山东聊城市冠县实验中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年九年级（上）第一次月考数学试卷 一、单选题(每题3分） 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 3．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 4．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） （4题图） （5题图） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）．（第6题图） A．30 B．36 C．45 D．56.25 7．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B． C． D．1 二、填空题(每题3分） 11．如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为___________． （11题图） （15题图） 12．方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 13．已知的两个根分别为、，则______． 14．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 15．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 三、解答题 16．（每题4分）解一元二次方程： (1) (2) (3) 17．（6分）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边确定点，连接，使； (2)在图②中的边确定点，连接，使； (3)在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 19．（8分）【阅读与思考】 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则      ．   这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论． 【解决问题】 (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)请将另一种情况画出相应图形并解答． 20．（7分）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)（2分）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． (2)（5分）仿照材料中的方法，尝试解方程． 21．（12分）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 22．（10分）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 23．（12分）在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示______，_______； (2)是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； (3)当t为何值时，与相似． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级（上）第一次月考数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D B D C B A 11．50 12．21 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 13． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 14． 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 15．2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 16．(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 17．(1)解：所求图形如图所示； (2)解：所求图形如图所示； (3)解：所求图形如图所示； 【分析】（1）利用网格特点取的中点E，即可解答； （2）取线段与格线的交点G，得到点G是的中点，即可解答； （3）取与格线的交点N，连接，此时点B与点N在水平方向上的距离为3，再确定点M即可． 18．(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 19．(1)，； (2) 另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点作，   ，则， ， ， 综上可得：DE为或． 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论； （2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点作，则，可得出结论． 【详解】（1）正确比例式为：， ， （2）略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 20．(1) (2)，，， 【详解】解：设，那么，于是原方程可变为； 解得：； 当时，； 当时，； 原方程有四个根：，，， 故答案为：，，， 21．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 22．(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 经检验，符合题意。 答：单价应降低4元． 23．(1)8-2t；t (2)不存在时间t，使得，理由： ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在时间t，使得； (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键． （1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长； （2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可； （3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，． 故答案为：，； （2）略 （3）解：当时， 则， ∴， 解得； 当时， 则， ∴， 解得． 综上可知，当t的值为或时，与相似． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $