精品解析：河北保定市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

保定二中高三年级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数的最小值为 10. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. B. ， C. 在内存在极小值点 D. 有2个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 14. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 已知中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，且，求的周长． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； （3）已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定二中高三年级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示集合和集合的交集，是由既属于集合又属于集合的所有元素构成的集合， 又因为集合，，所以. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件分析判断即可. 【详解】充分性：当时，因为函数在上单调递增，所以， 此时无意义，故充分性不成立； 必要性：函数在上单调递增，所以由得出， 又函数在上单调递增，所以，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 5. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可． 【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立 ，解得 故选：D 【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题． 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理得， ， 解得，由， 故． 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 8. 已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义，分析函数零点的性质，将不同函数零点用一个函数零点表示，进而分析出集合中有多少种不同的元素，即可求解. 【详解】如果是函数的零点，即， 那么用代换可得，， 即也是函数的一个零点， 而因为零点共有五个，因此必有，即， 故剩下的四个零点必然互为倒数，即，， 而因为，因此联立，得，，，， 根据条件集合中的元素可能包括，，，，，，，，，， 根据集合的性质，集合中共有7个不同的元素. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出实函数定义域即可判断；对于B，由幂函数的性质判断即可；对于C，先确定定义域，再利用定义法判断奇偶性即可；对于D，易知时，即可判断． 【详解】对于A，函数，则，解得， 故函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，单调递增， 故函数是增函数，B正确； 对于C，函数定义域为，且， 故函数是偶函数，C正确； 对于D，当时，， 当时，，故函数没有最小值，D错误． 10. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性等可判断AB选项，利用导数得出函数单调性可求得其值域并判断是否存在对称轴，可判断CD选项. 【详解】由已知的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，故A选项错误； 由已知，则， 所以函数关于点中心对称，B选项正确； 由，则， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，最大值为， 即函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的最大值为， 由函数在上的单调性可知，函数无对称轴，故C错误，D选项正确. 11. 已知函数，则（ ） A. B. ， C. 在内存在极小值点 D. 有2个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 利用经典不等式放缩；B 通过放大分子，构造函数证明不等式；C 由在上单调递减且仅有一个零点，判断该零点为极大值点；D 构造，通过二阶导数分析单调性与零点个数. 【详解】函数，求导得，记. 选项 A：要证，即证. 易知，因为两处取等条件不一致，所以，A 正确. 选项 B：要证，，即证. 因，故，只需证. 令，则， 令，则. 当时，，，故括号内大于 1， 又 ，所以.从而在上单调递增， ，故单调递增，. 因此 ，进而，即.B 正确. 选项 C：在内，， 故在内单调递减. 又，，故存在唯一使. 当 时，；当时，. 故是极大值点，在 内不存在极小值点.C 错误. 选项 D：方程即，令. 当时，若，，故，；若，，故，.因此时无零点. 当时，，令，则. 在内，故单调递增.又，， 故存在唯一使，在上单调递减，在上单调递增. ，，. 故在和内各有一个零点. 当时，，单调递增且，故无零点. 综上，恰有 2 个正根，即有 2 个解.D 正确. 【点睛】方法点睛：本题以含三角函数与指数函数的分式函数为载体，核心是求导后通过分子的符号分析单调性.解题中反复运用 "放缩 — 构造 — 求导定单调" 的思路：先用经典不等式，合理放缩，再构造辅助函数，必要时通过二阶导数判断一阶导数的符号，进而确定原函数的单调性与极值、零点情况. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题求得的范围，结合已知求得，再由诱导公式求得及，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得的值． 【详解】解：是第四象限角， ，则， 又， ． ，． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 14. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用所给函数的奇偶性、单调性，转化为的关系式，再利用“1”的代换即可求得最值． 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 又，故函数为奇函数， 因为均为上的增函数， 所以函数为上的增函数， 由得， 所以，则，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 16. 已知中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即得. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，及由正弦定理得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即， 又，因此，而，解得，， 所以的周长为． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，从而得三角形周长； （3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化为关于的式子，再由的范围求得结论． 【小问1详解】 在中，由及正弦定理、内角和定理，得， 即 ，故得，从而， 或， 而，故（舍去）． 【小问2详解】 由的面积为 又由余弦定理，得， 从而得， 所以的周长为． 【小问3详解】 由正弦定理得 为锐角三角形，由，得，则， 即，故， 得， 所以的范围是． 18. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； 【小问3详解】 若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； （3）已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有，取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第26个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【小问1详解】 假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． 【小问2详解】 因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． 【小问3详解】 由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $