（冲刺120系列）2026-2027学年高三上学期数学期中冲刺卷01（I卷地区适用）

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 给予高三学生：你经管努力，关关难过关关过，预祝高三学生前程似锦，前途一片辉煌，工作室为你们保驾护航 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 给予高三学生：你经管努力，关关难过关关过，预祝高三学生前程似锦，前途一片辉煌，工作室为你们保驾护航 （冲刺120系列）2026-2027学年高三数学期中冲刺卷01 介绍：同学你好，本资料适用于冲刺120分的同学使用，本资料以基础，中档题为主，难题较少 （8，14,19题为较难题，请合理分配） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）设，，是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题5分）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（本题5分）已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 5．（本题5分）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（本题5分）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．（本题5分）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知直线和圆，则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线：垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为 10．（本题6分）设点P为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有（   ） A．存在点P，使得与平面所成角为 B．存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于 C．存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于 D．存在点P，使得与平面所成角为 11．（本题6分）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 13．（本题5分）已知 ，则 __________. 14．（本题5分）已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在三棱柱中，平面为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 16．（本题15分）在中，角的对边分别为，已知 (1)求和的值； (2)若点在直线上，满足，求的值. 17．（本题15分）设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. (1)当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； (2)当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； (3)当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 18．（本题17分）已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 (1)求C的方程． (2)已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 19．（本题17分）已知函数，． (1)证明：当时，． (2)若是的极大值点，求的取值范围． 试卷第2页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 给予高三学生：你经管努力，关关难过关关过，预祝高三学生前程似锦，前途一片辉煌，工作室为你们保驾护航 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 给予高三学生：你经管努力，关关难过关关过，预祝高三学生前程似锦，前途一片辉煌，工作室为你们保驾护航 （冲刺120系列）2026-2027学年高三数学期中冲刺卷01 介绍：同学你好，本资料适用于冲刺120分的同学使用，本资料以基础，中档题为主，难题较少 （8，14,19题为较难题，请合理分配） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 2．（本题5分）设，，是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性验证：当时，可得，充分性成立， 必要性验证：当时，取，，此时，但，因此必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 3．（本题5分）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 4．（本题5分）已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【答案】B 【详解】对于AB；当时，，因此； 同时，因此 因此A错误，B正确； 对于CD，因为为互斥事件，因此交事件是不可能事件，； 根据互斥事件的加法公式， 因此C、D均错误. 5．（本题5分）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】当时，，，，， 因为是对，都有，所以， 同理时，，，， 对，有，， 当时，， 综上所述. 7．（本题5分）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用化弦为切的方法，，分子分母同时除以即可求解. 【详解】， 即，解得. 8．（本题5分）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知直线和圆，则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线：垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BC 【分析】求出直线l所过定点坐标，结合点与圆位置关系的判定方法即可判断A、C；求出使得直线l与直线：垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】对于A、C，由l：，得， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，故在圆O：内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时满足直线l与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，故圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）设点P为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有（   ） A．存在点P，使得与平面所成角为 B．存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于 C．存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于 D．存在点P，使得与平面所成角为 【答案】ABC 【分析】首先要明确正方体的性质以及线面角、点到平面距离的概念.对于线面角，如果直线垂直于平面，那么线面角为.对于点到平面的距离，可以通过等体积法等方法来求解.接下来通过对每个选项的分析来判断其正确性. 【详解】对于A选项，因为正方体中，平面， 当与重合时，平面就是平面.此时平面， 则与平面所成角为，所以A选项正确. 对于B选项，设正方体棱长为，，. 由于，设，到平面的距离分别为，， 为的面积.根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）， 可得.当为时，，所以B选项正确. 对于C选项，当为时,，到平面的距离之和最小，到平面距离为0, 到平面距离为到平面的距离,等于，所以C选项正确. 对于D选项，当为时, 与平面所成角最小，, 则.所以D选项错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】设，则，即， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，，，故，则椭圆方程为；， 对A，，故A正确， 对B，，要使得为纯虚数，则且， 则，解得，有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，即有，解得， 则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：， 则的最小值为，故D错误. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 13．（本题5分）已知 ，则 __________. 【答案】 【分析】利用已知条件得到，然后结合二倍角的正切公式即可求解. 【详解】已知 ，展开得，即， 则，由于，所以，所以，即， 由二倍角的正切公式，可得. 14．（本题5分）已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 【答案】/0.5 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点， 设直线的方程为: , , 线段的中点, 联立 ，化为， ， ， 的垂直平分线为:, 令 , 解得 ,. , ,则 , 椭圆的离心率为, 故答案为:. 【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在三棱柱中，平面为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 连接交于，连接， 侧面为平行四边形， 为的中点， 又为的中点， , 平面平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）连接交于，连接，可证，从而平面； （2）利用空间向量点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， 设平面的法向量为，则即， 取，则， ， 到平面的距离.    16．（本题15分）在中，角的对边分别为，已知 (1)求和的值； (2)若点在直线上，满足，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合题设结合余弦定理可求得，再根据平方关系求出，进而根据正弦定理求解； （2）先根据平方关系求得，进而求得，可得，进而求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，得， 整理得：，即，解得或（舍）， 而， 由正弦定理，得，则 （2）由为直角三角形，即， 由，因为，则，即为锐角， 所以， 在中，由，则，即， 则， 因此.    17．（本题15分）设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. (1)当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； (2)当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； (3)当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)当时，说明前次均未抽到次品，则， 说明前次均未抽到次品，则， 因为，所以. 【分析】（1）根据的取值情况，分别计算的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解； （2）可根据的含义列出关于的方程，进而求解； （3）分别分析和，再根据独立事件概率乘法公式进行证明. 【详解】（1）由题意可知， ， . （2）依题意得. 即，解得或（舍去），所以. （3）略 18．（本题17分）已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 (1)求C的方程． (2)已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 【答案】(1) (2) （i）由（1）得：，设，其中， 因为所以， 则有， 又因为，所以，即， 代入上式可得： 若选①(O为坐标原点)， 则， 把代入上式可得： ，由， 则可得， 故点P在圆上． 若选②点P在圆上， 则， 由，可得 ， 故； （ii） 【分析】（1）利用双曲线的几何性质即可求解； （2）（i）利用向量的坐标运算，结合斜率公式即可证明；（ii）利用坐标关系，结合距离公式，即可化简求取值范围. 【详解】（1）由双曲线性质可知： ， 由，则， 焦点到渐近线的距离为， 再由， 所以双曲线的方程为：； （2）（i）略 （ii）若点P在圆上，则， 又由， 则 ， 因为，所以， 即， 因为，所以的最大值为. 19．（本题17分）已知函数，． (1)证明：当时，． (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，所以．故当时，． (2) 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合端点值证明不等式成立； （2）通过求二阶导数分析极值点条件，分情况讨论参数对函数单调性的影响，从而确定极大值点对应的参数范围. 【详解】（1）略 （2）的定义域为，， 令，，则． ①若，即，则.令，则， 所以在上单调递增， 当时，．当时，， 所以，在上单调递增，不符合题意. ②若，即，则必存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． ③若，即，则同理可得，存在，使得当时，， 所以在上单调递减． 又，所以当时，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 试卷第4页（共15页） 试卷第3页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $