · 周长比=k，面积比=k2，不要混淆 · 由面积比反求相似比要开平方 · 综合题先判定相似，再用性质求边或面积 · 实际测量问题先抽象出相似三角形 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $