数学试题-【武汉楚天协作体】2025-2026学年高三上学期期中考试

2025-2026学年度高三上学期期中考试 数学参考答案 2 3 6 P 10 11 D B C D ABC ACD ACD 12.6 13.√3 14.5: 1.D 【分析】求解分式不等式结合指数函数的值域再求交集即可. 【140--15x3-1 B={y=3}=(0,+0)AnB=(0,3) 故选：D, 2.A 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出4=2，BC=2,∠ABC=5,再 由三角形的面积公式求解即得。 【详解】由孤=，BC--5则网=3=2，Bd-1+3=2, AB.BC=1x1+V3x（3=-2, cos AB.BC) AB·BC-21 →→ AB BC 2×22, 因0s(BCsx,故（丽，BC-2,则∠ABc=-(孤8C)-于 故选：A 3.B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断， 【详解】若ac2≥bc2,当c=0时，无论a,b为何值，ac2=bc2=0成立，此时无法判断a, 答案第1页，共12页 b的大小，则充分性不成立， 若a≥b,两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知ac2≥bc2,则必要性成立， 故选：B. 4.C 【分析】将2=}+5：化为三角形式，根据缺莫弗定理可求得乙5的值，即可求得答案 22 1,3 【详解】由题意可得z=二 =cos刀+isin, 22 3 3 故Z2025=c0s 2025π 3 n 2025=c0s675+isin 675-1. +isin- 3 所以Z2025+Z=-1+1 ,13.15 -1 2222 故选：C 5.D 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【详解】由于a-1,=2,a+=√7， 所以a+=V1+2ab+4=√7，解得a.b=1, 则a-b在五方向上的投影向量为a-b)小-bb=-3 b. 分 41 故选：D 6.B 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为a,②当直线经过原点时，设直线方 程为y=kx 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为a,a≠0. 则直线过点(a,0).(0,a),那么直线斜率为8-0-1. 0-a 所以直线方程为x+y-a=0, 因为该直线与圆(x+22+y2=2相切，所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径√2 即上2+0-d-V2,化简得2-a=2,求解得a=-4或a=0(舍去). V1+1 答案第2页，共12页 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为x+y+4=0. ②当直线经过原点时，设直线方程为y=,即-y=0. 因为直线与圆(x+2)2+y2=2相切，所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径√2， 即 -2 k2+1 =√2，化简得k2-1=0,求解得k=1. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为y=x,y=-x。 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 7.C 【分析】连接四个球的球心可以得到一个棱长为2√2的正四面体，根据正四面体的外接球 的半径公式得到半径”，即可求得球O的半径 【详解】连接四个球的球心可以得到一个棱长为2√2的正四面体， 根据正四面体的外拨球的半径公式得到半径，-6：22-5， 4 因为小球O与这四个小球均外切， 则所求的球0的半径为√-√2 故答案为：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造正四面体结构，并求解外接球半径从而求解小球 半径. 8.C 【分析】结合题意可设了化x)=】-2X-m）-2,a>0),进面结合极值点的定文求解 6 即可 【详解庙/)=ar2+br2+cx+aa>0).则f)=2ar-2x-m）名a>0), 6 要使f(x)存在极值点，则f'(x)一定有两个变号零点， 可设f代)-=ac-2Xx-m小-名则 因为a>0,函数f(y)开口向上，且f2)=-2<0, 6 答案第3页，共12页 要使f)在(（G,2)上存在极值点， r)任名0.格 而m的取值不确定，则f(田)在(（G,2)上不一定存在极值点： 要使fw)在(2，)上存在极值点， >0,即< 6 而m的取值不确定，则f()在(2，)上不一定存在极值点： 要使f()在(1，)上存在极值点， 则f0=)a-m）g>0或f 所以f(x)在(1，)上一定存在极值点： 要使(x)在(G,3)上存在极值点， 则/目)仔小>0xre)-6-时名0， 2或m<8 ,而m的取值不确定， 所以(x)在(，3)上不一定存在极值点. 综上所述，函数f)在(1，) 一定存在极值点 故选：C 9.ABC 【详解】A:8个数从小到大排列，因为8×0.25=2，且1+3=1，可得下四分位数是1， 2 故A正确： B:由决定系数R越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B对： C:因为X~B(n,p),E(X)=36,D(X)=9, 答案第4页，共12页 np=36 pp)-y解得：n=48p}枚C正确： 则 D:由X2=6.998>0.635=x1,依据a=0.01的独立性检验，可以认为两个变量有关联的可 信度越高，错。 故选：ABC 10.ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出B=兀，再根据各个选项 4 的条件逐一求解即可. 【详解】由osC-V2a-c=V2sim4-sinC,V5 sin Acos-in Ccos=-sin Bcos C, cos B b sin B 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin (B+C =sin A 由于mA≠0，所以s日=号，Be@,动，B-子故A正确： 2 a b2=22 由正弦定理得sinA sinB√2 即a=2N2sinA,又△MBC有唯一解， 2 所以0<a≤b=2或a=2V2,故B错误： 由snc=5sn4,则m(经-小-m4,5c cos A+sin A=2 sin A, 2 snA=cosA,即mA=1,所以4-牙则4=B-子，所以b=a,故C正确： 若b=2,则由余弦定理得b2=a2+c2-2 c cosB=a2+c2-V2ac=4, 所以有a2+c2=√2ac+4≥2ac,即ac≤4+2√2，当且仅当a=c时取等号， A1BC的面积为asin=5e≤2(4+=1W2,故D正确 4 4 故选：ACD 11.ACD 【分析】当n=1时，可求出42=4，由an+a1=(-I)m+可得a1+an+2=(-1)+2，两式相减 可得an+2-an=-2×(-)，从而得到{an}的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的 通项公式可判断A;分别对{αn}的奇数项和偶数项求和可判断B(或相邻两项求和也可)； 由古典概型的概率计算公式可判断C(或直接计算P也可)：由数列放缩可判断D. 答案第5页，共12页 【详解】对于A,当n=1时，a,+a2=1,又a=-3,∴.a2=4, 又a,+a1=(-1)+(neN）,∴a1+an+2=(-1)m*2，∴a+2-an=(（-1)+2-(-l)=-2×(-)1, ∴{}的奇数项所成的数列是首项为-3，公差为-2的等差数列，偶数项所成的数列是首项 为4，公差为2的等差数列， .42=a2+5×2=14,故A正确： 对于B, So=(a+a,++a)+(a,+a,+ao)=-3x5+5X4x(2)+4x5+5x4x2=5 2 2 故B错误： n2 对于C, C.C= P= n2n-)2n-12-I2,故C正确： 123 n123n _n! 对于D,当n≥2，neN时，7，=广352n-242n-220n-012, 1 又T=1= 2☑≤ 2一，故D正确. 故选：ACD. 12.6 【分析】先对4名同学作全排列，再去掉两边2人的排序即可求解. 【详解】将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定， 所以排法共有 =6种. A·A 故答案为：6. 13.5 【分析】设PF=x,PF=2x,由双曲线定义求出x=2a,求出PF=2a,PF=4a,由余 弦定理求出c=√a,得到离心率. 【详解】设PF=x,PE=2x,由双曲线定义可得PF-|PE=2x-x=2a, 即x=2a,所以PF=2a,PF=4a, 又FE=2c,∠PFE= Γ6 答案第6页，共12页 在aPFB中，由余弦定理得cos∠PRA=PF+EB-PE， 2PFFF2 即4a+(2g-(2a-5,解得c=5a,故离心率e=-5 2.4a.2c 2 故答案为：√5 14.5 3 【分析】根据定义列出当m=3,k=3条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结 合组合数定义确定有m个0,2个1，m≥2，meN时数列{an}的个数，再求其中“规范数 列”的个数，结合古典概型概率公式求结论， 【详解】(1)当m=3,k=3时，满足要求的“规范数列有 1,1,1,0,0,0；1,1,0,1,0,0；1,1,0,0,1,0；1,0,1,1,0,0；1,0,1,0,1,0； 所以当m=3,k=3时，“规范数列”的个数为5. (2)n=m+k,m≥k,m,k∈N时，具有“规范数列数列特征的数列{an}的个数为f(m,k), 当k=2,m≥2，meN时，由已知数列{an}共有m+2项，其中m项为1,2项为0， 所以满足条件的数列{an}的个数为Cm+2, 若数列{an}为规范数列”，则第一项为1， 若第一项为1，第二项为1时，“规范数列”个数为C, 当第一项为1，第二项为0，第三项必然为1，此时“规范数列个数为Cm1, 所以fm,2)=C2+Cw· 故P=fm2=㎡+m-2m-12 C02m+20m+Dm+1m+1' 答案第7页，共12页 因为函数y=1-2在[2，+∞)上单调递增， x+1 所以当m=2时，P取最小值，（化a=1-名， Γ33 故答案为：5；3 1 15.(1)因为a,=l,a1=3+4an ,,所以1=3+4，则1+2=3 1 +2), antl an an+ a 1 又因为1+2=3，所以数列1+2是以3为首项，3为公比的等比数列.…6分 (2)由(1)可知1+2=3x3=3”,即1=3”-2， a a 11F“TC-T)cC一十··十C十）三一十···十一十一L 1 aa, a 1-3 .13分 16.(1)取CD中点G,连接AG,如图所示， D G 则AB/CG,AB=CD=CG,所以四边形ABCG为平行四边形， 2 、.AG=BC=AB=CD,ACL AD.2分 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PACO平面ABCD=AC,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面PAC.… 4分 又PAC平面PAC,所以AD⊥PA.又PA⊥BC,AD与BC相交，AD,BCC平面ABCD, 所以PA1平面ABCD.6分 (2)由(1)可知PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,所以PA,AC,AD两两垂直，如图建立空 间直角坐标系， 答案第8页，共12页 G D 则s990小c5ao小roa.oo504aa0叭1分 亚-aa例西5.左小 设平面PBA法向量m=(k),则m严=0， 「√2z=0 m丽=0’“2x y=0 2 2 令X=1,则y=L,z=0,.m=(1,L,0):.10分 PC=(N2,0,√2)，cD=(2W2,0, 设平面PCD法向量n=(a,hc,则nPc=0,:V2a-c=0 n.CD=0 -V2a+V2b=0 令a=1,则b=1,C=1,.n=(1,L,1）,13分 设平面PAB与平面PCD夹角为0，则cos6=cos(m,m引- tn·n 2V6 m√23=3 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为V6 .15分 3 17.(1)设“任选一个设备发送信号，该频道是甲设备”为事件M,“任选一设备发送信号， 该频道是乙设备”为事件N,“任选一个设备发送信号，该设备发送信号放成功为事件C, 所以PM)=P(N-2P(CIM=2PCN 32分 在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率为 11 P(MIC)=P(CM」 P(CIM氏M) 22 3 P(C）P(CMPM+CIN H N1I.2I74分 2232 (2))发送信号1次，甲设备成为稳定设备的概率为P-2 1 6分 答案第9页，共12页 1111 发送信号3次，甲设备成为稳定设备的概率为卫=二×二×二= ，8分 23212 两个设备共发送不超过4次时，甲设备成为稳定设备的概率为R+B=2十22 117 十 9分 (i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， P=0-Px=-号合 ..11分 Px-2到-分号+*品Px--员 14分 所以X的分布列为： X 0 2 3 1 5 5 1 P 2 12 72 72 所以数学期望为E(X)=0x+1 5+2× 5+3×1 1-43 15分 2 7 7272 1 18.(1)由题意可得， -=1,2a=4,故a=2,b=√3，所以椭圆的方程为 b2 x2,y2 =16分 43 (2)证明：由己知直线1过点T(4,0),且交椭圆C于A,B两点，所以直线1的斜率存在. 当直线1的斜率为0时，1：y=0,此时A,B两点坐标为(-2,0)，(2,0)， 3-0-3-0 则k+k2= 2 2 -=1.… 9分 1-(-2)1-2 当直线1的斜率不为0时，由已知设直线：x=my+4,点A(x,y),B(x2,y2), x=my+4 联立直线1与椭圆C的方程 整理得(3m2+4)y2+24my+36=0,则△=(24m)2-144(3m2+4)>0,即m2-4>0, 解得m>2或m<-2,且y+y,= 24m 36 3m2+4业3m产+4 13分 3 3 3 2+ y+ 所以k+k2= 2y+y2+3)+O2+2my+3到 x1-1x2-1 (my,+3)(my2+3) 答案第10页，共12页■■■■■■■■■■■n■■■■■■■■ 2025-2026学年度高三上学期期中考试 请在各题日的答盟区城肉作答，圆出则色矩形边能限定区域的答率无效 酵在各地口的答题区城内作将，想出里色矩形边配限定区规的答肇无效 数学答题卡 解答题 16.(本小题满分15分) 15.(本小题满分13分) 姓 贴条形码区 准考证号 D ■填徐样例 贴缺考标识 正喻填涂■ 考生草填出直考老地填，☐圆 ◆ 意玉越排题条架能用2B明笔圳辛！事选邦超总通拖用鉴字笔填解范齐赠，字体工物，老班裤是， 事山，喷校班可国序在养想日的养思区减内作荐，塑出等思城都可的等事无难：在以短在。意箱服上标短上故 选择题 1面网 6面四面 10D四回 3因国四回 T因回回 11因回g可 4因围四D 8因圆四回 在各题的答延区城内作答每出黑色形边职展定域的无效 填空题 12. 13. 14. 请勿在此区域内作答 情在各避日的答题区域内作答，超出测色矩形边框限觉区减的答案无效 请在各题日的答题这规内作答，烟出烟色矩形边形眼定区城的答案无线 请在各甘的答题区城内作，超出色形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共2页）第1页 姓名 座位号☐ 请在各延口的答题区城内作答，思出思色形边版烈定区或的答率无数 晴在各赠日的粹思区城内作帮，划出里色单形边配限宠区规的答案无数 一请在各理目的答题区城内作荐，如出型色邦形山权限定《城的答案无效 17,(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 请在各题日的答区内作答超出黑色形边框定区域的答案无 请在各烟甘的答想区域内作答，圆出黑色拒形边框限定区城的答案无效 请在各题目的答燃区域内韩答，加出厘色矩形边限定区城的答案无效 数学答题卡（共2页）第2页 ■2025-2026学年度高三上学期期中考试 高三数学试题 考试时间：2025年11月11日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真 核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用，黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 一，单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 设案合40，集合8==则n8=《) A. B.(0,3] c.[-1,0) D.(03) 2.在△4BC中，已知AB=1,√5，BC=1,-√5，则△4BC的面积为() A.√ B.2 c.33 D.2V3 2 3.已知实数a,b,c,则“ac2≥bc2”是“a≥b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.任意一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成三角形式，即a+bi=r(cos0+isin0) (a,beR,r≥0).法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数z=r(cos0+isin8), 3=5(cos8,+isin8,),则=5[cos(8+8,)+isin(8+8,】,已知复数z=+5i,则 22 z2025+元=（) A.1 B.-+5 c.-13 D.-1 22 22 高三数学试卷（共4页）第1页 5. 已知向量a,b满足4-1，b=2,a+=√7，则a-b在b方向上的投影向量是() A. B.3 c.-1b D. 6.与圆(x+2}+y2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有() A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 7.有四个半径为√2的小球，球O,球O,球O放置在水平桌面上，第四个小球O放在这三 个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球O,与这四个小球均外 切.则球O的半径为() A.2+2 B.22 C.5- D.3+√2 8. 已知函数)名ar+bx+e+e>0以fQ)-号：则在下列哪个区间上一定存在 极值点() .G c 二，多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是() A.数据-3，-1,3,7,8,9,11,15的下四分位数是1 B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=36,D(X)=9,则n=48 D.依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到x2=6.998>0.635=xo1,则依据=0.01 的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 10.△4BC中，角4，B,C所对的边分别为a,6c且osC=√2a-S,下列说法正确的是(） cosB b A.B=π 4 B.若b=2且△ABC有唯一解，则0<a≤2 C.若sinC=√2sinA,则b=a D.若b=2,则△4BC面积最大值为1+√2 11.数列{an}满足an+an1=(-1)(n∈N)，且a,=-3,数列{an}的前n项和为Sn,从{an}的前 2n项中任取两项，它们的和为奇数的概率为Pn,数列{P}的前n项积为工，则() A.a2=14 B.Sio=-5 C.B>(n>1) D.T,s 2 高三数学试卷（共4页)第2页 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边 均由高到低排列，共有种排法， 3.已知双曲线￡-发=a>0,b>0的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且 ∠PF5-石P时=2到P时，则双曲线的离心率e= 14.已知数列{an}共有m+k项(n=m+,m≥k,m,k∈N),其中m项为l,k项为0.若数列{an} 满足对任意i≤m+k,a,a2,,a,中的1的个数不少于0的个数，则称数列{a}为“规范数 列”.当m=3,k=3时，“规范数列”的个数为 ,记Pmk表示数列{an}是“规范 数列”的概率，则Pm+2的最小值为 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 己知数列{an}满足a,=1,an1= a 4an+3 (1)证明： +2 为等比数列； (2)求数列 的前n项和Tn: a 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA=AC,AB∥CD, AB⊥BC,AB=BC=CD=1. 2 (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 高三数学试卷（共4页)第3页 17.(本小题15分) 欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流 发送信号进行测试，每次发送一组信号，已知甲设备每次发送信号成功的概率为】，乙设备每次 发送信号成功的餐率为子，且每次信号发送结果互不影响。 约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备： 约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备， 当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试 (1)按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率： (2)按照约定2， ()两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为稳定设备的概率： (ⅱ)测试结束时，求乙设备发送信号次数X的分布列与数学期望， 18.(本小题17分) 已知椭圆C:+ a+=1(a>b>0)过点HL,-3,长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)过点T(4,0)的直线l交椭圆C于A,B两点（异于点H),设直线HA,HB的斜率分别为 k1,k2·证明：k1+k2为定值. 19.(本小题17分) 己知函数f(x)=e. (1)若对任意的x,af(x)≥x,求实数a的取值范围； (2)设gn(x)=f(x-l)-n, (i)对任意正整数n,证明：函数gn(x)有唯一的零点xn; (i)证明：2n+1-)<1+1++1s( 名tg20+1+nm). 高三数学试卷（共4页)第4页